Vidi fonton por Q-eksponenta funkcio

En kombina [[matematiko]], la '''q-eksponenta funkcio''' estas la [[q-analogo]] de [[eksponenta funkcio]].

==Difino==
La q-eksponenta funkcio <math>e_q(z)</math> estas difinita kiel
:<math>e_q(z)=
\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{[n]_q!} =
\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n (1-q)^n}{(q;q)_n} =
\sum_{n=0}^\infty z^n\frac{(1-q)^n}{(1-q^n)(1-q^{n-1}) \cdots (1-q)}</math>

kie <math>[n]_q!</math> estas la [[q-faktorialo]] kaj
:<math>(q;q)_n=(1-q^n)(1-q^{n-1})\cdots (1-q)</math>

estas la [[q-serio]]. Tio ke ĉi tio estas la q-analogo de la eksponenta funkcio sekvas de propraĵo

:<math>\left(\frac{d}{dz}\right)_q e_q(z) = e_q(z)</math>

kie la derivaĵo maldekstre estas [[q-derivaĵo]]. La pli supra egalaĵo estas facile kontrolebla per konsidero q-derivaĵo de la [[unutermo]]

:<math>\left(\frac{d}{dz}\right)_q z^n = z^{n-1} \frac{1-q^n}{1-q}
=[n]_q z^{n-1}.</math>

Ĉi-tie, <math>[n]_q</math> estas la q-krampo.

==Propraĵoj==
Por reela <math>q>1</math>, la funkcio <math>e_q(z)</math> estas [[tuta funkcio]] de ''z''. Por <math>q<1</math>, <math>e_q(z)</math> estas regula en disko <math>|z|<1/(1-q)</math>.

==Rilatoj==
Por <math>q<1</math>, funkcio kiu estas proksime rilatanta estas

:<math>e_q(z) = E_q(z(1-q))</math>

Ĉi tie, <math>E_q(t)</math> estas speciala okazo de [[baza supergeometria serio]]:

:<math>E_q(z) = \;_{1}\phi_0 (0;q,z) = \prod_{n=0}^\infty
\frac {1}{1-q^n z}</math>

[[Kategorio:Q-analogoj]]