Alĝebroido de Courant

En diferenciala geometrio, alĝebroido de Courant konsistas el vektora fasko kune kun interna produto kaj krampo pli ĝenerala ol la krampo de alĝebroido de Lie.

Historio

En 1990, la Usona matematikisto Theodore Courant malkovris malsimetrian krampon sur $\mathrm{T}M\oplus {\mathrm{T}}^{*}M$, la unuan ekzepmlon de alĝebroido de Courant. La ĝenerala koncepto de alĝebroido de Courant estis difinita de Zhang-Ju Liu, Alan Weinstein kaj Ping Xu en 1997.

Difino

Alĝebroido de Courant konsistas el la jenaj datenoj:

• Vektora fasko $E\twoheadrightarrow M$
• Nedegenerita interna produto $E{\times }_{M}E\to M\times ℝ$, kies komponantoj estas ${\kappa }_{ij}$
• Dulineara krampo $[-,-]:\mathrm{\Gamma }E\times \mathrm{\Gamma }E\to \mathrm{\Gamma }E$
• Faska bildigo $\rho :E\to \mathrm{T}M$ al la tanĝa fasko, kies komponantoj estas ${\rho }_i^{\mu }$

La datenoj devas plenumi la jenajn aksiomojn:

• Identeco de Jacobi: $[\varphi ,[\chi ,\psi ]]=[[\varphi ,\chi ],\psi ]+[\chi ,[\varphi ,\psi ]]$ por ĉiuj sekcioj $\varphi ,\chi ,\psi \in \mathrm{\Gamma }E$
• Lejbnica regulo: $[\varphi ,f\psi ]=\rho (\varphi )f\psi +f[\varphi ,\psi ]$
• Obstrukco al malsimetrieco: $([\varphi ,\psi ]+[\psi ,\varphi ]{)}^i=\frac{1}{2}{\kappa }^{ij}{\rho }_j^{\mu }{\partial }_{\mu }⟨\varphi ,\psi ⟩$
• Invarianteco de la interna produto: $\rho (\varphi )⟨\psi ,\chi ⟩=⟨[\varphi ,\psi ],\chi ⟩+⟨\psi ,[\varphi ,\chi ]⟩$

en kiu $\varphi ,\chi ,\psi \in \mathrm{\Gamma }E$ kaj $f$ estas glata reelvalora funkcio sur $M$.

Eksteraj ligiloj

• Dimitry Roytenberg Ŝablono:Cite arXiv