Koŝia ĉefa valoro

Ŝablono:Polurinda En matematiko, la koŝia ĉefa valoro de certa nepropra integralo estas difinita kiel

• la finia nombro

$\underset{\epsilon \to 0+}{\lim }[\underset{a}{\overset{b-\epsilon }{\int }}f(x)dx+\underset{b+\epsilon }{\overset{c}{\int }}f(x)dx]$

kie b estas punkto je kiu la konduto de la funkcio f estas tia ke

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\pm \mathrm{\infty }$

por ĉiu A < b kaj

$\underset{b}{\overset{c}{\int }}f(x)dx=\mp \mathrm{\infty }$

por ĉiu c > b (unu signo estas "+" kaj la alia estas "−").

aŭ

• la finia nombro

$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$

kie

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}f(x)dx=\pm \mathrm{\infty }$

kaj

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\mp \mathrm{\infty }$

(denove, unu signo estas "+" kaj la alia estas "−").

En iuj okazoj necesas pritrakti samtempe kun specialaĵoj ambaŭ je finia nombro b kaj je malfinio. Ĉi tiu estas kutime farata per limigo de la formo

$\underset{\epsilon \to 0+}{\lim }\underset{b-\frac{1}{\epsilon }}{\overset{b-\epsilon }{\int }}f(x)dx+\underset{b+\epsilon }{\overset{b+\frac{1}{\epsilon }}{\int }}f(x)dx.$

Skribado

La koŝia ĉefa valoro de funkcio f povas skribita per kelkaj notacioj, depende de la aŭtoroj. Ĉi tiuj sed ne nur variantoj estadas:

$PV\int f(x)dx$, $P$, P.V., $𝒫$, $P_v$, $(CPV)$ kaj V.P..

Ekzemploj

Konsideru la diferencon de valoroj de du limigoj:

$\underset{a\to 0+}{\lim }(\underset{-1}{\overset{-a}{\int }}\frac{dx}{x}+\underset{a}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{x})=0$

$\underset{a\to 0+}{\lim }(\underset{-1}{\overset{-a}{\int }}\frac{dx}{x}+\underset{2a}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{x})=-{\log }_{e}2$

La antaŭa estas la koŝia ĉefa valoro de la malbone difinita esprimo

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{x}$

Simile,

$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-a}{\overset{a}{\int }}\frac{2xdx}{x^2+1}=0$

sed

$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-2a}{\overset{a}{\int }}\frac{2xdx}{x^2+1}=-{\log }_{e}4$

La antaŭa estas la ĉefa valoro de la alia malbone difinita esprimo

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{2xdx}{x^2+1}$

Ĉi tiuj patologioj ne afliktas lebego-integraleblaj funkcioj, tio estas, funkcioj la integraloj de kies absolutaj valoroj estas finiaj.