Vidi fonton por Teoremo de Pitagoro

[[Dosiero:Pythagorean right angle.svg|eta|'''La [[teoremo]] de [[Pitagoro]]''':La sumo de la [[areo]]j de la du [[kvadrato]]j kies [[latero]]j kunvenas ĉe [[orto|orta]] [[angulo]] egalas al la areo de la tria [[kvadrato]].]]
En [[matematiko]], la '''[[Teoremo]] de [[Pitagoro]]''' estas la rilato inter la tri [[latero]]j de [[orta triangulo]]. La [[teoremo]] estas nomita tiel laŭ la nomo de la antikva Greka [[matematiko|matematikisto]] [[Pitagoro]], unu el pluraj antikvuloj kiuj malkovris ĝin.

La [[teoremo]] estas kiel sube:
:En ĉiu ajn [[orto|orta]] [[triangulo]], la [[areo]] de la [[kvadrato]] kun [[latero]]j kies [[longo]] egalas al la [[longo]] de la hipotenuzo de tiu [[triangulo]] (la [[latero]] de [[orto|orta]] [[triangulo]] situanta kontraŭ la [[orto|orta]] [[angulo]]) estas egala al la sumo de la [[areo]]j de la du [[kvadrato]]j kun [[latero]]j kies [[longo]]j egalas respektive al la longo de la du katetoj (la du [[latero]]j de la [[orto|orta]] [[triangulo]] kiuj ne estas la hipotenuzo).

Se ''c'' estas la [[longo]] de la hipotenuzo kaj ankaŭ ''a'' kaj ''b'' estas la [[longo]]j de la du aliaj [[latero]]j (tio estas, la katetoj), la [[teoremo]] povas esti skribita kiel sube:

: <math>a^2 + b^2 = c^2. \,</math>

Tiele ĝi povas esti esprimita kiel [[ekvacio]] nome ''Pitagora Ekvacio''.<ref name="Sally0">{{Citaĵo el libro|url=http://books.google.com/books?id=nĤBw-WlECUC&pg=PA63|titolo=Roots to research: a vertical development of mathematical problems|aŭtoro=Judith D. Sally, Paul Sally|jaro=2007|ĉapitro=Chapter 3: Pythagorean triples|eldoninto=American Mathematical Society Bookstore|ISBN=0-8218-4403-2|paĝo=63}}{{404|date=January 2023 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref>

[[Dosiero:Kapitolinischer Pythagoras.jpg|eta|dekstra|180ra|[[Pitagoro]] el [[Samoso (insulo)|Samoso]] ]]
La [[teoremo]] estas teoria esprimo de la [[arto]] disvolvita de [[Hindio|hindaj]], [[Babilono|babilonaj]] kaj [[Egiptio|egiptaj]] [[Konstruaĵo|konstruistoj]] kaj [[sacerdoto]]j por atingi precize ortajn [[angulo]]jn por [[kampo]]j aŭ [[konstruaĵo]]j helpe de [[ŝnuro]]j.
Jam malgranda eraro povas esti katastrofa rezulto por grandaj konstruaĵoj. Pri [[piramido]]konstruaĵoj kun 200-metraj flankoj, konstruistoj ne rajtis erari eĉ ne minimume.

== Historio ==
=== Ŝnurstreĉistoj ===
[[Dosiero:PyramidDatePalms.jpg|eta|dekstra|180ra|Keopso-piramido]]
Por atingi la mirindan precizecon de siaj konstruaĵoj la egipta sacerdotaro havis apartan korporacion, la tiel nomataj "harpedonaptoj", t.e. ''ŝnurstreĉistoj''. Pere de [[Dekdunoda ŝnuro|dekdunodaj ŝnuroj]] la ŝnurstreĉistoj atingis ekzakte ortajn angulojn, dividante dekdu samlongajn erojn de ŝnurego per nodoj je la rilato 5:3:4 kaj kreante per tiu ŝnuro kaj helpe de fostetoj triangulon - tiamaniere kreiĝas ĉiam kaj nur orta angulo ([[pitagora triopo]]). Tiun metodon uzis la ŝnurstreĉistoj ankaŭ kiam post la retrofluo de la [[Nilo]] necesis mezuri denove la kampojn.
Ankaŭ la hindaj sacerdotoj difinis ortajn angulojn, ekzemple por konstrui altarojn, laŭ la sama metodo, sed disdividis siajn triangulojn je la proporcio 39:15:36. Ĉar la teoremo validas ankaŭ en la alia senco, a kaj b ĉirkaŭas la ortan angulon, se la ŝnurlongecoj plenumas la ekvacion <math>a^2 + b^2 = c^2. \,</math> Fakte ambaŭ solvoj ĝustas: <math>3^2 + 4^2 = 5^2 </math> (egipta) aŭ <math>15^2 + 36^2 = 39^2</math>(hinda). Tiel la praktika kono de la babilonoj, hindoj kaj egiptoj ricevis ĝeneralan matematikan esprimon per la teoremo de Pitagoro.

=== Pitagoro - serĉo pri mondoharmonio ===
[[Dosiero:Pieter Bruegel the Elder - The Tower of Babel (Vienna) - Google Art Project - edited.jpg|eta|180ra|[[Pieter Bruegel]]: Konstruo de la Babelturo]]
La plej malnovaj matematikaj desegnaĵoj de pitagoraj triopoj kaj eĉ de ilia kvadrateco troviĝas sur babilonaj argilotabuletoj de la epoko de [[Hamurabi]] (1829 ĝis 1530 a.K.). La bazo de la teoremo estis do konata longe antaŭ la naskiĝo de la greka matematikisto kaj filozofo Pitagoro el [[Samoso (insulo)|Samoso]].<ref name="Sally0"/> [[Eŭklido]] nomis la teoremon laŭ Pitagoro, kiu kolektis en sia fama verko erojn de la matematika scienco de sia epoko. Oni konsideras ke ĉiukaze Pitagoro mem estis la unua kiu pruvis matematike la teoremon.<ref name="Allman2">{{Citaĵo el libro|url=http://books.google.com/?id=-gYCAAAAYAAJ&pg=PA26|titolo=Greek Geometry from Thales to Euclid|aŭtoro=George Johnston Allman|jaro=1889|eldono=2005|eldoninto=Hodges, Figgis, & Co|citaĵo=The discovery of the law of three squares, commonly called the "theorem of Pythagoras" is attributed to him by –&nbsp;amongst others&nbsp;– Vitruvius, Diogenes Laertius, Proclus, and Plutarch&nbsp;...|ISBN=1-4326-0662-X|paĝo=26}}</ref><ref name="heath144">{{harv|Heath|1921|loc=Vol I, p. 144}}</ref><ref>
According to {{harvnb|Heath|1921|loc=Vol I, p. 147}}, Vitruvius says that Pythagoras first discovered the triangle (3,4,5); the fact that the latter is right-angled led to the theorem.</ref> Sed Pitagoro mem, kiu ŝajne vivis multajn jarojn en Egiptio, malkovris denove tiun teoremon ĉirkaŭ [[540 a.K.]] kaj ĝeneraligis ĝin al la abstrakta formulo <math>a^2 + b^2 = c^2. \,</math>

Estas ja vere ke ekzemple la plej malnova konata aritmetiklibro de la mondo, la egipta kalkullibro de ''Ahmes'' (nomita ankaŭ [[papiruso de Rhind]]) el la [[17-a jarcento a.K.]], jam enhavis malfacilajn taskojn, sed mankis ĉiaj ĝeneraligo, regulo aŭ difino. Ĉe Pitagoro la praktiko iĝis scienco. Kiel priskribis la [[Novplatonismo|novplatonisto]] [[Proklo]] ĉirkaŭ la jaro [[470]]:

''... Pitagoro transformis la okupadon pri tiu sciencobranĉo al vera scienco, observante la bazon el plej alta vidpunkto kaj esplorante la teoremojn pli nematerie kaj pli intelekte.''

Por la pitagoranoj ne [[matematiko]], tiel kiel ni uzas la terminon hodiaŭ, estis la grava afero. [[Matematiko]] estis parto de la [[filozofio]] kiel en la [[tradicio]] de la [[Antaŭ-Sokrataj filozofoj|antaŭ-sokratanoj]] [[Taleso]] el Mileto ([[Grekio|greka]] [[Malgrand-Azio]], en la hodiaŭa [[Turkio]]) kaj [[Anaksimandro]]; kiel ili, ankaŭ la pitagoranoj esperis per matematikaj rilatoj kaj [[formulo]]j trovi kaj bildigi la enan [[harmonio]]n de la [[mondo]] kaj ties kunligan elementon.

=== Ĉinio ===
Ankaŭ en [[Ĉinio]] la teoremo estis jam delonge konata. Ĝia ĉina nomo estas ''gou-gou''. En la verko ''Chou pei suan ching'' (ĉirkaŭ [[300 a.K.]]) troviĝas fama desegnaĵo nomita ''hsuan-shu'', kiu montras grafikan konfirmon per ekzemplo de triangulo kun la flankoj 3, 4 kaj 5. Ankaŭ en la verko ''Chiu chang suan shu'' (Naŭ ĉapitroj pri matematikarto, [[3-a jarcento a.K.]]), klasika ĉina matematika verko kun aro de 263 klarigoj pri solvoj de taskoj, ĝi troviĝas. Je la [[3-a jarcento]] p.K. ''Liu Hiu'' montras en sia komentario pri la naŭ ĉapitroj ''Jiuchang suanshu'' analizan pruvon.

== Pruvoj ==
[[Dosiero:Pythagoras-2a.gif|eta|Movbilda pruvo.]]
Ekzistas multaj diversaj pruvoj por la teoremo de Pitagoro. La libro ''Pythagorean Proposition'' (Pitagora Propozicio) de Elisha Scott Loomis enhavas 367 pruvojn.

Kelkaj argumentoj bazitaj sur [[trigonometrio|trigonometriaj]] [[formulo]]j estis proponitaj kiel pruvoj por la teoremo. Tamen, ĉar tiuj trigonometriaj formuloj mem estas pruvitaj uzante la teoremon de Pitagoro, oni ne povas konsideri tiujn argumentojn kiel pruvojn de la teoremo de Pitagoro.

=== Geometria pruvo per rearanĝo ===
[[Dosiero:Pythagorasergänzung.png|eta|425ra|Diagramo por la pruvo per rearanĝo]]
La diagramo montras pruvon por la teoremo: Oni metas kvar egalajn ortajn triangulojn kun la lateroj <math>a</math>, <math>b</math> kaj <math>c</math> (la hipotenuzo) en kvadraton kun laterlongo <math>a + b</math>. Eblas fari tion per du manieroj: Unufoje la nekovrita parto estas kvadrato kun laterlongo <math>c</math>, alifoje la nekovrita parto estas du kvadratoj kun laterlongoj <math>a</math> kaj <math>b</math>. Do la areo <math>c^2</math> egalas al la sumo de la areoj <math>a^2</math> kaj <math>b^2</math>, do <math>a^2 + b^2 = c^2</math>.

'''Algebra versio de la pruvo:''' Por la algebra versio de ĉi tiu pruvo, oni bezonas rigardi nur la maldekstran diagramon. La tuta kvadrato havas la laterlongon <math>a + b</math>, kaj tial la areon <math>(a + b)^2</math>. Sed ĝia areo ankaŭ estas la sumo de la areo <math>c^2</math> kaj la areoj de la kvar trianguloj, el kiuj ĉiu havas la areon ab/2. Do <math>(a+b)^2 = 2ab+c^2</math>. Kiam oni solvas la krampojn, oni ricevas <math>a^2+2ab+b^2 = 2ab+c^2</math>. Se oni nun subtrahas 2ab de ĉiu flanko, oni ricevas la teoremon de Pitagoro.

Ambaŭ versioj de ĉi tiu pruvo estas facile kompreneblaj. Sed se oni volas pruvi la teoremon nur uzante la [[Eŭklido|Eŭklidajn]] [[aksiomo]]jn de [[geometrio]], ĉi tiu pruvo ne sufiĉas: Oni devas aldone pruvi ke la areo de la kvadrato egalas al la sumo de la areoj de ĝiaj eroj. Pruvi tion surbaze de la aksiomoj de geometrio estas pli komplike ol uzi alian pruvon por la teoremo de Pitagoro, pro kio ĉi tiu pruvo kutime ne estas uzata en aksiomaj enkondukoj al la geometrio.

=== Pruvo per simileco ===
[[Dosiero:Pythagoras6.png|eta|dekstra]]
Ne necesas paroli pri areoj kiam oni pruvas la teoremon de Pitagoro. Anstataŭe oni ekzemple povas uzi jenan pruvon, kiu baziĝas sur [[simileco (geometrio)|simileco]] de trianguloj: Per kalkulo de la angulsumoj en la trianguloj, oni povas pruvi ke la verdaj anguloj en la dekstra diagramo estas same grandaj. Tial la anguloj ACB, CBD kaj ACD estas [[simileco (geometrio)|similaj]]. La teoremo de Pitagoro sekvas kiel montrite en la diagramo.

== En kulturo ==
La hungara verkisto [[Sándor Szathmári]] kreas humoran historion en sia novelo ''Pythagoras'', kolektita ekzemple en sia kolekto ''[[Perfekta Civitano]]''. Laŭ ĝi Pitagoro antaŭ la tirano Korpulentos malakceptas retiri el sia fama teoremo eĉ nur unu kateton. La gravuloj de la urbo kontraŭas. Li iros al ekzilo al Metapontio kie ankaŭ oni klopodos retiron de la teoremo. Pythagoras kun sia disĉiplo Eŭristhetos fuĝas al malamika Syrakusai, kies estro Gelon ordonos devige kaj perforte akcepti la tezon, ĉar li atentas nur pri la obeo al la ordono. En Sardeso ankaŭ Artaphrenes prifajfas la teoremon. En [[Ateno]] oni klopodas elpreni tezon el la teoremo, kaj oni konsideras ĝin ia tiraneco, parte pesimisma, ĉar ne permesas futuran triangulon eksterteza. Post ĉio tio ili ekziliĝas ĉe malamikaj persoj kaj Eŭristhetos komplotis ke la teoremo iĝu simbolo de konkeritaj urboj kaj poste de la ribelo de grekoj eĉ ĉe Maratono.<ref>Sándor Szathmári, ''Perfekta Civitano'', Budapesto, 1988. Paĝoj 150-175.</ref>

== Vidu ankaŭ ==
* [[Eŭklida geometrio]]
* [[Teoremo de Taleso]]
* [[Teoremo de Ĉeva]]
* [[Teoremo de Menelao]]

== Referencoj ==
{{Referencoj}}

== Literaturo ==
* {{Citaĵo el libro|url=http://publish.uwo.ca/~jbell/|titolo=The Art of the Intelligible: An Elementary Survey of Mathematics in its Conceptual Development|familia nomo=Bell|persona nomo=John L.|jaro=1999|eldoninto=Kluwer|ISBN=0-7923-5972-0|referenco=harv}}
* {{Citaĵo el libro|titolo=The Elements (3 vols.)|familia nomo=Euclid|jaro=1956|volumo=Vol. 1 (Books I and II)|eldono=1908|eldoninto=Dover|ISBN=0-486-60088-2|redaktinto=Translated by Johan Ludvig Heiberg with an introduction and commentary by Sir Thomas L. Heath|referenco=harv}} On-line text at [http://books.google.com/books?id=UhgPAAAAIAAJ&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false Euclid]
* {{Citaĵo el libro|url=http://books.google.com/?id=h4JsAAAAMAAJ&pg=PA144|titolo=A History of Greek Mathematics (2 Vols.)|familia nomo=Heath|persona nomo=Sir Thomas|jaro=1921|eldono=Dover Publications, Inc. (1981)|ĉapitro=The 'Theorem of Pythagoras'|eldoninto=Clarendon Press, Oxford|ISBN=0-486-24073-8|paĝo=144 ''ff''|referenco=harv}}
<!-- * {{Citaĵo el libro|url=http://www.bloomsburypress.com/books/catalog/hidden_harmonies_hc_220|titolo=Hidden Harmonies: The Lives and Times of the Pythagorean Theorem|familia nomo=Kaplan|persona nomo=Robert and Ellen|jaro=2011|loko=Nov-Jorko, NY|eldoninto=Bloomsbury Press|ISBN=978-1-59691-522-0|referenco=harv}} -->
* {{Citaĵo el libro|url=http://books.google.com/books?id=6YUUeO-RjU0C&pg=PA41|titolo=Euclidean and transformational geometry: a deductive inquiry|familia nomo=Libeskind|persona nomo=Shlomo|jaro=2008|eldoninto=Jones & Bartlett Learning|ISBN=0-7637-4366-6|referenco=harv}} This high-school geometry text covers many of the topics in this WP article.
* {{Citaĵo el libro|titolo=The Pythagorean proposition|familia nomo=Loomis|persona nomo=Elisha Scott|jaro=1968|eldono=2|eldoninto=The National Council of Teachers of Mathematics|ISBN=978-0-87353-036-1|referenco=harv}} For full text of 2nd edition of 1940, see {{Citaĵo el la reto|url=http://www.eric.ed.gov/PDFS/ED037335.pdf|titolo=The Pythagorean proposition: its demonstrations analyzed and classified, and bibliography of sources for data of the four kinds of proofs|alirdato=2010-05-04|aŭtoro=Elisha Scott Loomis|verko=Education Resources Information Center|eldoninto=Institute of Education Sciences (IES) of the U.S. Department of Education}} Originally published in 1940 and reprinted in 1968 by National Council of Teachers of Mathematics, isbn=0-87353-036-5.
* {{Citaĵo el libro|url=http://books.google.com/?id=Z5VoBGy3AoAC&printsec=frontcover&q|titolo=The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History|familia nomo=Maor|persona nomo=Eli|jaro=2007|loko=Princeton, New Jersey|eldoninto=Princeton University Press|ISBN=978-0-691-12526-8|referenco=harv}}
* {{Citaĵo el libro|titolo=Mathematics and Its History|familia nomo=Stillwell|persona nomo=John|jaro=1989|eldoninto=Springer-Verlag|ISBN=0-387-96981-0|referenco=harv}} Also ISBN 3-540-96981-0.
* {{Cite book |last=Swetz |first= Frank |last2=Kao, T. I. |title=Was Pythagoras Chinese?: An Examination of Right Triangle Theory in Ancient China |publisher= Pennsylvania State University Press |year=1977 |isbn= 0-271-01238-2 |ref=harv }}
* {{Citaĵo el libro|url=http://books.google.com/?id=_vPuAAAAMAAJ&q=%22Pythagorean+triples%22++%22Babylonian+scribes%22+inauthor:van+inauthor:der+inauthor:Waerden&dq=%22Pythagorean+triples%22++%22Babylonian+scribes%22+inauthor:van+inauthor:der+inauthor:Waerden&cd=1|titolo=Geometry and Algebra in Ancient Civilizations|familia nomo=van der Waerden|persona nomo=Bartel Leendert|jaro=1983|eldoninto=Springer|ISBN=3-540-12159-5|referenco=harv}}

== Eksteraj ligiloj ==
=== En Esperanto ===
* [https://www.youtube.com/watch?v=fAS-TA4SyYk&feature=youtu.be Filmeto] en Jutubo, klarigo fare de Olivier

=== En aliaj lingvoj ===
* [http://www.didmath.ewf.uni-erlangen.de/Verschie/Gut_Ref/Pythago/Pythagoras.html Pruvoj por la teoremo de Pitagoro] {{Webarchiv|url=https://web.archive.org/web/20100126151357/http://www.didmath.ewf.uni-erlangen.de/Verschie/Gut_Ref/Pythago/Pythagoras.html |date=2010-01-26 }} {{de}}
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml Pruvoj por la teoremo de Pitagoro] {{en}}
* [http://www.ies.co.jp/math/java/geo/pythagoras.html Belaj Java-kromprogrametoj] {{Webarchiv|url=https://web.archive.org/web/20100103070358/http://www.ies.co.jp/math/java/geo/pythagoras.html |date=2010-01-03 }}
* [http://www.faust.fr.bw.schule.de/mhb/pythag.htm Pitagoraj Triopoj] {{Webarchiv|url=https://web.archive.org/web/20060818185452/http://www.faust.fr.bw.schule.de/mhb/pythag.htm |date=2006-08-18 }} {{de}}
* [http://www.asamnet.de/~sigwarts/facharbeit/titel.htm Lernilo kun pruvoj, taskoj kaj multaj ligiloj] {{de}}

{{Projektoj}}
<!--
Traduko el la germana
-->

{{Leginda}}

{{Havenda artikolo|Teoremo de Pitagoro}}
{{Bibliotekoj}}

[[Kategorio:Matematikaj teoremoj]]
[[Kategorio:Historio de geometrio]]
[[Kategorio:Geometrio]]
[[Kategorio:Eŭklida geometrio]]