Vidi fonton por Spektra radiuso

En [[matematiko]], la '''spektra radiuso''' de [[matrico]] aŭ [[barita lineara operatoro]] estas la [[preciza supra rando]] inter la [[absoluta valoro|absolutaj valoroj]] de la eroj en ĝia [[spektro de matrico|spektro]], kiu estas iam signifata per ''ρ(·)''.

== Spektra radiuso de matrico ==

Estu ''λ<sub>1</sub>, ..., λ<sub>s</sub>'' la ([[reela nombro|reelaj]] aŭ [[kompleksa nombro|kompleksaj]]) [[ejgeno]]j de matrico ''A ∈ '''C'''<sup>n×n</sup>''. Tiam ĝia spektra radiuso ''ρ(A)'' estas difinita kiel:

: <math>\rho(A) = \max_i(|\lambda_i|)</math>

Estu ''A'' komplekso-valora ''n×n'' matrico, ''ρ(A)'' ĝia spektra radiuso kaj ||·|| [[matrica normo|konsekvenca matrica normo]] (konsekvenceco estas ke ''||A'''x'''|| ≤ ||A|| ||'''x'''||'' por ĉiu matrico ''A'' kaj ĉiu vektoro '' '''x''' '' de amplekso ''n''). Tiam ĝia spektra radiuso de matrico havas jenajn propraĵojn:

* Supera baro por la spektra radiuso de matrico: por ĉiu ''k ∈ '''N''' '':
*: <math>\rho(A)\leq \|A^k\|^{1/k},\ \forall k \in \mathbb{N}</math>

* La spektra radiuso estas proksime rilatanta al la konduto de la konverĝo de la [[potenca vico]] de matrico:
*: <math>\lim_{k \to \infty}A^k=0</math> se kaj nur se ''ρ(A)<1''.
*: Ankaŭ, se ''ρ(A)>1'', ''||A<sup>k</sup>||'' estas ne barita kun pligrandiĝo de ''k'' (veras ankaŭ por ne-konsekvenca matrica normo).

* '''Formulo de Gelfand''' (veras ankaŭ por ne-konsekvenca matrica normo)
*: <math>\rho(A)=\lim_{k \to \infty}||A^k||^{1/k}</math>
*: En aliaj vortoj, la formulo de Gelfand montras kiel la spektra radiuso de ''A'' donas la asimptotan kreskadan kurzon de la normo de ''A<sup>k</sup>'':
*: <math>\|A^k\|\sim\rho(A)^k</math> por <math>k\rightarrow \infty</math>

* La formulo de Gelfand kondukas rekte al baro sur la spektra radiuso de [[produto de matricoj|produto]] de finie multaj matricoj, alprenanta ke ili ĉiuj komutiĝas (kio estas ke iliaj produtoj ne dependas de la ordo de multiplikatoj):
*: <math> \rho(A_1 A_2 \ldots A_n) \leq \rho(A_1) \rho(A_2)\ldots \rho(A_n) </math>

* Kunigante la formulon de Gelfand kun la supre skribitan propraĵon, se la normo estas konsekvenca, eblas skribi plu ke aliro al la limigo estas desupre
*: <math>\lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k} = \rho(A)^+</math>

'''Ekzemplo''': Estu matrico

: <math>A=\begin{bmatrix}
9 & -1 & 2\\
-2 & 8 & 4\\
1 & 1 & 8
\end{bmatrix}</math>

kies ejgenoj estas 5, 10, 10. Laŭ difino, ĝia spektra radiuso estas ''ρ(A)=10''. Jen estas, la valoroj de <math>\|A^k\|^{1/k}</math> por la kvar plejmulte uzataj normoj estas por kelkaj pligrandiĝantaj valoroj de ''k'' (Notu, ke pro la aparta formo de ĉi tiu matrico, <math>\|.\|_1=\|.\|_\infty</math>):

{| class=wikitable
! ''k''
! <math>\|.\|_1=\|.\|_\infty</math>
! <math>\|.\|_F</math>
! <math>\|.\|_2</math>
|-
| 1
| 14
| 15,362291496
| 10,681145748
|-
| 2
| 12,649110641
| 12,328294348
| 10,595665162
|-
| 3
| 11,934831919
| 11,532450664
| 10,500980846
|-
| 4
| 11,501633169
| 11,151002986
| 10,418165779
|-
| 5
| 11,216043151
| 10,921242235
| 10,351918183
|-
| 10
| 10,604944422
| 10,455910430
| 10,183690042
|-
| 11
| 10,548677680
| 10,413702213
| 10,166990229
|-
| 12
| 10,501921835
| 10,378620930
| 10,153031596
|-
| 20
| 10,298254399
| 10,225504447
| 10,091577411
|-
| 30
| 10,197860892
| 10,149776921
| 10,060958900
|-
| 40
| 10,148031640
| 10,112123681
| 10,045684426
|-
| 50
| 10,118251035
| 10,089598820
| 10,036530875
|-
| 100
| 10,058951752
| 10,044699508
| 10,018248786
|-
| 200
| 10,029432562
| 10,022324834
| 10,009120234
|-
| 300
| 10,019612095
| 10,014877690
| 10,006079232
|-
| 400
| 10,014705469
| 10,011156194
| 10,004559078
|-
| 1000
| 10,005879594
| 10,004460985
| 10,001823382
|-
| 2000
| 10,002939365
| 10,002230244
| 10,000911649
|-
| 3000
| 10,001959481
| 10,001486774
| 10,000607757
|-
| 10000
| 10,000587804
| 10,000446009
| 10,000182323
|-
| 20000
| 10,000293898
| 10,000223002
| 10,000091161
|-
| 30000
| 10,000195931
| 10,000148667
| 10,000060774
|-
| 100000
| 10,000058779
| 10,000044600
| 10,000018232
|}

=== Pruvoj ===

Lemo pri supera baro por la spektra radiuso de matrico:

'''Lemo''': Estu ''A'' komplekso-valora ''n×n'' matrico, ''ρ(A)'' ĝia spektra radiuso kaj ||·|| [[matrica normo|konsekvenca matrica normo]]; tiam, por ĉiu ''k ∈ '''N''' '':

: <math>\rho(A)\leq \|A^k\|^{1/k},\ \forall k \in \mathbb{N}</math>

'''Pruvo''': Estu ''('''v''', λ)'' [[ejgenvektoro]]-[[ejgeno|ejgena]] paro por matrico ''A''. Pro la sub-multiplika propraĵo de la matrica normo:

: <math>|\lambda|^k\|\mathbf{v}\| = \|\lambda^k \mathbf{v}\| = \|A^k \mathbf{v}\| \leq \|A^k\|\cdot\|\mathbf{v}\|</math>

kaj pro tio ke '' '''v''' ≠ 0'' por ĉiu ''λ'' ni havi

: <math>|\lambda|^k\leq \|A^k\|</math>

kaj pro tio

:<math>\rho(A)\leq \|A^k\|^{1/k}</math>

La spektra radiuso estas proksime rilatanta al la konduto de la konverĝo de la [[potenca vico]] de matrico; jena teoremo veras:

'''Teoremo''': Estu ''A'' komplekso-valora ''n×n'' matrico, ''ρ(A)'' ĝia spektra radiuso; tiam

: <math>\lim_{k \to \infty}A^k=0</math> se kaj nur se ''ρ(A)<1''.

Ankaŭ, se ''ρ(A)>1'', ''||A<sup>k</sup>||'' estas ne barita kun pligrandiĝo de ''k''.

'''Pruvo''' de tio ke <math>\lim_{k \to \infty}A^k = 0 \Rightarrow \rho(A) < 1</math>:

Estu ''('''v''', λ)'' [[ejgenvektoro]]-[[ejgeno|ejgena]] paro por matrico ''A''. (Ekde, Ĉar, Pro tio ke)

:<math>A^k\mathbf{v} = \lambda^k\mathbf{v}</math>

oni havas:

: <math> (\lim_{k \to \infty}A^k)\mathbf{v} = 0 </math>
: <math> \lim_{k \to \infty}A^k\mathbf{v} = 0 </math>
: <math> \lim_{k \to \infty}\lambda^k\mathbf{v} = 0 </math>
: <math> \mathbf{v}\lim_{k \to \infty}\lambda^k = 0</math>

kaj, pro tio ke per hipotezo '' '''v''' ≠ '''0''' '', oni devas havi

: <math>\lim_{k \to \infty}\lambda^k = 0</math>

kio implicas ke ''|λ| < 1''. Pro tio ke ĉi tio devas esti vera por ĉiu ejgeno λ, oni povas konkludi ke ''ρ(A) < 1''.

'''Pruvo''' de tio ke <math>\rho(A)<1 \Rightarrow \lim_{k \to \infty}A^k = 0</math>:

:De la teoremo pri [[jordana normala formo]], oni scii ke por ĉiu ''n×n'' komplekso-valora matrico ''A'', ekzistas ne-degenera matrico ''n×n'' komplekso-valora matrico ''V'' kaj ''n×n'' komplekso-valora bloko-diagonala matrico ''J'' tiaj ke:

: ''A = VJV<sup>−1</sup>''

kun

: <math>J=\begin{bmatrix}
J_{m_1}(\lambda_1) & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & J_{m_2}(\lambda_2) & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \cdots & \ddots & \cdots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & J_{m_{s-1}}(\lambda_{s-1}) & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & J_{m_s}(\lambda_s)
\end{bmatrix}</math>

kie

: <math>J_{m_i}(\lambda_i)=\begin{bmatrix}
\lambda_i & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_i & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_i & 1 \\
0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_i
\end{bmatrix}\in \mathbb{C}^{m_i,m_i}, 1\leq i\leq s </math>

Tiel

: ''A<sup>k</sup> = VJ<sup>k</sup>V<sup>−1</sup>''

kaj, pro tio ke ''J'' estas bloko-diagonala,

: <math>J^k=\begin{bmatrix}
J_{m_1}^k(\lambda_1) & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & J_{m_2}^k(\lambda_2) & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \cdots & \ddots & \cdots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & J_{m_{s-1}}^k(\lambda_{s-1}) & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & J_{m_s}^k(\lambda_s)
\end{bmatrix}</math>

Nun, norma rezulto sur la ''k''-a potenco de ''m<sub>i</sub> × m<sub>i</sub>'' jordana bloko estas ke, por ''k≥m<sub>i</sub>-1'':

: <math>J_{m_i}^k(\lambda_i)=\begin{bmatrix}
\lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} & {k \choose 2}\lambda_i^{k-2} & \cdots & {k \choose m_i-1}\lambda_i^{k-m_i+1} \\
0 & \lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} & \cdots & {k \choose m_i-2}\lambda_i^{k-m_i+2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} \\
0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_i^k
\end{bmatrix}</math>

Tial, se ''ρ(A) < 1'' do ''|λ<sub>i</sub>| < 1'' por ĉiuj ''i'' kaj do por ĉiuj ''i''

: <math>\lim_{k \to \infty}J_{m_i}^k=0 </math>

kio implicas ke

: <math>\lim_{k \to \infty}J^k = 0</math>

Pro tio,

: <math>\lim_{k \to \infty}A^k=\lim_{k \to \infty}VJ^kV^{-1}=V(\lim_{k \to \infty}J^k)V^{-1}=0</math>

Male, se ''ρ(A)>1'', do estas almenaŭ unu ero en ''J'' kiu ne restas barita kiam ''k'' pligrandiĝas, tiel pruvante la duan parton de la frazo.

==== Formulo de Gelfand ====

Por ĉiu [[matrica normo]] ''||·||''

: <math>\rho(A)=\lim_{k \to \infty}||A^k||^{1/k}</math>

En aliaj vortoj, la formulo de Gelfand montras kiel la spektra radiuso de ''A'' donas la asimptotan kreskadan kurzon de la normo de ''A<sup>k</sup>'':

: <math>\|A^k\|\sim\rho(A)^k</math> por <math>k\rightarrow \infty</math>

'''Pruvo''':

Por ĉiu ''ε > 0'', konsideru la matricon

: <math>\tilde{A}=(\rho(A)+\epsilon)^{-1}A</math>

Tiam

: <math>\rho(\tilde{A}) = \frac{\rho(A)}{\rho(A)+\epsilon} < 1</math>

kaj, per la antaŭa teoremo,

: <math>\lim_{k \to \infty}\tilde{A}^k=0</math>

Ĉi tio signifas, luzu difino de limigo, ekzistas natura nombro ''N<sub>1</sub>'' tia ke

: <math>\forall k\geq N_1 \Rightarrow \|\tilde{A}^k\| < 1</math>

kio laŭvice signifas ke

: <math>\forall k\geq N_1 \Rightarrow \|A^k\| < (\rho(A)+\epsilon)^k</math>

aŭ

: <math>\forall k\geq N_1 \Rightarrow \|A^k\|^{1/k} < (\rho(A)+\epsilon)</math>

Konsideru la matricon

: <math>\check{A}=(\rho(A)-\epsilon)^{-1}A</math>

Tiam

: <math>\rho(\check{A}) = \frac{\rho(A)}{\rho(A)-\epsilon} > 1</math>

kaj tiel, per la antaŭa teoremo, <math>\|\check{A}^k\|</math> estas ne barita.

Ĉi tio signifas ke ekzistas natura nombro ''N<sub>2</sub>'' tia ke

: <math>\forall k\geq N_2 \Rightarrow \|\check{A}^k\| > 1</math>

kio laŭvice signifas ke

: <math>\forall k\geq N_2 \Rightarrow \|A^k\| > (\rho(A)-\epsilon)^k</math>

aŭ

: <math>\forall k\geq N_2 \Rightarrow \|A^k\|^{1/k} > (\rho(A)-\epsilon)</math>

Estu ''N=max(N<sub>1</sub>, N<sub>2</sub>)''

kaj do

: <math>\forall \epsilon>0, \exists N\in\mathbb{N}: \forall k\geq N \Rightarrow \rho(A)-\epsilon < \|A^k\|^{1/k} < \rho(A)+\epsilon</math>

kiu, laŭ difino, estas

: <math>\lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k} = \rho(A)</math>

Reale, en la okazo se la normo estas [[matrica normo|konsekvenca]], la pruvo montras pli multon ol la tezo; fakte, uzante la antaŭan lemon, oni povas anstataŭi en la difino de la limigo la suban baron per la spektra radiuso mem kaj skribi pli detale:

: <math>\forall \epsilon>0, \exists N\in\mathbb{N}: \forall k\geq N \Rightarrow \rho(A) \leq \|A^k\|^{1/k} < \rho(A)+\epsilon</math>

kio, laŭ difino, estas

: <math>\lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k} = \rho(A)^+</math>

La formulo de Gelfand kondukas rekte al baro sur la spektra radiuso de produto de finie multaj matricoj, alprenante ke ili ĉiuj komutiĝas:

: <math> \rho(A_1 A_2 \ldots A_n) \leq \rho(A_1) \rho(A_2)\ldots \rho(A_n) </math>

Por pruvo necesas elekti sub-multiplikan matrican normon.

== Spektra radiuso de barita lineara operatoro ==

Por [[barita lineara operatoro]] ''A'' kaj la [[operatora normo]] ''||·||'', denove estas

: <math>\rho(A) = \lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k}</math>

Barita operatoro (sur kompleksa [[hilberta spaco]]) nomata kiel '''spectruma operatoro''' se ĝia spektra radiuso koincidas kun ĝia [[cifereca radiuso]]. Ekzemplo de ĉi tia operatoro estas [[normala operatoro]] (kio estas operatoro kiu komutiĝas kun sia [[adjunkta operatoro]]: ''A<sup>*</sup>A = AA<sup>*</sup>'').

== Spektra radiuso de grafeo ==

La '''spektra radiuso''' de finia [[grafeo]] estas difinita kiel la spektra radiuso de ĝia [[najbarmatrico]].

Ĉi tiu difino etendas al la okazo de malfiniaj grafeoj kun baritaj gradoj de verticoj (kio estas tie ekzistas iu reela nombro ''C'' tia ke la grado de ĉiu vertico de la grafeo estas pli malgranda ol ''C''). En ĉi tiu okazo, por la grafeo ''G'' estu <math> l^2(G) </math> signifi la spaco de funkcioj <math> f \colon V(G) \to {\mathbb R} </math> kun <math> \sum_{v \in V(G)} \|f(v)^2\| < \infty </math>. Estu <math> \gamma \colon l^2(G) \to l^2(G)</math> la [[najbareca operatoro]] de ''G'', kio estas, <math> (\gamma f)(v) = \sum_{(u,v) \in E(G)} f(u) </math>. La spektra radiuso de ''G'' estas difinita kiel la spektra radiuso de la barita lineara operatoro ''γ''.

== Vidu ankaŭ ==

* [[Spektra breĉo]]
* La [[kuna spektra radiuso]] estas ĝeneraligo de la spektra radiuso al aroj de matricoj.

== Eksteraj ligiloj ==
* [http://people.csse.uwa.edu.au/gordon/planareig.html Spektra radiuso de ebenaj grafeoj]{{404|date=August 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}

[[Kategorio:Spektra teorio]]
[[Kategorio:Matrica teorio]]