Trigonometria Furiera transformo

La trigonometria (sinusa kaj kosinusa) Furiera transformo estas formo de la Furiera transformo, uzanta trigonometriajn funkciojn (la sinuson kaj la kosinuson) anstataŭ kompleksaj nombroj.

Integro

Sinusa Furiera transformo

Sinusa Furiera transformo ${\hat{f}}^s$ aŭ ${ℱ}_s(f)$ de funkcio $f(t)$ egalas

$2\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\sin 2\pi \nu tdt.$,

kie

$t$ — tempo;

$\nu$ — frekvenco de vibrado.

La funkcio $f(t)$ estas malpara funkcio laŭ $\nu$, tio estas

^ ${\hat{f}}^s(\nu )=-{\hat{f}}^s(-\nu )\mathrm{\forall }\nu$.

Kosinusa Furiera transformo

Kosinusa Furiera transformo ${\hat{f}}^c$ aŭ ${ℱ}_c(f)$ de funkcio $f(t)$ egalas

$2\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\cos 2\pi \nu tdt.$

kie

$t$ — tempo;

$\nu$ — frekvenco de vibraro.

La funkcio $f(t)$ estas para laŭ $\nu$, tio estas ${\hat{f}}^s(\nu )={\hat{f}}^s(-\nu )\mathrm{\forall }\nu$.

Inversaj sinusa kaj kosinusa Furieraj transformoj

Origina funkcio $f(t)$ eltrovas laŭ formulo

$f(t)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\hat{f}}^c\cos (2\pi \nu t)d\nu +\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\hat{f}}^s\sin (2\pi \nu t)d\nu .$

Uzas la furmulo por adicio por kosinuso, sciiĝi

$\frac{\pi }{2}(f(x+0)+f(x-0))=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos \omega (t-x)f(t)dtd\omega ,$,

kie

$f(x+0)$ kaj $f(x-0)$ estas dekstra kaj maldekstre limeto respektive.

Se funkcio $f(t)$ estas para, tiam la ero de formulo kun sinuso turniĝi en nul; se $f(t)$ estas malpara, tiam kosinuso neniiĝas.

Kompleksa Furiera transformo

Ofte uzas kampleksa formo de la Furiera transformo:

$\hat{f}(\nu )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-2\pi i\nu t}dt.$

Uzas formulo de Eŭlera, sciiĝi, ke

$\hat{f}(\nu )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)(\cos 2\pi \nu t-i\sin 2\pi \nu t)dt=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\cos 2\pi \nu tdt-i\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\sin 2\pi \nu tdt=\frac{1}{2}{\hat{f}}^c(\nu )-\frac{i}{2}{\hat{f}}^s(\nu ).$

Literaturo

• Whittaker, Edmund, and James Watson, A Course in Modern Analysis, Fourth Edition, Cambridge Univ. Press, 1927, стр. 189, 211