Vidi fonton por Ekvacio de Ĉebiŝev

'''Ekvacio de Ĉebiŝev''' estas [[lineara diferenciala ekvacio|lineara]] [[ordinara diferenciala ekvacio|ordinara]] [[diferenciala ekvacio]] de la dua ordo

: <math>(1-x^2) {d^2 y \over d x^2} - x {d y \over d x} + p^2 y = 0 </math>

kie ''p'' estas reela konstanto. La ekvacio estas nomita post [[Rusio|rusia]] matematikisto [[Pafnutij Ĉebiŝov]].

La solvaĵoj estas ricevita per [[potencoserio]]:

:<math>y = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n</math>

kie la koeficientoj obeas la [[rikura formulo|rikuran formulon]]

:<math> a_{n+2} = {(n-p) (n+p) \over (n+1) (n+2) } a_n </math>

Ĉi tiu serio [[konverĝa serio|konverĝas]] por ''x'' en ''[-1, 1]'', kio povas vidiĝi per apliko de la [[rilatuma provo]] al la rikura rormulo.

La rikuro povas esti startita kun ajnaj valoroj de ''a<sub>0</sub>'' kaj ''a<sub>1</sub>'', donante la du-dimensian spacon de solvaĵoj, kio estas pro la dua ordo de la diferenciala ekvacio. Estas du sendependaj solvaĵoj kiuj estas serioj por la valoroj de ''a<sub>0</sub>'' kaj ''a<sub>1</sub>'':

: ''a<sub>0</sub> = 1 ; a<sub>1</sub> = 0''
:: <math>F(x) = 1 - \frac{p^2}{2!}x^2 + \frac{(p-2)p^2(p+2)}{4!}x^4 - \frac{(p-4)(p-2)p^2(p+2)(p+4)}{6!}x^6 + \cdots </math>

: ''a<sub>0</sub> = 0 ; a<sub>1</sub> = 1''
:: <math>G(x) = x - \frac{(p-1)(p+1)}{3!}x^3 + \frac{(p-3)(p-1)(p+1)(p+3)}{5!}x^5 - \cdots </math>

La ĝenerala solvaĵo estas ĉiu [[lineara kombinaĵo]] de ĉi tiuj du.

Se ''p'' estas entjero, unu aŭ la alia el la du funkcioj havas sian serion finitan post finia kvanto de termoj: ''F'' finias se ''p'' estas para, kaj ''G'' finias se ''p'' estas nepara.

En ĉi tiu okazo, tiu funkcio kiu estas polinomo de ''p''-a grado (konverĝanta ĉie), kaj ĉi tiu polinomo estas proporcia kun la ''p''-a [[polinomo de Ĉebiŝev]].

[[Kategorio:Ordinaraj diferencialaj ekvacioj]]