Ĉina restteoremo

Ĉina restteoremo estas la nomo de multaj similaj teoremoj de abstrakta algebro kaj nombroteorio.

Samtempaj kongruecoj de entjeroj

Samtempa kongrueco de entjeroj estas sistemo de linearaj kongruecoj

$\begin{array}{cccc}x& \equiv & a_1& (\mathrm{mod}{m}_1)\\ x& \equiv & a_2& (\mathrm{mod}{m}_2)\\ & ⋮& & \\ x& \equiv & a_n& (\mathrm{mod}{m}_n)\end{array}$

por kiu estas trovendaj ĉiuj $x$, kiuj solvas ĉiujn kongruecojn samtempe. Se solvo $x$ ekzistas kaj oni difinas $M:=\mathrm{pmko}\{m_1,m_2,\dots ,m_n\}$ ("pmko" signifas la plej malgrandan komunan oblon), la aro $\{x+k\cdot M\mid k\in \mathbb{Z}\}$ enhavas ĉiujn solvojn. Sed ankaŭ eblas, ke neniu solvo ekzistas.

Reciproke primaj moduloj

La origina versio de la restteoremo (el la libro La kompendio de aritmetiko de Sūn Zǐ de la ĉina matematikisto Sūn Zǐ) deklaras eldiron pri samtempaj kongruecoj en la kazo, ke la moduloj estas reciproke primaj. Ĝi tekstas:

$m_1,m_2,\dots ,m_n$ estu popare reciproke primaj entjeroj. Tiam por ĉiu entjera opo $a_1,a_2,\dots ,a_n$ ekzistas entjero $x$, kiu solvas la jenan samtempan kongruecon:

$x\equiv a_i(\mathrm{mod}{m}_i)$ kun $i=1,2,\dots ,n$

Ĉiuj solvoj por tiu kongrueco estas kongrua module $M:=m_1\cdot m_2\cdot \dots \cdot m_n$.

Tiu produto $M$ egalas al la PMKO kaŭze de reciproka primeco.

Trovado de unu solvo

Unu solvo $x$ povas esti trovita jene: Por ĉiu $i$ la nombroj $m_i$ kaj $M_i:=\frac{M}{m_i}$ estas reciproke primaj, do oni povas trovi du nombrojn $r_i$ kaj $s_i$, ekzemple kun la etendita eŭklida algoritmo, kun la propreco

$r_i\cdot m_i+s_i\cdot M_i=1$.

Se oni metas $e_i:=s_i\cdot M_i$, tiam validas

$e_i\equiv 1(\mathrm{mod}{m}_i)$

$e_i\equiv 0(\mathrm{mod}{m}_j),j\ne i$.

Tiam la nombro

$x:=\sum _{i=1}^n{a}_i{e}_i$

estas solvo por la samtempa kongrueco.

Ekzemplo

Estu serĉata entjero $x$, por kiu validas jeno:

$\begin{array}{ccc}x& \equiv & 2(\mathrm{mod}3)\\ x& \equiv & 3(\mathrm{mod}4)\\ x& \equiv & 2(\mathrm{mod}5)\end{array}$

Ĉi tie validas $M=3\cdot 4\cdot 5=60,M_1=\frac{M}{3}=20,M_2=\frac{M}{4}=15,M_3=\frac{M}{5}=12$. Kun helpo de etendita eŭklida algoritmo oni kalkulas

$7\cdot 3+(-1)\cdot 20=1$, do $e_1=-20$

$4\cdot 4+(-1)\cdot 15=1$, do $e_2=-15$

$5\cdot 5+(-2)\cdot 12=1$, do $e_3=-24$

Tiam unu solvo estas $x=2\cdot (-20)+3\cdot (-15)+2\cdot (-24)=-133$. Kaŭze de $-133\equiv 47(\mathrm{mod}60)$ ĉiuj aliaj solvoj estas kongruaj al 47 module 60.

Ĝenerala kazo

Ankaŭ ĉe la kazo, ke la moduloj ne estas reciproke primaj, ekzistas solvo kelkfoje. La ekzakta kondiĉo tekstas: Solvo por la samtempa kongrueco ekzistas strikte tiam, se por ĉiuj $i\ne j$ validas:

$a_i\equiv a_j(\mathrm{mod}\mathrm{pgkd}(m_i,m_j))$.

Ĉiuj solvoj estas kongruaj module la PMKO de $m_i$.

En la kazo, ke solvo ekzistas, unu samtempa kongrueco povas esti solvita, ekzemple, per substituoj, paŝo post paŝo, ankaŭ se la moduloj ne estas reciproke primaj.

Ekzemplo

La celo de unu klasika enigmo estas trovi la malplej grandan naturan nombron, kiu havas la reston 1 ĉe dividado kun resto per 2, 3, 4, 5 kaj 6, kaj estas nete dividebla per 7. Do oni serĉas la malplej grandan pozitivan solvon $x$ de la samtempa kongrueco.

$\begin{array}{cccc}x& \equiv & 1& (\mathrm{mod}2)\\ x& \equiv & 1& (\mathrm{mod}3)\\ x& \equiv & 1& (\mathrm{mod}4)\\ x& \equiv & 1& (\mathrm{mod}5)\\ x& \equiv & 1& (\mathrm{mod}6)\\ x& \equiv & 0& (\mathrm{mod}7)\end{array}$

Ĉar la moduloj ne estas reciproke primaj, oni ne povas apliki la ĉinan restteoremon senpere. Sed oni povas kunigi la unuan kvin kondiĉojn al $x\equiv 1(\mathrm{mod}\mathrm{pmko}\{2,3,4,5,6\})$, kiu signifas, ke solvo estu trovita por

$\begin{array}{cccc}x& \equiv & 1& (\mathrm{mod}60)\\ x& \equiv & 0& (\mathrm{mod}7)\end{array}$

Tiu sistemo de kongruecoj nun solveblas pere de la ĉina restteoremo.

Rekta solvado de samtempaj kongruecoj de entjeroj

La jenaj ambaŭ kongruecoj estu donita:

$\begin{array}{cccc}x& \equiv & a& (\mathrm{mod}n)\\ x& \equiv & b& (\mathrm{mod}m)\end{array}$

Se tiuj solveblas, do $a\equiv b(\mathrm{mod}d)$, ili estas ekvivalenta je la simpla kongrueco:

$\begin{array}{cccc}x& \equiv & a-yn\frac{a-b}{d}& (\mathrm{mod}\frac{nm}{d})\end{array}$

kun $d=\mathrm{pgkd}(n,m)=yn+zm$.

Tio funkcias ankaŭ kiam la nombroj n kaj m ne estas reciproke primaj; tio do estas klara simpligo por solvi samtempajn kongruecojn. Sistemo de kongruecoj povas esti solvita per refarita aplikado de tiu simpligo.