Grupa homomorfio

Ŝablono:Algebraj strukturoj En grupa teorio, grupa homomorfio estas homomorfio inter grupoj, t.e. funkcio kiu konservas la algebran strukturon de grupoj (multipliko, inverso, neŭtrala elemento).

Difino

Se $G$ kaj $H$ estas grupoj, do grupa homomorfio de $G$ al $H$ estas funkcio $f:G\to H$ plenumanta la jenan aksiomon:

• Por ajnaj elementoj $g,g^{\prime }\in G$, do $f(g\cdot g^{\prime })=f(g)\cdot f(g^{\prime })$.

El tio sekvas, tia funkcio konservas ankaŭ la aliajn strukturojn de la grupo (inverson, neŭtralan elementon):

• $f(g)=f(1_G\cdot g)=f(1_G)\cdot f(g)$; tial $f(1_G)=1_H$.
• $1_H=f(1_G)=f(g\cdot g^{-1})=f(g)\cdot f(g^{-1})$; tial $f(g^{-1})=f(g{)}^{-1}$.

Ekzemploj

• La funkcio $ℂ\to {ℂ}^{*},z\mapsto {\mathrm{e}}^z$ verigas ${\mathrm{e}}^{z+z^{\prime }}={\mathrm{e}}^z\times {\mathrm{e}}^{z^{\prime }}$. Ĝi do estas grupa homomorfio de $(ℂ,+)$ al $({ℂ}^{*},\times )$.
• La funkcio $\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z},x\mapsto xmodn$ estas grupa homomorfio de $(\mathbb{Z},+)$ al $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$.

Eksteraj ligiloj

• Ŝablono:Mathworld