Vidi fonton por Transformo de Mellin

{{Matematikaj funkcioj}}

'''Transformo de Mellin''', aŭ '''Mellin-a transformo''', estas [[integrala transformo]], bindata kun {{Alilingve|ru|serio de Dirichlet|Ряд Дирихле}}, kun [[nombroteorio]], kun [[Γ-funkcio]], kun [[speciala funkcio]] kaj kun {{Alilingve|ru|asimptota elvolvaĵo|Асимптотическое разложение}}, ankaŭ bindata kun [[laplaca transformo]] kaj [[furiera transformo]].

== Integro ==
La rekta transformo donas la formulon:
: <math>\left\{\mathcal{M}f\right\}(s) = \varphi(s)=\int_0^{\infty} x^{s-1} f(x)dx \, , </math>
kaj la inversa transformo formuliĝas:
: <math>\left\{\mathcal{M}^{-1}\varphi\right\}(x) = f(x)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} x^{-s} \varphi(s)\, ds \, .</math>

Ni konjektas, ke la [[integralo]] integras en [[kompleksa ebeno|kompleksan ebenon]].
<!-- Kondiĉaroj? -->

== Rilato kun ceteraj transformoj ==
* La [[transformo de Fourier]] esprimiĝas tiel:
: <math>\left\{\mathcal{F} f\right\}(-s) = \left\{\mathcal{B} f\right\}(-is) = \left\{\mathcal{M} f(-\ln x)\right\}(-is) \, .</math>
kaj reen:
: <math>\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f(e^{-x})\right\}(s) = \left\{\mathcal{F} f(e^{-x})\right\}(is) \, .</math>

== Ekzemplo ==
=== Integralo de Cahen-Mellin ===
Se
* <math>c>0,</math>
* <math>\Re(y)>0,</math>
* <math>y^{-s}</math> на {{Alilingve|en|ĉefe branĉo|Principal branch}},
do<ref>{{cite journal |first=G. H. |last=Hardy |first2=J. E. |last2=Littlewood |title=''Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes'' |journal=[[Acta Mathematica]] |volume=41 |issue=1 |year=1916 |pages=119–196 |doi=10.1007/BF02422942|Languag=angle }} (Vidu notojn enen por pli da referencoj pri laboroj de Cahen kaj Mellin, kun tezo de Cahen.)</ref>
: <math>e^{-y}= \frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \Gamma(s) y^{-s}\;ds</math>,
:: kie
::: <math>\Gamma(s)</math> — [[Γ-funkcio]].

== Transformo de Mellin en ''spaco de Lebesgue'' ==
Por <math>L^2(0,\infty)</math> ajna fundamenta branĉo inkluzivas <math>\tfrac{1}{2}+i\mathbb{R} . </math>

Donas [[lineara bildigo]] <math>\tilde{\mathcal{M}}</math> :
: <math>\tilde{\mathcal{M}}\colon L^2(0,\infty)\to L^2(-\infty,\infty), \{\tilde{\mathcal{M}}f\}(s) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{\infty} x^{-\frac{1}{2}+is} f(x)\,dx . </math>

Tio estas

: <math>\{\tilde{\mathcal{M}}f\}(s):=\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\{\mathcal{M}f\}(\tfrac{1}{2}-is).</math>

{{Alilingve|en|Inversa teoremo de Mellin|Mellin inversion theorem}} demonstras, ke
: <math>\tilde{\mathcal{M}}^{-1}\colon L^2(-\infty,\infty) \to L^2(0,\infty), \{\tilde{\mathcal{M}}^{-1}\varphi\}(x) = \frac{1} {\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} x^{-\frac{1}{2}-is} \varphi(s)\,ds . </math>

Krome, tiu bildigo estas [[izometrio|izometria]], tio estas
: <math>\|\tilde{\mathcal{M}} f\|_{L^2(-\infty,\infty)}=\|f\|_{L^2(0,\infty)}</math> kie <math>\forall f\in L^2(0,\infty)</math>.

Por [[probablokalkulo]] la transformo de Mellin prezentas gravan ilon.

Se
* <math>D={s:a \leqslant \Re(s) \leqslant b},</math>
* <math>a \leqslant 0 \leqslant b,</math>
* <math>X</math> — [[hazarda variablo]],
* <math>X^{+}= max{X,0},</math>
* <math>X^{-}=max{-X,0},</math>,
do transformo de Mellin stimas kiel
: <math>\mathcal{M}_X(s) = \int_0^\infty  x^s dF_{X^+}(x) + i \int_0^\infty x^s dF_{X^-}(x) \, ,</math>
:: kie
::: <math>i</math> — [[imaginara unuo]].

== Referencoj ==
{{Referencoj}}

== Literaturo ==
* {{Cite book
  | last1 = Galambos  | first1 = Janos
  | last2 = Simonelli | first2 = Italo
  | year = 2004
  | title = Products of random variables: applications to problems of physics and to arithmetical functions
  | publisher = Marcel Dekker, Inc.
  | isbn = 0-8247-5402-6
  | ref = harv }}
* {{cite book |last=Paris |first=R. B. |last2=Kaminski |first2=D. |title=''Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals'' "(Asimptotaj funkcioj kaj integraloj de Mellin-Barnes)" |location= |publisher=Cambridge University Press |year=2001 |isbn= }}
* {{cite book |first=A. D. |last=Polyanin |first2=A. V. |last2=Manzhirov |title=''Handbook of Integral Equations'' "(Manlibro pri integralaj ekvacioj)" |publisher=CRC Press |location=Boca Raton |year=1998 |isbn=0-8493-2876-4 }} ({{en}})
* {{cite book |first=P. |last=Flajolet |first2=X. |last2=Gourdon |first3=P. |last3=Dumas |title=Mellin transforms and asymptotics, Harmonic sums |journal=Theoretical Computer Science |volume=144 |issue=1-2 |pages=3–58 |year=1995 |doi= }} ({{en}})
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/aŭiliary/aŭ-inttrans.htm ''Tables of Integral Transforms'' "(Tabeloj pri integralaj transformoj)"]{{404|date=August 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }} al EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* {{springer|title=Mellin-transformo|id=p/m063380}}
* {{mathworld|urlname=MellinTransform|title=Mellin-transformo}}

== Eksteraj ligiloj ==
* Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas, ''[http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf Mellin Transforms and Asymptotics: Harmonic sums.]''
* Antonio Gonzáles, Marko Riedel ''[http://groups.google.com/group/es.ciencia.matematicas/browse_thread/thread/cfcc11fbd5eeaa48/eab2e1423902ced1#eab2e1423902ced1 Celebrando un clásico], newsgroup es.ciencia.matematicas'' (hispane)
* Juan Sacerdoti, ''[http://www.fi.uba.ar/materias/61107/Apuntes/Eu00.pdf Funciones Eulerianas] {{Webarchiv|url=https://web.archive.org/web/20070129001028/http://www.fi.uba.ar/materias/61107/Apuntes/Eu00.pdf |date=2007-01-29 }}'' (hispane).
* [http://dlmf.nist.gov/2.5 Mellin Transform Methods], Digital Library of Mathematical Functions, 2011-08-29, [[National Institute of Standards and Technology]] {{en}}
* Antonio De Sena and Davide Rocchesso, [http://www.di.univr.it/documenti/ArticoloConferenza/allegato/allegato082603.pdf Rapida Mellin-a transformo kun aplikoj en DAFX] (itale)

[[Kategorio:Kompleksa analitiko]]
[[Kategorio:Integralaj transformoj]]