Formuloj de Kramero

Formuloj de Kramero estas formuloj, kiuj donas rezulton de sistemo de n linearaj ekvacioj kun n variabloj. Ĝi portas la nomon de Gabriel Cramer.

$\{\begin{array}{ccc}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\dots +a_{1n}{x}_n& =& b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\dots +a_{2n}{x}_n& =& b_2\\ ⋮& & ⋮\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\dots +a_{nn}{x}_n& =& b_n\end{array}$

Ĉefa matrico estas (signifu $A$ ):

$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right]$

Kaj $A_i$ signifas matrico, kiu havas ŝanĝata i-koluno en libera valoroj.

$A_1=\left[\begin{array}{ccccc}{b}_1& a_{12}& a_{13}& \dots & a_{1n}\\ b_2& a_{22}& a_{23}& \dots & a_{2n}\\ b_3& a_{32}& a_{33}& \dots & a_{3n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_n& a_{n2}& a_{n3}& \dots & a_{nn}\end{array}\right]$

$A_2=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& b_1& a_{13}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& b_2& a_{23}& \dots & a_{2n}\\ a_{31}& b_3& a_{33}& \dots & a_{3n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& b_n& a_{n3}& \dots & a_{nn}\end{array}\right]$

$⋮$

$A_n=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1,n-1}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2,n-1}& b_2\\ a_{31}& a_{32}& \dots & a_{3,n-1}& b_3\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{n,n-1}& b_n\end{array}\right]$

Tiam rezulto de sistemo estas:

$x_1=\frac{\det A_1}{\det A},x_2=\frac{\det A_2}{\det A},\dots ,x_n=\frac{\det A_n}{\det A}.$

Ecoj

• Se determinanto de matrico $A$ estas alia ol zero $\det (A)\ne 0,$ tiam sistemo havas nur unu rezulton.