Spinoro

En fiziko kaj matematiko, spinoro estas elemento de speciala prezento de la spina grupo, kiu estas duobla kovro de la speciala orta grupo. En fiziko, spinoraj kampoj priskribas fermionojn.

Difino

Konsideru la $n$-dimensian specialan ortan grupon $\mathrm{SO}(n)$. Do, ekzistas kanonan duoblan kovran grupon, la spinan grupon $\mathrm{Spin}(n)$. La (Diraka) spinoro estas kompleksa grupa prezento de la spina grupo $\mathrm{Spin}(n)$ de dimensio $2^{\lfloor n/2\lfloor }$. Konkrete, en $n$ dimensioj, konsideru la Dirakajn matricojn ${\gamma }_{\mu }$, kiuj estas prezento de la alĝebro de Clifford $\mathrm{Cl}(n)$:

$\{{\gamma }_{\mu },{\gamma }_{\nu }\}=2{\delta }_{\mu \nu }(\mu ,\nu \in \{1,\dots ,n\})$.

La Dirakaj matricoj estas kompleksaj kvadrataj matricoj de grando $2^{\lfloor n/2\lfloor }\times 2^{\lfloor n/2\lfloor }$. Do, la elementoj de la alĝebro de Clifford de grado 2 formas alĝebron de Lie izomorfan al la spinan alĝebron:

${\mathrm{Cl}}^2(n)\cong 𝔰𝔬(n)$.

Tiuj respondas al la matricoj de la formo

${\gamma }_{\mu \nu }={\gamma }_{\mu }{\gamma }_{\nu }-{\gamma }_{\nu }{\gamma }_{\mu }$.

per tiuj, la alĝebro de Lie $𝔰𝔬(n)$ agas sur la kompleksa vektora spaco ${ℂ}^{2^{\lfloor n/2\lfloor }}$ jene:

$R\bullet \psi =\mathrm{i}\sum _{\mu ,\nu =1}^n{R}_{\mu \nu }{\gamma }_{\mu \nu }\psi (R\in 𝔰𝔬(n),\psi \in {ℂ}^{2^{\lfloor n/2\lfloor }})$.

Tiel, ${ℂ}^{2^{\lfloor n/2\lfloor }}$ estas unita prezento de la spina grupo $\mathrm{Spin}(n)$. Elemento de tiu prezento nomiĝas (Diraka) spinoro.

La ĉi-supra konstruo de Dirakaj spinoroj ne dependas de la metrika signumaro. En specifaj dimensioj kaj signumaroj, oni povas malkomponi la Dirakan spinoron en pli malgrandajn spinorajn prezentojn.

Propraĵoj

Simile al la vektora kaj tensoraj prezentoj de la orta grupo, kiuj difinas vektorajn kampojn kaj tensorajn kampojn, oni povas difini spinorajn kampojn. En unitaj kvantumaj kampaj teorioj, kiuj respektas la simetrion de Poincaré, la spina-statistika teoremo garantias, ke fermionaj partikloj respondas al tiuj prezentoj de la orta (Lorentz-a) grupo, kiuj estas tensora produto de spinora kaj tensora prezentoj; la plej ofta kazo estas tio de spino ½, por kiu la kampo estas simple spinora kampo.

Eksteraj ligiloj

• Ŝablono:Mathworld
• Ŝablono:Citaĵo el la reto