Vidi fonton por Leibniz-a integrala regulo

La '''Leibniz-a integrala regulo''', aŭ '''formulo de Leibniz''' por diferencialado de difinita integralo, estas
:<math> {d \over dt} \int_{a(t)}^{b(t)} f(t,x) \, dx = \int_{a(t)}^{b(t)} {\partial f(t,x) \over \partial t} \, dx + f(t,b(t)) {d b(t) \over dt} - f(t,a(t)) {d a(t) \over dt}. </math>
(rimarku, ke la randoj de integralado estas funkcioj de ''t'').

==Pruvo de la Leibniz-a integrala regulo==
Estu
:<math>G = G(t,a,b) = \int_a^b f(t,x) \, dx </math>
kie la randoj de integralado ''A'' = ''A''(''t'') kaj ''b'' = ''b''(''t'') estas funkcioj de ''t''. La tuteca derivaĵo de ''G'' kun respekto al ''t'', en terminoj de partaj derivaĵoj, estas
:<math> {d \over dt} G = {\partial G \over \partial t} + {\partial G \over \partial a} {d a \over d t} + {\partial G \over \partial b} {d b \over d t}. \qquad \qquad (1)</math>

Tiam
:<math> {\partial G \over \partial t} = \int_a^b {\partial f \over \partial t} \, dx, \qquad \qquad (2)</math>
ĉar integralo estas kontinua sumado, kaj derivado estas lineara operacio,
:<math> {\partial G \over \partial b} = {\partial \over \partial b} \int_a^b f(t,x) \, dx = f(t,b) \qquad \qquad (3)</math>
pro la [[Fundamenta teoremo de kalkulo|fundamenta teoremo de kalkulo]], kaj
:<math> {\partial G \over \partial a} = {\partial \over \partial a} \int_a^b f(t,x) \, dx = -f(t,a) \qquad \qquad (4)</math>
denove pro la fundamenta teoremo de kalkulo. Anstataŭigante ekvaciojn (2), (3), kaj (4) en ekvacion (1) oni ricevas la formulon.

[[Kategorio:Kalkulo]]
[[Kategorio:Gottfried Wilhelm Leibniz‎]]