Principo de reflektado

En probabloteorio kaj stokastikaj procezoj, la reflektadprincipo por Wiener-procezo deklaras ke se la pado de Wiener-procezo $f(t)$ atingi valoron $f(s)=a$ en tempo $t=s$, tiam la posta vojo post tempo $s$ havas la saman distribuon kiel la reflektado de la posta vojo sur la valoro $a$ . Pli formale, la principo de reflektado rilatas al lemo koncerne la distribuadon de la suprema de la Wiener-procezo, ankaŭ nomita Browniana moviĝo . La rezulto rilatigas la distribuadon de la suprema de la Browniana movo al la tempo $t$ kun la distribuo de la procezo en tempo $t$ . Ĝi estas konsekvenco de la forta Markov-posedaĵo de Brownia moviĝo.

Aserto

se

$(W(t):t\ge 0)$

estas Wiener-procezo

$a>0$

estas sojlo (ankaŭ nomita krucpunkto), tiam la lemo diras:

$\mathbb{P}(\underset{0\le s\le t}{\sup }W(s)\ge a)=2\mathbb{P}(W(t)\ge a).$

Pli forte, la principo de pripensado deklaras ke se

$\tau$

estas halta tempo, tiam la reflekto de la Wiener-procezo komencanta je

$\tau$

, indikita

$(W^{\tau }(t):t\ge 0)$

, ankaŭ estas Wiener-procezo, kie:

$W^{\tau }(t)=W(t){\chi }_{\{t\le \tau \}}+(2W(\tau )-W(t)){\chi }_{\{t>\tau \}}$

kaj la indikila funkcio

${\chi }_{\{t\le \tau \}}=\{\begin{array}{cc}1,& \text{se }t\le \tau \\ 0,& \text{de outro modo }\end{array}$

Ĝi estas

${\chi }_{\{t>\tau \}}$

estas difinitaj simile. La plej forta formo implicas la originalan moton dum elektado

$\tau =\inf \{t\ge 0:W(t)=a\}$

.

Pruvo

La plej frua halttempo por atingi la interkruciĝpunkton

$a$

,

${\tau }_a:=\inf \{t:W(t)=a\}$

, estas preskaŭ certe limigita halttempo. Tiam ni povas apliki la fortan Markov-econ por dedukti ke posta relativa vojo al

${\tau }_a$

, donita de

$X_t:=W(t+{\tau }_a)-a$

, estas ankaŭ simpla Brownia movo sendependa de

${ℱ}_{{\tau }_a}^W$

. Do la probabla distribuo por la lasta fojo

$W(s)$

estas sur la sojlo

$a$

aŭ super ĝi en la tempointervalo

$[0,t]$

kaj povas esti malkomponita kiel:

$\begin{array}{cc}\mathbb{P}(\underset{0\le s\le t}{\sup }W(s)\ge a)& =\mathbb{P}(\underset{0\le s\le t}{\sup }W(s)\ge a,W(t)\ge a)+\mathbb{P}(\underset{0\le s\le t}{\sup }W(s)\ge a,W(t)<a)\\ & =\mathbb{P}(W(t)\ge a)+\mathbb{P}(\underset{0\le s\le t}{\sup }W(s)\ge a,X(t-{\tau }_a)<0)\\ \end{array}.$

Per la turo por kondiĉaj atendoj, la dua termino reduktas al:

$\begin{array}{cc}\mathbb{P}(\underset{0\le s\le t}{\sup }W(s)\ge a,X(t-{\tau }_a)<0)& =𝔼\left[\mathbb{P}(\underset{0\le s\le t}{\sup }W(s)\ge a,X(t-{\tau }_a)<0|{ℱ}_{{\tau }_a}^W)\right]\\ & =𝔼\left[{\chi }_{\underset{0\le s\le t}{\sup }W(s)\ge a}\mathbb{P}(X(t-{\tau }_a)<0|{ℱ}_{{\tau }_a}^W)\right]\\ & =\frac{1}{2}\mathbb{P}(\underset{0\le s\le t}{\sup }W(s)\ge a),\end{array}$

donita tion

$X(t)$

estas norma Brownia movo sendependa de

${ℱ}_{{\tau }_a}^W$

kaj havas probablecon

$1/2$

esti malpli ol

$0$

. La pruvo de la lemo estas kompletigita per anstataŭigado de tio en la duan linion de la unua ekvacio:

$\begin{array}{cc}\mathbb{P}(\underset{0\le s\le t}{\sup }W(s)\ge a)& =\mathbb{P}(W(t)\ge a)+\frac{1}{2}\mathbb{P}(\underset{0\le s\le t}{\sup }W(s)\ge a)\\ \mathbb{P}(\underset{0\le s\le t}{\sup }W(s)\ge a)& =2\mathbb{P}(W(t)\ge a)\end{array}.$

Konsekvencoj

La reflektadprincipo estas ofte uzata por simpligi distribuajn trajtojn de Browniana moviĝo. Konsiderante Brownian moviĝon en la limigita intervalo $(W(t):t\in [0,1])$, tiam la principo de reflektado permesas al ni pruvi, ke la loko de maksimumoj $t_{\text{max}}$, kiuj kontentigas $W(t_{\text{max}})=\underset{0\le s\le 1}{\sup }W(s)$, havas la arksinusan distribuon. Tio estas unu el la arksinuoj de Lévy.

Vidu ankaŭ

• Reflekto