Vidi fonton por Homogena funkcio

En [[matematiko]], '''homogena funkcio''' estas funkcio kun proporcieca multiplika konduto: se la argumento estas multiplikata per iu faktoro, tiam la rezulto estas multiplikata per iu [[potenco]] de ĉi-tiu faktoro. Ekzemploj estas la [[Homogena polinomo|homogenaj polinomoj]].

Formale, estu

:<math> f: V \rarr W \qquad\qquad </math>

funkcio inter du [[Vektora spaco|vektoraj spacoj]] super [[Kampo (algebro)|kampo]] <math> F \qquad\qquad</math>.

Ni diru, ke <math> f \qquad\qquad</math> estas ''homogena de grado <math> k \qquad\qquad</math>'',
se la ekvacio
:<math> f(\alpha \mathbf{v}) = \alpha^k f(\mathbf{v}) \qquad\qquad (*) </math>
veras por ĉiuj <math> \alpha \isin F \qquad\qquad</math> kaj <math> \mathbf{v} \isin V \qquad\qquad</math>.

[[Lineara]] funkcio estas homogena de grado 1.

:<math>f(\alpha \mathbf{v})=\alpha f(\mathbf{v})</math>

[[Plurlineara]] funkcio <math> f: V_1 \times \ldots \times V_n \rarr W \qquad\qquad </math> estas homogena de grado ''n'':

:<math>f(\alpha \mathbf{v}_1,\ldots,\alpha \mathbf{v}_n)=\alpha^n f(\mathbf{v}_1,\ldots, \mathbf{v}_n)</math>

== Eŭlera teoremo pri homogenaj funkcioj ==

Funkcio

:<math> f(\mathbf{x}) = f(x_1, x_2,..., x_n) \qquad\qquad </math>
kiu estas homogena de grado <math> k \qquad\qquad</math>, havas partajn [[derivaĵo]]jn de grado <math> k-1 \qquad\qquad</math>. Plue, ĝi verigas la '''eŭleran teoremon pri homogenaj funkcioj''', kiu konstatas, ke
:<math> \mathbf{x} \cdot \nabla f(\mathbf{x}) = kf(\mathbf{x}) \qquad\qquad </math>

Skribite eksplicite en komponantoj, ĉi tio estas
:<math>
\sum_{i=1}^n x_i \frac{\partial f}{\partial x_i} (\mathbf{x})
= k f(\mathbf{x})
</math>

'''Pruvo'''

Estu <math>f=f(x_1,\ldots,x_n) </math>, trovu [[derivaĵo]]n de

:<math>f(\alpha \mathbf{y})=\alpha^k f(\mathbf{y})</math>

je <math>\alpha</math>. Laŭ [[ĉena regulo]] estas

:<math>\frac{\partial}{\partial x_1}f(\alpha\mathbf{y})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}(\alpha y_1)+ \cdots +
\frac{\partial}{\partial x_n}f(\alpha\mathbf{y})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}(\alpha y_n) = k \alpha ^{k-1} f(\mathbf{y})</math>,

kaj do

:<math>y_1\frac{\partial}{\partial x_1}f(\alpha\mathbf{y})+ \cdots
+ y_n\frac{\partial}{\partial x_n}f(\alpha\mathbf{y}) = k \alpha^{k-1} f(\mathbf{y})</math>.

Ĉi tio povas esti skribita per [[nabla operatoro]] kiel

:<math> \mathbf{y} \cdot \nabla f(\alpha \mathbf{y}) = k \alpha^{k-1}f(\mathbf{y}), \qquad\qquad \nabla= \left(\frac{\partial}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n} \right)</math>,

de kie la eŭlera teoremo rezultas se meti <math>\alpha=1</math>.

== Ĝeneraligoj ==

Pli ĝenerale, funkcio <math> f \qquad\qquad</math> estas nomata homogena, se la ekvacio <math> f(\alpha \mathbf{v}) = g(\alpha) f(\mathbf{v}) \qquad\qquad</math> veras por iu [[Monotona funkcio|severe pligrandiĝanta]] pozitiva funkcio <math> g \qquad\qquad</math>.

Foje funkcio veriganta <math> (*) \qquad\qquad</math> por ĉiu pozitiva <math> \alpha \qquad\qquad</math> nomiĝas ''pozitive homogena'' (ĉi tio postulas, ke la kampo <math> F \qquad\qquad</math> estu <math> \reals \qquad\qquad</math>; almenaŭ necesas [[orda rilato]] por difini la pozitivecon).

== Eksteraj ligiloj ==
* [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=10683]

[[Kategorio:Lineara algebro]]
[[Kategorio:Diferencialaj operatoroj]]