Kalkula mezuro

En matematiko, la kalkula mezuro estas intuicia vojo por fari mezuron sur iu aro: la "amplekso" de subaro estas prenita kiel kvanto de la subaraj eroj se ĝi finia, kaj ∞ se la subaro estas malfinia.

Formale, oni startu kun aro Ω kaj konsideru la σ algebron X sur Ω konsistantan de ĉiuj subaroj de Ω. Oni difinu mezuron μ sur ĉi tiu σ algebro per opcio μ(A) = |A| se A estas finia subaro de Ω kaj μ(A) = ∞ se A estas malfinia subaro de Ω. Tiam (Ω, X, μ) estas mezurhava spaco.

La kalkula mezuro permesas traduki multajn propoziciojn pri L^p-aj spacoj en pli kutimajn. Se Ω = {1,...,n} kaj S estas la mezurhava spaco kun la kalkula mezuro sur Ω, tiam L^p(S) estas la sama kiel Rⁿ (aŭ Cⁿ), kun normo difinita per

$\Vert x{\Vert }_p={(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p)}^{1/p}$

por x = (x₁,...,x_n).

Simile, se Ω estas estas la naturaj nombroj kaj S estas la mezurhava spaco kun la kalkula mezuro sur Ω, tiam L^p(S) konsistas de tiuj vicoj x = (x_n) por kiu

$\Vert x{\Vert }_p={(\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_i{|}^p)}^{1/p}$

estas finia. Ĉi tiu spaco estas ofte skribita kiel ${\ell }^p$.