Formulo de Bernoulli

Ŝablono:PolurindaFormulo de Bernoulli estas formulo en probablokalkulo, permesata retrovas probablo aperon eventon $A$. Formulo de Bernoulli permesas eviti grandampleksajn kalkuladojn ĉe grandaj nombroj provojn.

Integro

Se probablo $p$ aperon eventon $A$ en ĉiun provon estas konstanta, do probablo $P_{k,n}$ ties, ke evento $A$ venas $k$ fojoj en $n$ nedependajn provojn egalas

$P_{k,n}=C_n^k\cdot p^k\cdot q^{n-k},$

kie

$q=1-p.$

Pruvo

Se estas $n$ nedependajn provojn. Konate, ke en rezulto de ĉiuj provoj evento $A$ aperas kun probablon $P\left(A\right)=p$ kaj, do, ne aperas kunprobablon $P\left(\overline{A}\right)=1-p=q.$ Se same probabloj $p$ kaj $q$ estas konstantaj. Kia estas la probablo ties, ke en rezulto $n$ nedependajn provojn, evento $A$ aperas $k$ fojoj?

Ni eblas elkalkuli nombroj de «sukcesaj» kombinaĵo en eliroj, por kioma evento $A$ aperas $k$ fojoj en $n$ nedependaj provoj kiel binoma koeficiento:

$C_n(k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Ĉar ĉiuj provoj estas nedependaj, kaj ilin eliro estas nekuna (evento $A$ aŭ aperas, aŭ ne aperas), de probablo ricevon «sukcesan» kombinaĵon egalas: $p^k\cdot q^{n-k}$.

Finofara, por radikkalkulon ties, ke en $n$ nedependaj provoj evento $A$ aperas $k$ fojoj, necese aicias probabloj ĉiuj sukcesajn kombinaĵojn. Probabloj ĉiuj «sukcesaj» kombinaĵojn estas egala kaj egalas $p^k\cdot q^{n-k}$, nombroj de «sukcesaj» kombinaĵoj egalas $C_n(k)$,

do

$P_{k,n}=C_n^k\cdot p^k\cdot q^{n-k}=C_n^k\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}$.

Tio estas formulo de Bernoulli.

Q.E.D.

Vidu ankaŭ

• Provo de Bernoulli
• Faktorialo
• Binoma koeficiento

Eksteraj ligiloj

• Formulo de Bernoulli