Vidi fonton por Vektoraj kampoj en cilindraj kaj sferaj koordinatoj

== Vektoraj kampoj en cilindraj koordinatoj ==

Vektoroj estas difinita en cilindraj koordinatoj per (&rho;,&phi;,z), kie
* &rho; estas la longo de la vektoro projektita sur la X-Y-ebeno,
* &phi; estas la angulo de la projektita vektoro kun la pozitiva abscisa akso (0 &le; &phi; < 2&pi;),
* z estas la regula z-koordinato.

(&rho;,&phi;,z) estas donita en karteziaj koordinatoj per:

:<math>\left[\begin{matrix}
 \rho & = & \sqrt{x^2 + y^2} \\
 \phi & = & \operatorname{arctan}(y / x), & 0 \le \phi < 2\pi \\
 z & = & z \end{matrix}\right.</math>

aŭ inverse per:

:<math>\left[\begin{matrix}
 x & = & \rho\cos\phi \\
 y & = & \rho\sin\phi \\
 z & = & z \end{matrix}\right.</math>

Ĉiu [[vektora kampo]] povas esti skribita en terminoj de la unuoblaj vektoroj kiel:
:<math>\mathbf A = A_x \mathbf{\hat x} + A_y \mathbf{\hat y} + A_z \mathbf{\hat z}
 = A_\rho \boldsymbol{\hat \rho} + A_\phi \boldsymbol{\hat \phi} + A_z \boldsymbol{\hat z}</math>
La cilindraj unuoblaj vektoroj estas rilatanta al la karteziaj unuoblaj vektoroj per:
:<math>\begin{bmatrix}\boldsymbol{\hat\rho} \\ \boldsymbol{\hat\phi} \\ \boldsymbol{\hat z}\end{bmatrix}
 = \begin{bmatrix} \cos\phi & \sin\phi & 0 \\
 -\sin\phi & \cos\phi & 0 \\
 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix} \mathbf{\hat x} \\ \mathbf{\hat y} \\ \mathbf{\hat z} \end{bmatrix}</math>
* Noto: la matrico estas [[perpendikulara matrico]], do, ĝia [[inverso]] estas egala al ĝia [[transpono]].

== Tempa derivaĵo de vektora kampo en cilindraj koordinatoj ==

Por ekscii kiel la vektora kampo A ŝanĝas kun tempo (argumento) oni kalkulu la tempajn derivaĵojn.
En karteziaj koordinatoj ĉi tio estas:
:<math>\mathbf{\dot A} = \dot A_x \mathbf{\hat x} + \dot A_y \mathbf{\hat y} + \dot A_z \mathbf{\hat z}</math>

En cilindraj koordinatoj ĉi tio estas:
:<math>\mathbf{\dot A} = \dot A_\rho \boldsymbol{\hat\rho} + A_\rho \boldsymbol{\dot{\hat\rho}}
 + \dot A_\phi \boldsymbol{\hat\phi} + A_\phi \boldsymbol{\dot{\hat\phi}}
 + \dot A_z \boldsymbol{\hat z} + A_z \boldsymbol{\dot{\hat z}}</math>

La tempaj derivaĵoj de la unuoblaj vektoroj estas donitaj per:
:<math>\left[\begin{matrix}
 \boldsymbol{\dot{\hat\rho}} & = & \dot\phi \boldsymbol{\hat\phi} \\
 \boldsymbol{\dot{\hat\phi}} & = & - \dot\phi \boldsymbol{\hat\rho} \\
 \boldsymbol{\dot{\hat z}} & = & 0 \end{matrix}\right.</math>

Do la tempa derivaĵo simpliĝas al:
:<math>\mathbf{\dot A} = \boldsymbol{\hat\rho} (\dot A_\rho - A_\phi \dot\phi)
 + \boldsymbol{\hat\phi} (\dot A_\phi + A_\rho \dot\phi)
 + \boldsymbol{\hat z} \dot A_z</math>

== Gradiento, diverĝenco, kirlo kaj laplaca operatoro en cilindraj koordinatoj ==

La formuloj de [[gradiento]], [[diverĝenco]], [[kirlo (matematiko)|kirlo]] kaj [[laplaca operatoro]] en cilindraj koordinatoj estas en artikolo [[nabla operatoro en cilindraj kaj sferaj koordinatoj]].

== Vektoraj kampoj en sferaj koordinatoj ==

Vektoroj estas difinitaj en sferaj koordinatoj per (r,&theta;,&phi;), kie
* r estas la longo de la vektoro,
* &theta; estas la angulo kun la pozitiva Z-akso (0 <= &theta; <= &pi;),
* &phi; estas la angulo kun la X-Z-ebeno (0 <= &phi; < 2&pi;).

(r,&theta;,&phi;) estas donita en karteziaj koordinatoj per:

:<math>\left[\begin{matrix}
 r & = & \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\
 \theta & = & \arccos\left( z / r\right), & 0 \le \theta \le \pi \\
 \phi & = & \operatorname{arctan}(y / x), & 0 \le \phi < 2\pi \end{matrix}\right.</math>

aŭ inverse per:

:<math>\left[\begin{matrix}
 x & = & r\sin\theta\cos\phi \\
 y & = & r\sin\theta\sin\phi \\
 z & = & r\cos\theta \end{matrix}\right.</math>

Ĉiu vektora kampo povas esti skribita en terminoj de la unuoblaj vektoroj kiel:
:<math>\mathbf A = A_x\mathbf{\hat x} + A_y\mathbf{\hat y} + A_z\mathbf{\hat z}
 = A_r\boldsymbol{\hat r} + A_\theta\boldsymbol{\hat \theta} + A_\phi\boldsymbol{\hat \phi}</math>
La sferaj unuoblaj vektoroj estas rilatanta al la karteziaj unuoblaj vektoroj per:
:<math>\begin{bmatrix}\boldsymbol{\hat r} \\ \boldsymbol{\hat\theta} \\ \boldsymbol{\hat\phi} \end{bmatrix}
 = \begin{bmatrix} \sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta \\
 \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \\
 -\sin\phi & \cos\phi & 0 \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix} \mathbf{\hat x} \\ \mathbf{\hat y} \\ \mathbf{\hat z} \end{bmatrix}</math>
* Noto: la matrico estas [[perpendikulara matrico]], do, ĝia [[inverso]] estas egala al ĝia [[transpono]].

== Tempa derivaĵo de vektora kampo en sferaj koordinatoj ==

Por ekscii kiel la vektora kampo A ŝanĝas kun tempo (argumento) oni kalkulu la tempajn derivaĵojn.
En karteziaj koordinatoj ĉi tio estas:
:<math>\mathbf{\dot A} = \dot A_x \mathbf{\hat x} + \dot A_y \mathbf{\hat y} + \dot A_z \mathbf{\hat z}</math>

En sferaj koordinatoj ĉi tio estas:
:<math>\mathbf{\dot A} = \dot A_r \boldsymbol{\hat r} + A_r \boldsymbol{\dot{\hat r}}
 + \dot A_\theta \boldsymbol{\hat\theta} + A_\theta \boldsymbol{\dot{\hat\theta}}
 + \dot A_\phi \boldsymbol{\hat\phi} + A_\phi \boldsymbol{\dot{\hat\phi}}</math>

La tempaj derivaĵoj de la unuoblaj vektoroj estas donitaj per:
:<math>\begin{bmatrix}\boldsymbol{\dot{\hat r}} \\ \boldsymbol{\dot{\hat\theta}} \\ \boldsymbol{\dot{\hat\phi}} \end{bmatrix}
 = \begin{bmatrix} 0 & \dot\theta & \dot\phi \sin\theta \\
 -\dot\theta & 0 & \dot\phi \cos\theta \\
 -\dot\phi \sin\theta & -\dot\phi \cos\theta & 0 \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix} \boldsymbol{\hat r} \\ \boldsymbol{\hat\theta} \\ \boldsymbol{\hat\phi} \end{bmatrix}</math>

La tempa derivaĵo estas:
:<math>\mathbf{\dot A} = \boldsymbol{\hat r} (\dot A_r - A_\theta \dot\theta - A_\phi \dot\phi \sin\theta)
 + \boldsymbol{\hat\theta} (\dot A_\theta + A_r \dot\theta - A_\phi \dot\phi \cos\theta)
 + \boldsymbol{\hat\phi} (\dot A_\phi + A_r \dot\phi \sin\theta + A_\phi \dot\phi \cos\theta)</math>

== Gradiento, diverĝenco, frizo kaj laplaca operatoro en sferaj koordinatoj ==

La formuloj de [[gradiento]], [[diverĝenco]], [[kirlo (matematiko)|kirlo]] kaj [[laplaca operatoro]] en cilindraj koordinatoj estas en artikolo [[nabla operatoro en cilindraj kaj sferaj koordinatoj]].

[[Kategorio:Vektora kalkulo]]