Matrica multipliko

Ĉi tiu artikolo donas priskribojn de la diversaj vojoj por multipliki matricojn.

Ordinara matrica produto

Ordinara matrica produto estas difinita inter du matricoj nur se la nombro de kolumnoj de la unua matrico estas la sama kiel la nombro de linioj de la dua matrico. Se A estas m-per-n matrico kaj B estas n-per-p matrico, tiam ilia produto estas m-per-p matrico skribata kiel AB (aŭ iam A · B). La produto estas donita per

$(AB{)}_{ij}=\sum _{r=1}^n{a}_{ir}{b}_{rj}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{in}{b}_{nj}.$

por ĉiu paro i kaj j kun 1 ≤ i ≤ m kaj 1 ≤ j ≤ p.

Jena bildo montras kiel kalkuli la eron (1,2) de AB se A estas 2×4 matrico, kaj B estas 4×3 matrico. Eroj de ĉiu matrico estas paritaj laŭ direktoj de la montriloj; ĉiu paro estas multiplikita en si kaj la produtoj estas adiciitaj. La loko de la rezultanta nombro en AB korespondas al la linio kaj kolumno kiuj estis konsideritaj.

$(AB{)}_{12}=\sum _{r=1}^4{a}_{1r}{b}_{r2}=a_{11}{b}_{12}+a_{12}{b}_{22}+a_{13}{b}_{32}+a_{14}{b}_{42}$

Propraĵoj

Matrica multipliko estas ne komuta (do ĝenerale, AB ≠ BA), escepte specialajn okazojn.

Ĉi tiu nocio de multipliko estas grava ĉar se A kaj B estas interpretataj kiel linearaj transformoj, tiam la matrica produto AB korespondas al la komponaĵo de la du linearaj transformoj, kun B estanta aplikita la unuan.

Skalara multipliko

Ŝablono:Ĉefartikolo La skalara multipliko de matrico A = (a_ij) kaj skalaro r donas produton rA de la sama amplekso kiel A. La elementoj de rA estas donitaj per

$(rA{)}_{ij}=r\cdot a_{ij}.$

Laŭelementa produto

Por du matricoj de la samaj dimensioj ekzistas la laŭelementa produto. Laŭelementa produto de du m-per-n matricoj A kaj B, skribata kiel A • B, estas m-per-n matrico (A•B)_{_ij_} = a_{_ij_}b_{_ij_}. Ekzemple

$\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 1& 0& 0\\ 1& 2& 2\end{array}\right]\bullet \left[\begin{array}{ccc}0& 0& 2\\ 7& 5& 0\\ 2& 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1\cdot 0& 3\cdot 0& 2\cdot 2\\ 1\cdot 7& 0\cdot 5& 0\cdot 0\\ 1\cdot 2& 2\cdot 1& 2\cdot 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 4\\ 7& 0& 0\\ 2& 2& 2\end{array}\right]$

Notu ke la laŭelementa produto estas submatrico de la Kronecker-a produto (vidu pli sube). Ĉi tiu multipliko estas komuta.

Kronecker-a produto

Ĉefa artikolo: kronecker-a produto.

Por ĉiuj du matricoj A kaj B, ekzistas la direkta produto aŭ kronecker-a produto A B difinita kiel

$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}B& a_{12}B& \cdots & a_{1n}B\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}B& a_{m2}B& \cdots & a_{mn}B\end{array}\right].$

Notu ke se A estas m-per-n kaj B estas p-per-r tiam A B estas mp-per-nr matrico. Ĉi tiu multipliko estas ne komuta.

Ekzemple

$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 1\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{cc}0& 3\\ 2& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1\cdot 0& 1\cdot 3& 2\cdot 0& 2\cdot 3\\ 1\cdot 2& 1\cdot 1& 2\cdot 2& 2\cdot 1\\ 3\cdot 0& 3\cdot 3& 1\cdot 0& 1\cdot 3\\ 3\cdot 2& 3\cdot 1& 1\cdot 2& 1\cdot 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 3& 0& 6\\ 2& 1& 4& 2\\ 0& 9& 0& 3\\ 6& 3& 2& 1\end{array}\right]$.

Komunaj propraĵoj de la produtoj

Ĉiuj variantoj de matrica multipliko estas asociecaj:

A(BC) = (_AB_)C

kaj distribuecaj:

A(B + C) = AB + AC

kaj

(A + B)C = AC + BC

kaj kongrua kun la skalara multipliko:

c(AB) = (cA)B = A(cB)

Vidu ankaŭ

• Matrica inversigo
• Algoritmo de Kupristo-Winograd
• Algoritmo de Strassen
• Matrica ĉena multipliko