Kvaredra nombro

Regula kvaredro, kun latero longa je 5 globetoj enhavas 35 globetojn. Estas 5 tavoloj, kaj ĉiu konsistas el la respektiva triangula nombro da globetoj.

Kvaredra nombro, aŭ triangula piramida nombro, estas figuriga nombro kiu prezentas regulan kvaredron — piramidon kun triangula bazo kaj tri triangulaj flankoj.

La sinsekvo de kvaredraj nombroj $K_n$ por $n=1,2,3,\dots$ komenciĝas tiel:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, … — estas la sinsekvo Ŝablono:OEIS.

Formulo

La triangulo de Pascal

Formulo por $n$-a kvaredra nombro estas:

$K_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}.$

Ankaŭ la formulon oni povas esprimi per binoma koeficiento:

$K_n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+2}{3}).$

En $n$-a linio (komence de la 3-a) de la triangulo de Pascal, la 4-a nombro (de la komenco aŭ de la fino de la linio) estas $K_{n-2}$, t. e. la $(n-2)$-a kvaredra nombro.

Pruvo

La formulo de la $n$-a triangula nombro estas:

$T_n=\frac{n(n+1)}{2}.$

Ni pruvu per indukto:

La bazo de la indukto

$K_1=1=\frac{1\cdot 2\cdot 3}{6}.$

La paso de la indukto

$K_{n+1}=K_n+T_{n+1}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}.$

Ecoj

• La $n$-a kvaredra nombro estas la sumo de la $n$ unuaj triangulaj nombroj

$K_n=T_1+T_2+\dots +T_n.$

• A. J. Meyl pruvis en la 1878-a ke nur tri kvaredraj nombroj estas perfektaj kvadratoj:

$K_1=1^2=1$;

$K_2=2^2=4$;

$K_{48}=140^2=19600$.

• Ekzistas nur kvin kvaredraj nombroj kiuj samtempe estas triangulaj (la sinsekvo Ŝablono:OEIS):

$K_1=T_1=1$;

$K_3=T_4=10$;

$K_8=T_{15}=120$;

$K_{20}=T_{55}=1540$;

$K_{34}=T_{119}=7140$.

Por tiuj nombroj ĝustas sekva egalaĵo:

$K_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}=\frac{m(m+1)}{2}=T_m.$

(Se oni rigardas la nombron 0 kiel $K_0$ do ankaŭ ĝi estas kaj perfekta kvadrato kaj triangula nombro).

• Oni povas rimarki ke:

$K_5=K_4+K_3+K_2+K_1.$

• Pareco de la kvaredraj nombroj ripetas laŭ la sekva ciklo: nepara-para-para-para (estas evidente el la formulo).

• La sumo de nefinia serio de inversoj de kvaredraj nombroj estas:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{K_n}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{6}{n(n+1)(n+2)}=\frac{3}{2}.$

Mult-dimensia ĝeneraligo

Kiel mult-dimensia ĝeneraligo de la triangulaj kaj kvaredraj nombroj oni povas rigardi kvanton da k-dimensiaj sferoj, kiujn oni povas paki en k-dimensian regulan simplaĵon. Por k-dimensia spaco n-an nombron oni povas kalkuli per la formulo:

$T_n(k)=\frac{\prod _{i=0}^{k-1}(n+i)}{k!}.$