Duopa nombro de Mersenne

En matematiko, duopa nombro de Mersenne estas nombro de Mersenne de formo

$M_{M_p}=2^{2^p-1}-1$

kie M_p estas primo de Mersenne.

La vico de duopaj nombroj de Mersenne komenciĝas de

$M_{M_2}=M_3=7$

$M_{M_3}=M_7=127$

$M_{M_5}=M_{31}=2147483647$

$M_{M_7}=M_{127}=170141183460469231731687303715884105727$

Duopaj primoj de Mersenne

Duopa nombro de Mersenne, kiu estas primo, estas duopa primo de Mersenne. Nombro de Mersenne M_p povas esti primo, nur se p estas primo (vidu artikolon primo de Mersenne por pruvo), do $M_{M_p}$ povas esti primo, nur se M_p estas primo de Mersenne.

La unuaj valoroj de p, por kiuj M_p estas primo, estas p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31. Jam estas konate, ke $M_{M_p}$ estas primo por p = 2, 3, 5, 7; por p = 13, 17, 19, 31 netrivialaj faktoroj estas trovitaj, kaj tio montras, ke la respektivaj duopaj nombroj de Mersenne ne estas primoj.

La plej malgranda sekva kandidato por esti primo estas $M_{M_{61}}$, aŭ 2^{2305843009213693951}-1. Havante proksimume 694·10¹⁵ dekumajn ciferojn, ĉi tiu nombro estas tro granda por esti kontrolita por primeco per primeco-testoj efektivigeblaj nuntempe.

Nombroj de Catalan-Mersenne

Skribu na M(p) anstataŭ M_p. Rekursie difinita vico

2, M(2), M(M(2)), M(M(M(2))), M(M(M(M(2)))), ...

estas vico de la nombroj de Catalan-Mersenne. Oni diras ke Eugène Charles Catalan venis al ĉi tiu vico post malkovro de primeco de M(127)=M(M(M(M(2)))) de Edouard Lucas en 1876.

Kvankam la unuaj kvin eroj (supren ĝis M(127)) estas primoj, ne sciataj manieroj povas decidi ĉu ĉi ĉiuj nombroj estas primoj simple ĉar la nombroj koncernataj estas gigantaj.

Vidu ankaŭ

• Perfekta nombro
• Nombro de Fermat

Eksteraj ligiloj

• Ŝablono:OEIS - duopaj nombroj de Mersenne
• Ŝablono:MathWorld
• Ŝablono:OEIS - nombroj de Catalan-Mersenne
• Ŝablono:MathWorld
• [1] Ŝablono:Webarchiv Serĉo por faktoro de M₆₁ de Tony Forbes