PriskriboKleinBottle-Figure8-01.png	Figure-eight immersion of a Klein bottle into R3. Made with Mathematica. English: The "figure 8" immersion of the Klein bottle. Italiano: L'immersione a "figura 8" della bottiglia di Klein. Русский: Реализация бутылки Клейна в виде восьмерки
Dato	05/08/06
Fonto	Own drawing, Mathematica 5.1
Aŭtoro	Fropuff, Inductiveload
Permeso (Reuzo de la dosiero)	The original image was released into the public domain by Fropuff: Public domainPublic domainfalsefalse Ĉi tiu verko estis liberigita kiel publika havaĵo de ties aŭtoro, Fropuff. Tio aplikatas tutmonde. En iuj landoj tio povas esti laŭleĝe neebla; en tiu okazo: Fropuff donas al iu ajn la rajton uzi ĉi tiun verkon por iu ajn uzo, sen kondiĉoj, krom se tiuj kondiĉoj deviĝas per leĝo. The derived, redrawn, edited image was released into the public domain by Inductiveload: Public domainPublic domainfalsefalse Ĉi tiu verko estis liberigita kiel publika havaĵo de ties aŭtoro, Inductiveload. Tio aplikatas tutmonde. En iuj landoj tio povas esti laŭleĝe neebla; en tiu okazo: Inductiveload donas al iu ajn la rajton uzi ĉi tiun verkon por iu ajn uzo, sen kondiĉoj, krom se tiuj kondiĉoj deviĝas per leĝo.
Ceteraj versioj	For a cut-away version see Image:KleinBottle-Figure8-02.png.

File:KleinBottle-Figure8-01.svg estas vektora versio de ĉi tiu bildo. Ĝi estu uzata anstataŭ ĉi tiu rastruma bildo, se ĝi ne estas malpli bonkvalita. File:KleinBottle-Figure8-01.png → File:KleinBottle-Figure8-01.svg Pliajn informojn vidu ĉe Help:SVG. En aliaj lingvoj Alemannisch ∙ العربية ∙ беларуская (тарашкевіца) ∙ български ∙ বাংলা ∙ català ∙ нохчийн ∙ čeština ∙ dansk ∙ Deutsch ∙ Ελληνικά ∙ English ∙ British English ∙ Esperanto ∙ español ∙ eesti ∙ euskara ∙ فارسی ∙ suomi ∙ français ∙ Frysk ∙ galego ∙ Alemannisch ∙ עברית ∙ हिन्दी ∙ hrvatski ∙ magyar ∙ հայերեն ∙ Bahasa Indonesia ∙ Ido ∙ italiano ∙ 日本語 ∙ ქართული ∙ 한국어 ∙ lietuvių ∙ македонски ∙ മലയാളം ∙ Bahasa Melayu ∙ မြန်မာဘာသာ ∙ norsk bokmål ∙ Plattdüütsch ∙ Nederlands ∙ norsk nynorsk ∙ norsk ∙ occitan ∙ polski ∙ prūsiskan ∙ português ∙ português do Brasil ∙ română ∙ русский ∙ sicilianu ∙ Scots ∙ slovenčina ∙ slovenščina ∙ српски / srpski ∙ svenska ∙ தமிழ் ∙ ไทย ∙ Türkçe ∙ татарча / tatarça ∙ українська ∙ vèneto ∙ Tiếng Việt ∙ 中文 ∙ 中文（中国大陆） ∙ 中文（简体） ∙ 中文（繁體） ∙ 中文（马来西亚） ∙ 中文（新加坡） ∙ 中文（臺灣） ∙ +/−

 

This immersion of the Klein bottle into R³ is given by the following parameterization. Here the parameters u and v run from 0 to 2π and r is some fixed positive constant.

${\displaystyle x=\left(r+\cos {\frac {u}{2}}\sin v-\sin {\frac {u}{2}}\sin 2v\right)\cos u}$

${\displaystyle y=\left(r+\cos {\frac {u}{2}}\sin v-\sin {\frac {u}{2}}\sin 2v\right)\sin u}$

${\displaystyle z=\sin {\frac {u}{2}}\sin v+\cos {\frac {u}{2}}\sin 2v}$

Klein8[r_:2] =
 Function[{u, v},
   {
       (r + Cos[u/2]Sin[v] - Sin[u/2]Sin[2v]) Cos[u],
       (r + Cos[u/2]Sin[v] - Sin[u/2]Sin[2v]) Sin[u],
       Sin[u/2]Sin[v] + Cos[u/2]Sin[2v]
   }
 ]

 ParametricPlot3D[Evaluate[Klein8[][u, v]], {u, 0, 2Pi}, {v, 0, 2Pi},
   PlotPoints -> 60, Boxed -> False, Axes -> False, ImageSize -> 800]

This image was then antialised with Chris Hill's code, made transparent around the surface and had stray pixels removed in an image editor.