Laplaca operatoro

En matematiko, laplaca operatoro aŭ operatoro de Laplace, skribata kiel $\mathrm{\Delta }$, aŭ ${\mathrm{\nabla }}^2$, estas diferenciala operatoro de dua ordo en la n-dimensia eŭklida spaco Rⁿ.

Ĝi estas difinita kiel la diverĝenco $(\mathrm{\nabla }\cdot )$ de la gradiento (matematiko) $(\mathrm{\nabla }f)$, kie f estas dufoje diferencialebla reelo-valora funkcio

$\mathrm{\Delta }f={\mathrm{\nabla }}^{2}f=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }f=\mathrm{div}(\mathrm{grad}f).$

Ekvivalente, la laplaca operatoro de f estas la sumo de ĉiuj nemiksitaj duaj partaj derivaĵoj laŭ la karteziaj koordinatoj x_i:

$\mathrm{\Delta }f=\sum _{i=1}^n\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i^2};$

tiel, en du-dimensia kazo kie x kaj y estas la karteziaj koordinatoj de la xy-ebeno, laplaca operatoro estas

$\mathrm{\Delta }f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2},$

tiel, en tri-dimensia kazo kie x, y, z estas la karteziaj koordinatoj, laplaca operatoro estas

$\mathrm{\Delta }f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}.$

Proprecoj

Pro tio ke laplaca operatoro estas diferenciala operatoro de dua ordo, ĝi bildigas k-foje kontinue diferencialeblajn funkciojn C^k al (k-2)-foje kontinue diferencialeblajn funkciojn C^k-2 por k≥2. Tiel povas esti skribite

Δ : C^k(Rⁿ) → C^k-2(Rⁿ)

aŭ pli ĝenerale

Δ : C^k(Ω) → C^k-2(Ω) por iu malfermita aro Ω.

Funkcio kies laplaca operatoro egalas al nulo estas nomata kiel harmonia funkcio.

Laplaca operatoro de funkcio egalas al spuro de la matrico de Hessian de la funkcio:

Δf = tr(H(f))

Laplaca operatoro de produto de funkcioj f kaj g estas

$\mathrm{\Delta }(fg)=(\mathrm{\Delta }f)g+2((\mathrm{\nabla }f)\cdot (\mathrm{\nabla }g))+f(\mathrm{\Delta }g)$

Esprimo per angula kaj radiusa partoj

Estu konsiderata (kiel okazas en multaj fizikaj modeloj) laplaca operatoro de produto de funkcioj f kiu estas funkcio dependa nur de radiuso f(r) kaj sfera harmonia funkcio Y_lm(θ, φ). Tiam gradiento de f(r) estas paralela al la radiusa vektoro kaj la gradiento de angula funkcio Y_lm(θ, φ) estas orta al la radiusa vektoro, pro tio la dua termo en la formulo por laplaca operatoro de la produto nuliĝas:

$2(\mathrm{\nabla }f(r))\cdot (\mathrm{\nabla }{Y}_{lm}(\theta ,\varphi ))=0$

Aldone, la sfera harmonia funkcio havas specialan propraĵon ke ĝi estas propra funkcio de la angula parto de la Laplaca operatoro en sferaj koordinatoj.

$\mathrm{\Delta }{Y}_{\ell m}(\theta ,\varphi )=-\frac{\ell (\ell +1)}{r^2}{Y}_{\ell m}(\theta ,\varphi ).$

Pro tio,

$\mathrm{\Delta }(f(r)Y_{\ell m}(\theta ,\varphi ))=(\frac{d^{2}f(r)}{d{r}^2}+\frac{2}{r}\frac{df(r)}{dr}-\frac{\ell (\ell +1)}{r^2}f(r))Y_{\ell m}(\theta ,\varphi )$

En la alia okazo, $x\in {ℝ}^n$ estas prezentita en sferaj koordinatoj en n dimensioj kiel x=rθ kie $r\in [0,+\mathrm{\infty })$ (radiusa distanco) kaj $\theta \in S^{n-1}$ do laplaca operatoro de f(x) estas

$\mathrm{\Delta }f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial r^2}+\frac{n-1}{r}\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{1}{r^2}{\mathrm{\Delta }}_{S^{n-1}}f$

kie ${\mathrm{\Delta }}_{S^{n-1}}$ estas la operatoro de Laplaco-Beltrami sur la (n-1)-dimensia sfero, aŭ sfera laplaca operatoro. La ero $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial r^2}+\frac{N-1}{r}\frac{\partial f}{\partial r}$ povas esti anstataŭigita per ĝia ekvivalento $\frac{1}{r^{n-1}}\frac{\partial (r^{N-1}\frac{\partial f}{\partial r})}{\partial r}$.

Sekve de tio, la sfera laplaca operatoro de funkcio difinita sur $S^{n-1}\subset {ℝ}^n$ povas esti komputita kiel la ordinara laplaca operatoro de la funkcio etendita al ${ℝ}^n\setminus \{0\}$ tiel ke ĝi estas konstanto laŭ radioj el la punkto (0, ..., 0).

Esprimoj en aliaj koordinatosistemoj

Du dimensioj

Laplaca operatoro en du-dimensiaj polusaj koordinatoj estas

$\mathrm{\Delta }f=\frac{1}{r}\frac{\partial (r\frac{\partial f}{\partial r})}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\varphi }^2}$

Tri dimensioj

Laplaca operatoro en tri-dimensiaj cilindraj koordinatoj estas

$\mathrm{\Delta }f=\frac{1}{\rho }\frac{\partial \left(\rho \frac{\partial f}{\partial \rho }\right)}{\partial \rho }+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\varphi }^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}.$

Laplaca operatoro en tri-dimensiaj sferaj koordinatoj estas

$\mathrm{\Delta }f=\frac{1}{r^2}\frac{\partial \left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)}{\partial r}+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial (\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta })}{\partial \theta }+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\varphi }^2}.$

kie θ estas la zenita angulo,

φ la azimuta angulo.

La ero $\frac{1}{r^2}\frac{\partial \left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)}{\partial r}$ povas esti anstataŭigita per ĝia ekvivalento $\frac{1}{r}\frac{{\partial }^2(rf)}{\partial r^2}$. Vidu ankaŭ la artikolon nabla operatoro en cilindraj kaj sferaj koordinatoj.

Uzoj

En fiziko, laplaca operatoro estas uzata en onda ekvacio (onda disvastigo), varma ekvacio (varma fluo), ekvacio de Helmholtz, elektrostatiko, meĥaniko de fluidoj tiel ke ĝi aperas en laplaca ekvacio kaj ekvacio de Poisson. En kvantummeĥaniko, ĝi prezentas termon de la kineta energio en la ekvacio de Schrödinger.

Difuzo

- En priskribo de ekvilibro de difuzo la laplaca operatoro aperas en laplaca ekvacio. Estu u denseco de iu difuzanta kvanto, kutime varmo aŭ koncentriteco de substanco, tiam la fluo de u estas k grad u kie k estas koeficiento kiu priskribas rapidon de difuzo. La fluo de u tra rando de iu glata regiono V estas nulo, se ne estas fonto aŭ malfonto de la difuzanta kvanto en V:

$\underset{\partial V}{\int }(k\mathrm{grad}u)\cdot 𝐧dS=0$

kie n estas la unuobla normala vektoro al la rando de V. Laŭ la diverĝenca teoremo,

$k\underset{V}{\int }\mathrm{div}(\mathrm{grad}u)dV=\underset{\partial V}{\int }(k\mathrm{grad}u)\cdot 𝐧dS=0$

Pro tio ke ĉi tio veras por ĉiu glata regiono V, se k≠0, ĉi tio implicas ke

$\mathrm{div}(\mathrm{grad}u)=0$

aŭ skribante per la laplaca operatoro

$\mathrm{\Delta }u=0$ (kiu estas la laplaca ekvacio).

- En ne ekvilibra okazo, la fluo de u tra rando de iu glata regiono V egalas al averaĝo de derivaĵo de u ene de V laŭ tempo t:

$\frac{d(\underset{V}{\int }udV)}{dt}=\underset{\partial V}{\int }(k\mathrm{grad}u)\cdot 𝐧dS$

Integralado kaj diferencialado je malsamaj nedependaj variabloj povas esti interŝanĝitaj:

$\frac{d(\underset{V}{\int }udV)}{dt}=\underset{V}{\int }\frac{du}{dt}dV$

Tiel laŭ la diverĝenca teoremo:

$\underset{V}{\int }\frac{du}{dt}dV=k\underset{V}{\int }\mathrm{div}(\mathrm{grad}u)dV$

Pro tio ke ĉi tio veras por ĉiu glata regiono V

$\frac{du}{dt}=k\mathrm{\Delta }u.$

Ĝeneraligoj

Vektora laplaca operatoro

Vektora laplaca operatoro estas ĝeneraligo de la laplaca operatoro al vektoraj kampoj, ĝi agas je la vektora kampo laŭkomponante, do sendepende prilaboras ĉiun komponanton de la fonta vektora kampo. Se la vektora kampo A(x) de vektora argumento x estas

$𝐀(x)=\left[\begin{array}{c}{a}_1(x)\\ ...\\ a_m(x)\end{array}\right]$

tiam

$\mathrm{\Delta }𝐀=\mathrm{\Delta }\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ ...\\ a_m\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }{a}_1\\ ...\\ \mathrm{\Delta }{a}_m\end{array}\right]$

Sen uzo de karteziaj koordinatoj en tri dimensioj ĝi povas esti esprimita kiel

$\mathrm{\Delta }𝐀={\mathrm{\nabla }}^2𝐀=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)-\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)$

Diskreta laplaca operatoro

Diskreta laplaca operatoro estas analogo de la kontinua laplaca operatoro, difinita sur grafeoj kaj kradoj.

Ĝeneraligoj al aliaj spacoj

Laplaca operatoro estas okazo de elipsa operatoro. Laplaca operatoro povas esti ĝeneraligita al la aliaj spacoj krom eŭklidaj. Tie ĝi povas esti elipsa operatoro, hiperbola operatoro aŭ ultrahiperbola operatoro.

Operatoro de d'Alembert

En la spaco de Minkowski laplaca operatoro konvertiĝas al operatoro de d'Alembert

$◻f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}$

La signo de la kvara ero estas negativa, malsimile al laplaca operatoro en 4-dimensia eŭklida spaco. La aldona faktoro de 1/c² estas postulita ĉar spaco kaj tempo estas kutime mezurataj en malsamaj mezurunuoj. Simila faktoro devus esti postulita en eŭklida spaco se, ekzemple, la x kaj y direktoj estis mezuritaj en metroj kaj la z direkto estis mezurita en milimetroj. Se estas uzataj naturaj mezurunuoj do c=1 kaj la formulo plisimpliĝas.

La operatoro de d'Alembert estas hiperbola operatoro sur pseŭdo-rimanaj sternaĵoj.

La operatoro de d'Alembert estas uzata en ekvacio de Klein-Gordon kaj 4-dimensia onda ekvacio.

Operatoro de Laplaco-Beltrami

Laplaca operatoro povas ankaŭ esti ĝeneraligita al elipsa operatoro operatoro de Laplaco-Beltrami difinita sur rimana sternaĵo. La operatoro de Laplaco-Beltrami havas ankaŭ plu ĝeneraligitan varianton kiu operacias sur tensoraj kampoj.

Alia maniero ĝeneraligi laplacan operatoron al pseŭdo-rimanaj sternaĵoj estas kiel la operatoro de Laplaco-de Rham kiu operacias sur diferencialaj formoj. Ĝi estas rilatanta al la operatoro de Laplaco-Beltrami per idento de Weitzenböck.

Vidu ankaŭ

• Gradiento (matematiko)
• Diverĝenco (matematiko)
• Kirlo (matematiko)
• Nabla operatoro
• Diverĝenca teoremo
• Laplaca ekvacio
• Ekvacio de Poisson

Eksteraj ligiloj

• Ŝablono:MathWorld
• Ŝablono:Springer
• Laplaca operatoro en sferaj koordinatoj de Swapnil Sunil Jain