Vidi fonton por Teoremo pri resto de polinomo

'''Teoremo pri resto de polinomo''' estas [[teoremo]] de [[algebro]] pri ecoj de [[nuliganto]] de [[polinomo]]j.

:'''Rimarku:''' en pola lingvo teoremo nomiĝas  '''Teoremo de Bézout''' [prononco: Bezu]. Sed estas malkorekta nomo ĉar teoremo estis konata antaŭ de [[Étienne Bézout]].

==Teoremo==
Nombro <math>a</math> estas [[nuliganto]] de polinomo <math>W(x)</math> tiam kaj nur tiam, kiam polinomo <math>W(x)</math> estas dividata per dunomo <math>(x-a)</math>, alinome:
:<math>W(a)=0 \iff (x-a)|W(x)</math>

Tute, valoro de polinomo <math>W(a)</math> estas egala de resto el divido de <math>W(x)</math> per dunomo <math>x-a</math>.

==Pruvo==

Se polinomo <math>W(x)</math> estas divida per <math>(x-a)</math>, ekzistas polinomo <math>V(x)</math>, kiu <math>W(x) = V(x)\cdot (x - a)</math>. Ĝia valoro en <math>a</math> estas:
:<math>W(a) = V(a) \cdot (a-a) = V(a) \cdot 0 = 0</math>.

Aŭ polinomo  <math>W(x)</math> kiam dividas ĝin per polinomo de grado <math>n</math> donas polinomo <math>V(x)</math> kaj resto kun grado ne plu ol <math>n-1</math>, do
:<math>W(x) = V(x) \cdot (x-a) + Z(x)</math>,
ĉar <math>(x-a)</math> estas polinomo de unua grado, <math>Z(x)</math> estas polinomo de grado ne plu ol nulo, do ĝi estas kutime nombro <math>z</math>.
:<math>W(x) = V(x) \cdot (x-a) + z</math>
ĉar valoro  <math>W(x)</math> en <math>a</math> estas nulo, do
:<math>V(a) \cdot (a-a) + z = W(a)</math>
:<math>V(a) \cdot (a-a) + z = 0</math>
:<math>V(a) \cdot 0 + z = 0</math>
:<math>z=0</math>
do <math>W(x)</math> dividiĝas per <math>(x-a)</math> sen resto, do <math>W(x)</math> estas dividebla per <math>(x-a)</math>.

==Ekzemplo==
Polinomo <math>W(x)=x^3 - 12x^2 - 42</math>, kiu dividiĝas per <math>x-3</math> estas <math>V(x)=x^2 - 9x - 27</math> kaj resto <math>-123</math>. Do el teoremo estas, ke <math>W(3)=-123</math>.

[[Kategorio:Polinomoj]]