Pareco de funkcioj

Ŝablono:Matematikaj funkcioj Pareco de funkcioj estas eco de funkcio kiu havas simetrion laŭ argumento.

Nome:

para funkcio

funkcio, kiu plenumas ekvacion $f(-x)=f(x)$;

malpara funkcio

funkcio, kiu plenumas ekvacion $f(-x)=-f(x)$.

Grafikaĵo

Grafikaĵo de para funkcio estas simetria aŭ akso Y, kaj malpara estas simetria laŭ mezo de koordinatsistemo. Se nulo estas ene de argumentaro de malpara funkcio $f$, tiam $f(0)=0$ .

Ekzemploj

Paraj funkcioj

• Absoluta valoro $f(x)=|x|$,
• potenca funkcio kun para potenco, $f(x)=x^{2k},k\in \mathbb{N}$,
• trigonometria funkcio $f(x)=\cos x$,

Malparaj funkcioj

• lineara funkcio $f(x)=ax$
• potenca funkcio kun malpara potenco: $f(x)=x^{2k+1},k\in \mathbb{N}$,
• trigonometria funkcio $f(x)=\sin x$ kaj $f(x)=\mathrm{tg}x$,

Ecoj

• Paraj funkcioj neniam estas disĵetoj.
• Funkcio povas esti nek para kaj nek malpara.
• Nur unu funkcio estas para kaj malpara samtempe:

$f(x)=0$ por ĉiuj $x\in D$.

• Ĉiu funkcio $f$, por kiu ĉi tiu difino havas sencon, oni povas verki el sumo de para funkcio $g$ kaj malpara $h$, kaj por ĉiu $x$ el argumentaro $g(x)=1/2(f(x)+f(-x))$ kaj $h(x)=1/2(f(x)-f(-x))$.
• Estu paraj funkcioj $f_1,f_2$, kaj ankaŭ estu malparaj funkdioj $g_1,g_2$ . Tiam:
  1. $f_1\cdot f_2$ kaj $\frac{f_1}{f_2}$ (en argumentaro sen nula lokoj de $f_2$) estas paraj funkcioj,
  2. $g_1\cdot g_2$ kaj $\frac{g_1}{g_2}$ (en argumentaro sen nula lokoj de $g_2$) estas paraj funkcioj,
  3. $f_1\cdot g_1$ kaj $\frac{f_1}{g_1}$ (en argumentaro sen nula lokoj de $g_1$) estas malparaj funkcioj,
  4. $f_1\circ f_2$ estas para funkcio,
  5. $g_1\circ g_2$ estas malpara funkcio,
  6. $f_1\circ g_1$ estas para funkcio,
  7. $g_1\circ f_1$ estas para funkcio.