Vidi fonton por Formuloj de Viète

En [[matematiko]], '''formuloj de Viète''' estas formuloj kiuj ligas [[koeficiento]]j de [[polinomo]] kun ĝiaj [[radiko]]j. La formuloj estas faritaj de [[François Viète]].

Estu polinomo

:<math>x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + ... + a_n,\,\!</math>

kun radikoj <math>\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}</math>, ĉiu radiko estas listigata en kvanto egala al ĝia [[obleco]].

Tiam la koeficientoj <math>a_1, \ldots, a_n</math> estas [[simetria funkcio|simetriaj funkcioj]] de la radikoj:

: <math> a_1 = -(\alpha_1 + \alpha_2 + \ldots + \alpha_n) </math>
: <math> a_2 = \alpha_1 \alpha_2 + \alpha_1 \alpha_3 + \ldots + \alpha_1 \alpha_n + \alpha_2 \alpha_3 + \ldots + \alpha_{n-1} \alpha_n </math>
: <math> a_3 = -(\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 + \alpha_1 \alpha_2 \alpha_4 + \ldots + \alpha_{n-2} \alpha_{n-1} \alpha_{n}) </math>
: ...
: <math> a_{n-1} = (-1)^{n-1} (\alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_{n-1} + \alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_{n-2} \alpha_n + \ldots + \alpha_2 \alpha_3...\alpha_n) </math>
: <math> a_n = (-1)^n \alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_n </math>

Alivorte, <math>(-1)^ka_k</math> egalas al sumo de ĉiuj eblaj produtoj de ''k'' radikoj (estas prenataj nur radikoj kun diversaj [[indekso]]j).

El la formuloj sekvas ke se ĉiuj radikoj estas [[entjero]]j do ĉiuj koeficientoj estas entjeroj, kaj <math>a_n</math> dividiĝas per ĉiu el la radikoj.

Se la koeficiento <math>a_0 \ne 1</math>, do por uzo de la formulo necesas dividi la tutan polinomon je <math>a_0</math>, tiam la radikoj ne ŝanĝiĝas.


Por [[Kvadrata funkcio|kvadrata ekvacio]]

: ''ax<sup>2</sup>+bx+c=0''

kun radikoj ''r<sub>1</sub>'' kaj ''r<sub>2</sub>''

: <math> r_1 + r_2 = -\frac{b}{a} </math>
: <math> r_1 \cdot r_2 = \frac{c}{a} </math>

== Pruvo ==

La formuloj povas esti pruvitaj per konsidero de egaleco

:<math>x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + ... + a_n = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots (x-\alpha_n)</math>

kie la dekstra flanko estas la [[faktorigo|faktorigita]] formo de la polinomo.

Post multipliko de eroj de la dekstra flanko, koeficientoj ĉe egalaj potencoj de ''x'' devas esti egalaj, el kio sekvas la formuloj de Viète.

== Vidu ankaŭ ==

* Ĉe [[kvadrata matrico]], [[spuro (lineara algebro)|spuro]] kaj [[determinanto]] estas ligitaj per similaj formuloj kun [[ejgeno]]j.

[[Kategorio:Polinomoj]]
[[Kategorio:Simetriaj funkcioj]]