Transformo de Mellin

Transformo de Mellin, aŭ Mellin-a transformo, estas integrala transformo, bindata kun Ŝablono:Alilingve, kun nombroteorio, kun Γ-funkcio, kun speciala funkcio kaj kun Ŝablono:Alilingve, ankaŭ bindata kun laplaca transformo kaj furiera transformo.

Integro

La rekta transformo donas la formulon:

$\left\{ℳf\right\}(s)=\phi (s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{s-1}f(x)dx,$

kaj la inversa transformo formuliĝas:

$\left\{{ℳ}^{-1}\phi \right\}(x)=f(x)=\frac{1}{2\pi i}\underset{c-i\mathrm{\infty }}{\overset{c+i\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{-s}\phi (s)ds.$

Ni konjektas, ke la integralo integras en kompleksan ebenon.

Rilato kun ceteraj transformoj

• La transformo de Fourier esprimiĝas tiel:

$\left\{ℱf\right\}(-s)=\left\{ℬf\right\}(-is)=\{ℳf(-\ln x)\}(-is).$

kaj reen:

$\left\{ℳf\right\}(s)=\{ℬf(e^{-x})\}(s)=\{ℱf(e^{-x})\}(is).$

Ekzemplo

Integralo de Cahen-Mellin

Se

• $c>0,$
• $\mathrm{\Re }(y)>0,$
• $y^{-s}$ на Ŝablono:Alilingve,

do

$e^{-y}=\frac{1}{2\pi i}\underset{c-i\mathrm{\infty }}{\overset{c+i\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{\Gamma }(s)y^{-s}ds$,

kie

$\mathrm{\Gamma }(s)$ — Γ-funkcio.

Transformo de Mellin en spaco de Lebesgue

Por $L^2(0,\mathrm{\infty })$ ajna fundamenta branĉo inkluzivas $\frac{1}{2}+iℝ.$

Donas lineara bildigo $\widetilde{ℳ}$ :

$\widetilde{ℳ}:L^2(0,\mathrm{\infty })\to L^2(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }),\{\widetilde{ℳ}f\}(s):=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{-\frac{1}{2}+is}f(x)dx.$

Tio estas

$\{\widetilde{ℳ}f\}(s):=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\{ℳf\}(\frac{1}{2}-is).$

Ŝablono:Alilingve demonstras, ke

${\widetilde{ℳ}}^{-1}:L^2(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })\to L^2(0,\mathrm{\infty }),\{{\widetilde{ℳ}}^{-1}\phi \}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{-\frac{1}{2}-is}\phi (s)ds.$

Krome, tiu bildigo estas izometria, tio estas

$\Vert \widetilde{ℳ}f{\Vert }_{L^2(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })}=\Vert f{\Vert }_{L^2(0,\mathrm{\infty })}$ kie $\mathrm{\forall }f\in L^2(0,\mathrm{\infty })$.

Por probablokalkulo la transformo de Mellin prezentas gravan ilon.

Se

• $D=s:a⩽\mathrm{\Re }(s)⩽b,$
• $a⩽0⩽b,$
• $X$ — hazarda variablo,
• $X^{+}=maxX,0,$
• $X^{-}=max-X,0,$,

do transformo de Mellin stimas kiel

${ℳ}_X(s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{s}d{F}_{X^{+}}(x)+i\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{s}d{F}_{X^{-}}(x),$

kie

$i$ — imaginara unuo.

Literaturo

• Ŝablono:Cite book
• Ŝablono:Cite book
• Ŝablono:Cite book (Ŝablono:En)
• Ŝablono:Cite book (Ŝablono:En)
• Tables of Integral Transforms "(Tabeloj pri integralaj transformoj)"Ŝablono:404 al EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Ŝablono:Springer
• Ŝablono:Mathworld

Eksteraj ligiloj

• Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas, Mellin Transforms and Asymptotics: Harmonic sums.
• Antonio Gonzáles, Marko Riedel Celebrando un clásico, newsgroup es.ciencia.matematicas (hispane)
• Juan Sacerdoti, Funciones Eulerianas Ŝablono:Webarchiv (hispane).
• Mellin Transform Methods, Digital Library of Mathematical Functions, 2011-08-29, National Institute of Standards and Technology Ŝablono:En
• Antonio De Sena and Davide Rocchesso, Rapida Mellin-a transformo kun aplikoj en DAFX (itale)