Vidi fonton por Polusa koordinatsistemo

[[Dosiero:Polar graph paper.svg|eta|dekstra|300px|Polusa koordinatsistemo kun kelkaj anguloj indikitaj en gradoj]]
En [[matematiko]], la '''polusa koordinatsistemo''' estas 2-[[dimensio|dimensia]] [[koordinatsistemo]] en kiu ĉiu [[Punkto (matematiko)|punkto]] sur [[ebeno (matematiko)|ebeno]] estas difinita per [[angulo]] kaj [[distanco]]. La polusa koordinatsistemo estas aparte utila en situacioj, kiam la interrilato inter du punktoj estas plej facile esprimebla en terminoj de angulo kaj distanco; en la pli konata [[kartezia koordinato|kartezia]] aŭ rektangula koordinatsistemo, tia angula interrilato povas esti kalkulita nur per [[trigonometrio|trigonometriaj]] formuloj.

Ĉar la koordinatsistemo estas du-dimensia, ĉiu punkto estas difinita per du polusaj koordinatoj: la '''radiusa koordinato''' kaj la '''angula koordinato'''. La radiusa koordinato (kutime skribita kiel <math>r</math>) estas la distanco inter la koordinatigita punkto kaj la centra punkto de la koordinatosistemo. La centra punkto estas ankaŭ nomata ''poluso'' (ekvivalento de la ''origino'' en la Kartezia sistemo). La angula koordinato (ankaŭ nomata '''polusa angulo''' aŭ '''[[azimuta angulo]]''', kutime skribita kiel θ aŭ <math>t</math>) estas la [[pozitiva angulo]] (aŭ angulo mezurita [[dekstrumo|maldekstrume]], malhorloĝdirekte) de la '''polusa akso''' (la 0°-a [[radio (geometrio)|radio]]) al la koordinatigita punkto. La polusa akso estas ekvivalento de pozitiva duono de [[abscisa akso]] (''x''-akso) en la Kartezia koordinata ebeno.<ref name="brown">{{Citlibro
 | Familinomo = Brown
 | Nomo = Richard G.
 | Redaktanto = Andrew M. Gleason
 | Jaro = 1997
 | Titolo = Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis - Progresinta Matematiko: Antaŭkalkulo kun Diskreta Matematiko kaj Datuma Analitiko
 | Eldonejo = McDougal Littell
 | Loko = Evanston, Ilinojo
 | ISBN = 0-395-77114-5
}}</ref>

== Historio ==
La konceptoj angulo kaj radiuso estis jam uzitaj de antikvaj matematikistoj de la [[1-a jarmilo a.K.]]. La [[helenio|helena]] [[astronomo]] [[Hiparko|Hipparchus]] ([[-190]]...[[-120]]) kreis baremon de [[ĥordo (geometrio)|ĥordaj]] funkcioj donantaj la longecon de la ĥordo por ĉiu angulo, kaj ekzistas referencoj al lia uzado de polusaj koordinatoj por priskribi stelajn poziciojn.<ref name="milestones">{{Citreto
 | Familinomo = Friendly
 | Nomo = Michael
 | Titolo = Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization - Mejloŝtonoj en la Historio de Temeca Kartografio, Statistika Grafiko, kaj Datuma Videbligo
 | URL = http://www.math.yorku.ca/SCS/Gallery/milestone/sec4.html
 | Alirdato = 2006-09-10 }}</ref>
En ''Pri Spiraloj'', [[Arkimedo]] priskribas la [[Arĥimeda spiralo|Arĥimedan spiralon]] per funkcio kiu donas dependon de radiuso de la angulo. La greka verko, tamen, ne priskribas plenan koordinatsistemon.

Estas diversaj historioj de la enkonduko de polusaj koordinatoj kiel parto de formala koordinatsistemo. La plena historio pri la temo estas priskribita en ''Fonto de Polusaj Koordinatoj'' fare de profesoro [[Julian Lowell Coolidge]] de [[Universitato Harvard|Harvard]]<ref name="coolidge">{{Citaĵo el gazeto
 | familia nomo = Coolidge
 | persona omo = Julian
 | aŭtoroligo = Julian Lowell Coolidge
 | titolo = The Origin of Polar Coordinates - La Fonto de Polusaj Koordinatoj
 | publikaĵo = American Mathematical Monthly - Amerika Matematika Monataĵo
 | volumo = 59
 | paĝoj = 78-85
 | dato = 1952
 | url= http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Extras/Coolidge_Polars.html
}}</ref> [[Grégoire de Sanktulo-Vincent]] kaj [[Bonaventura Cavalieri]] sendepende prezentis la konceptojn en la mez-dek-sepa jarcento.

[[Sankta Vincento]] skribis pri ili private en [[1625]] kaj publikigis sian verkon en [[1647]], dum Cavalieri publikigis la sian en [[1635]] kun korektita versio aperonta en [[1653]]. Cavalieri unue uzis polusajn koordinatojn por solvi problemon rilatan al la areo en [[Arĥimeda spiralo]]. [[Blaise Pascal]] poste uzis polusajn koordinatojn por kalkuli la longon de [[Parabolo (matematiko)|parabolaj arkoj]].

En ''[[Maniero de Fluksionoj]]'' (skribita [[1671]], publikigita [[1736]]), Siro [[Isaac Newton]] ekzamenis la transformojn inter polusaj koordinatoj, kion li nomis la "Sepa Maniero; Por Spiraloj", kaj naŭ aliaj koordinatsistemoj).<ref>{{Citaĵo el gazeto
 | familia nomo = Boyer
 | persona nomo = C. B.
 | titolo = Newton as an Originator of Polar Coordinates - Neŭtono kiel Iniciatoro de Polusaj Koordinatoj
 | publikaĵo = American Mathematical Monthly - Amerika Matematika Monata
 | volumo = 56
 | paĝoj = 73-78
 | dato = 1949
 | url= http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9890%28194902%2956%3A2%3C73%3ANAAOOP%3E2.0.CO%3B2-V&size=LARGE
}}</ref> En la ĵurnalo ''[[Acta Eruditorum]]'' ([[1691]]), [[Jakobo Bernoulli]] uzis sistemon kun punkto sur linio, nomitaj kiel ''poluso'' kaj ''polusa akso'' respektive.
Koordinatoj estis precizigitaj per la distanco de la poluso kaj la angulo de la ''polusa akso''. La verko de Bernoulli ampleksis trovi la [[kurbecoradiuso]]n de kurboj esprimitaj per tiaj koordinatoj.

La efektiva termino ''polusaj koordinatoj'' estas atribuita al [[Gregorio Fontana]] kaj estis uzata de Italaj skribistoj de la [[18-a jarcento]]. La termino) aperis en [[Angla lingvo|la angla]] en traduko ([[1816]]) fare de [[Georgo Peacock]] de ''Diferencialo kaj Integrala Kalkulo'' fare de [[Sylvestre Françoita Lacroix|Lacroix]].<ref>{{Citreto
 | Familinomo = Miller
 | Nomo = Jeff
 | Titolo = Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics - Plej fruaj Sciataj Uzoj de Iuj el la Vortoj de Matematiko
 | URL = http://members.aol.com/jeff570/p.html
 | Alirdato = 2006-09-10}}</ref><ref>
{{Citlibro
 | Familinomo = Smith
 | Nomo = David Eugene
 | Titolo = History of Mathematics, Vol II - Historio de Matematiko, Volumo II
 | Eldonejo = Ginn and Co. - Ginn kaj Ko.
 | Dato = 1925
 | Loko = Bostono
 | Paĝoj = 324 }}</ref> [[Alexis Clairaut]] estis la unua kiu konceptis polusajn koordinatojn en tri dimensioj, kaj [[Leonhard Euler]] estis la unua kiu reale ellaboris ilin.<ref name="coolidge" />

== Grafika prezentado de punktoj per polusaj koordinatoj ==
[[Dosiero:CircularCoordinates.png|eta|250px|La punktoj (3,60°) kaj (4,210°) per polusa koordinatsistemo]]
Ĉiu punkto en la polusa koordinatsistemo povas esti priskribita per la du polusaj koordinatoj, kiuj estas kutime signitaj <math>r</math> (la radiusa koordinato) kaj θ (la angula koordinato, polusa angulo, aŭ [[azimuta angulo]], fojfoje prezentita kiel φ aŭ <math>t</math>). La koordinato <math>r</math> prezentas la radiusan distancon de la poluso, kaj la koordinato θ prezentas la mallaŭ-horloĝnadla (kontraŭhorloĝnadla) angulo de la [[radio (geometrio)|radio]] 0° (iam nomata la polusa akso), konata kiel la pozitiva abscisa akso sur la [[Kartezia koordinato|Kartezia koordinata ebeno]].<ref name="brown" />

Ekzemple, la polusaj koordinatoj (3, 60°) estus [[punkto grafike prezentanta|grafike prezentitaj]] kiel punkto 3 unuojn disde la poluso sur la radio 60°.
La koordinatoj (−3, 240°) ankaŭ estus grafike prezentitaj ĉe ĉi tiu punkto ĉar negativa radiusa distanco estas montrita kiel pozitiva distanco sur la kontraŭa radio (la radio reflektita ĉirkaŭ la fonto, kiu diferencas de la originala radio je 180°).

Ĉi tio ilustras unu gravan aspekton de la polusa koordinatsistemo ne ĉeesta en la Kartezia koordinatsistemo: sola punkto povas esti esprimita per malfinia nombro de malsamaj koordinatoj. En ĝeneralo, la punkto (<math>r</math>, θ) povas esti prezentita kiel (<math>r</math>, θ ± <math>n</math>×360°) aŭ (−<math>r</math>, θ ± (2<math>n</math> + 1)×180°), kie <math>n</math> estas iu ajn [[entjero]].<ref>{{Citreto
| URL = http://www.fortbendisd.com/campuses/documents/Teacher/2006%5Cteacher_20060413_0948.pdf
| Titolo = Polar Coordinates and Graphing - Polusaj Koordinatoj kaj Grafeado
| Alirdato = 2006-09-22
| Dato = [[2006-04-13]]
| Aranĝo = PDF
}}</ref> La ajnecaj koordinatoj (0, θ) estas konvencie uzataj por prezenti la poluson, ĉar sendistinge de la koordinato θ, punkto kun radiuso 0 estos ĉiam esti sur la poluso.<ref>
{{Citlibro|Titolo=Precalculus: With Unit-Circle Trigonometry - Antaŭkalkulo: Kun Unuo-Cirkla Trigonometrio|Familinomo=Lee|Nomo=Theodore|Kunaŭtoroj=David Cohen, David Sklar|Jaro=2005|Eldonejo=Thomson Brooks/Cole|Redakto=Kvara Redakcio|ISBN=0534402305}}</ref> Por akiri unikan prezenton de punkto, estas kutime limigi <math>r</math> al [[Negativa kaj nenegativa nombroj|nenegativaj nombroj]], <math>r</math> ≥ 0 kaj θ al la [[Intervalo (matematiko)|intervalo]] [0, 360°) aŭ (−180°, 180°] (aŭ, en radiana mezurado, [0, 2π) aŭ (−π, π]).<ref>{{Citlibro|Titolo=Complex Analysis (the Hitchhiker's Guide to the Plane) - Kompleksa Analitiko (la Gvidilo de la Petveturanto pri la Ebeno)|Nomo=Ian|Familinomo=Stewart|Kunaŭtoroj=David Tall|Jaro=1983|Eldonejo=Cambridge University Press - Kembriĝo (Britio) Universitato Presejo|ISBN=0521287634}}</ref>

Anguloj en polusa notacio estas ĝenerale esprimitaj en aŭ gradoj aŭ [[radiano]]j, uzante la konvertiĝon 2[[Pi (nombro)|π]] rad = 360°. La elekto dependas grande de la ĉirkaŭteksto. [[Navigado|Navigadaj]] aplikoj uzas grado-mezuradon, dum iuj [[Fiziko|fizikaj]] aplikoj (aparte turna mekaniko) kaj preskaŭ ĉiu matematika literaturo sur [[kalkulo]] uzas radiano-mezurado.<ref>

{{Citlibro
 | Familinomo = Serway
 | Nomo = Raymond A.
 | Kunaŭtoroj = Jewett, Jr., Johano W.
 | Titolo = Principles of Physics - Principoj de Fiziko
 | Eldonejo = Brooks/Cole—Thomson Learning
 | Dato = 2005
 | ISBN = 0-534-49143-X }}</ref>

=== Konvertado inter polusaj kaj karteziaj koordinatoj ===
[[Dosiero:Polar to cartesian.svg|dekstra|eta|250px|Figuro ilustranta la formulojn de konvertado]]
La du polusaj koordinatoj <math>r</math> kaj θ povas esti konvertitaj al la [[kartezia koordinato|karteziaj koordinatoj]] <math>x</math> kaj <math>y</math> per uzo de la [[trigonometria funkcio|trigonometriaj funkcioj]] [[sinuso]] kaj [[kosinuso]]:
:<math>x = r \cos \theta \,</math>
:<math>y = r \sin \theta, \,</math>

kaj la du karteziaj koordinatoj <math>x</math> kaj <math>y</math> povas esti konvertitaj al polusa koordinato <math>r</math> per
:<math>r = \sqrt{x^2 + y^2} \,</math> (per simpla apliko de la [[teoremo de Pitagoro|Pitagora teoremo]]).

Por kalkuli la angulan koordinaton θ, la konsiderendas ke:
* Por <math>r</math> = 0, θ povas esti iu ajn [[reela nombro]].
* Por <math>r</math> ≠ 0, por ricevi unikan prezenton pri θ, necesas limigi intervalon kie ĝi povas esti al amplekso de 2π. Kutimaj elektoj por tia intervalo estas [0, 2π) kaj (−π, π].

Por ricevi θ en la intervalo [0, 2π), la jena formulo uzeblas: (<math>\arctan</math> estas la inverso de [[tangento|tangenta]] funkcio):
:<math>\theta =
\begin{cases}
\arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{se } x > 0 \mbox{ kaj } y \ge 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) + 2\pi & \mbox{se } x > 0 \mbox{ kaj } y < 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{se } x < 0\\
\frac{\pi}{2} & \mbox{se } x = 0 \mbox{ kaj } y > 0\\
\frac{3\pi}{2} & \mbox{se } x = 0 \mbox{ kaj } y < 0
\end{cases}</math>

Por ricevi θ en la intervalo (−π, π], la jena formulo uzeblas:
:<math>\theta =
\begin{cases}
\arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{se } x > 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{se } x < 0 \mbox{ kaj } y \ge 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) - \pi & \mbox{se } x < 0 \mbox{ kaj } y < 0\\
\frac{\pi}{2} & \mbox{se } x = 0 \mbox{ kaj } y > 0\\
-\frac{\pi}{2} & \mbox{se } x = 0 \mbox{ kaj } y < 0
\end{cases}</math>

(En diversaj [[programadlingvo]]j oni povas teni distingaj la [[numeratoro]]n kaj la [[denominatoro]]n per uzo de la funkcio ''[[atan2]]'', kiu havas apartajn argumentojn por tiuj du.)

== Polusaj ekvacioj ==
La ekvacia difino de [[algebra kurbo]] esprimita en polusaj koordinatoj estas nomata ''polusa ekvacio''. En multaj okazoj tia [[ekvacio]] povas esti donita per difinado de <math>r</math> kiel [[Funkcio (matematiko)|funkcio]] de θ. La rezultanta kurbo tiam konsistas el punktoj de formo (<math>r</math>(θ), θ) kaj konsidereblas la [[grafikaĵo]] de la polusa funkcio <math>r</math>.

Malsamaj formoj de [[simetrio]] povas esti konkluditaj de la ekvacio de polusa funkcio <math>r</math>. Se <math>r</math>(−θ) = <math>r</math>(θ), la kurbo estas simetria ĉirkaŭ la horizontala (0°/180°) akso ([[absciso]]); se <math>r</math>(π−θ) = <math>r</math>(θ), ĝi estas simetria ĉirkaŭ la vertikala (90°/270°) akso ([[ordinato]]), kaj se <math>r</math>(θ−α°) = <math>r</math>(θ), ĝi estas [[Turna simetrio|turne simetria]] je α° ([[horloĝodirekto|laŭhorloĝnadle]] kaj samtempe kontraŭhorloĝnadle) ĉirkaŭ la poluso.

Pro la cirkla naturo de la polusa koordinatsistemo, multaj kurboj povas esti priskribitaj per iom pli simplaj polusaj ekvacioj, ol siaj ekvacioj en karteziaj koordinatoj. Inter la plej bone konata de tiaj kurboj estas la [[polusa rozo]], [[Arĥimeda spiralo]], [[Lemniskato de Bernoulli|lemniskato]], [[heliko de Pascal]], kaj [[kardioido]]. ,<!-- Ĉu ankaŭ inverse?-->

=== Cirklo ===
[[Dosiero:Circle r=1.PNG|eta|dekstra|Cirklo kun ekvacio <math>r</math>(θ) = 1]]
La ĝenerala ekvacio por cirklo kun centro je (<math>r</math><sub>0</sub>, φ) kaj radiuso <math>a</math> estas

:<math>r^2 - 2 r r_0 \cos(\theta - \varphi) + r_0^2 = a^2.\, </math>

Ĝi povas esti plisimpligita diversmaniere, por specifaj kazoj. Por cirklo kun centro je la poluso kaj radiuso <math>a</math> la ekvacio estas

:<math>r(\theta)=a \,</math> .<ref name="ping">{{Citreto
 | Nomo=Johan
 | Familinomo=Claeys
 | URL=http://www.ping.be/~ping1339/polar.htm
 | Titolo=Polar coordinates - Polusaj koordinatoj
 | Alirjaro=2006
 | Alirdato=25-a de majo
}}</ref>

=== Linio ===
''Radiusaj'' [[duonlinio]]j (tiuj komenciĝas en la poluso) estas prezentataj per ekvacio
:<math>\theta = \varphi </math>,
kie φ estas la angulo de alteco de la duonlinio;

''Radiusaj'' linioj (tiuj kiuj iras tra la poluso) estas prezentataj per ekvacio
:<math>\theta = \varphi </math> aŭ <math>\theta = \varphi + \pi</math>,
kie φ estas la angulo de alteco de la linio; φ = <math>\arctan (m)</math> kie <math>m</math> estas la [[angula koeficiento]] de la linio en la karteziaj koordinatoj. En ĉi tiu ekvacio unu duono (<math>\theta = \varphi </math>) respektivas al unu duonlinio kaj la alia (<math>\theta = \varphi + \pi</math>) respektivas al duonlinio en la mala direkto; kune ili formas rektan linion.

La ne-radiusa linio, kiu krucas la radiusan linion θ = φ [[perpendikularo|perpendikulare]] en punkto (<math>r</math><sub>0</sub>, φ) havas la ekvacion
:<math>r(\theta) = {r_0}\sec(\theta-\varphi) </math>.

=== Polusa rozo ===
[[Dosiero:Rose r=2sin(4theta).PNG|eta|dekstra|Polusa rozo per ekvacio<br /> <math>r</math>(θ) = 2 sin (4θ)]]
[[rozo (matematiko)|Polusa rozo]] estas fama matematika kurbo, kiu aspektas simile al floro, kaj kiu povas esti esprimita per simpla polusa ekvacio. Ĝi estas donita per ekvacioj
:<math> r(\theta) = a \cos (k\theta + \phi_0)</math>,
aŭ
:<math> r(\theta) = a \sin (k\theta + \phi_0)</math>, por ia ajn konstanto <math>\phi_0</math> (inkluzive de 0).

Se ''k'' estas [[entjero]], tiuj ekvacioj produktas ''k''-folian rozon se ''k'' estas [[pareco de nombroj|nepara]], aŭ ''2k''-folian rozon se ''k'' estas para. Se ''k'' estas [[racionala nombro|racionalo]] neentjera, rozeska formo povas formiĝi sed kun intersurkuŝantaj folioj.
Se ''k'' estas [[Neracionala nombro|neracionala]], la kurbo konsistigas [[densa aro|densan aron]] en la [[Disko (matematiko)|disko]] r<=a. Notu, ke ĉi tiuj ekvacioj neniam difinas rozon kun 2, 6, 10, 14, kaj tiel plu folioj. La [[variablo]] ''a'' prezentas la longecon de la folioj de la rozo.

=== Arĥimeda spiralo ===
[[Dosiero:Archimedian spiral.PNG|eta|dekstra|Unudirekta Arĥimeda spiralo kun ekvacio <br />''r''(θ) = θ <br />por 0 < θ < 6π]]
La [[Arĥimeda spiralo]] estas fama [[spiralo]], kiu estis malkovrita de [[Arkimedo]], kiu ankaŭ povas esti esprimita kiel simpla polusa ekvacio. Ĝin prezentas la ekvacio

:<math>r(\theta) = a+b\theta. \,</math>

Ŝanĝado de la [[parametro]] ''a'' turnas la spiralon, dum '''''b''''' regas la distancon inter la bukloj, kiu por donita spiralo estas ĉiam [[konstanto]]. La Arĥimeda spiralo havas du branĉojn, unu por θ > 0 kaj unu por θ < 0. La du branĉoj estas glate koneksaj en la poluso. Prenado de la spegulita bildo de unu branĉo trans la linio 90°/270° liveras la alia branĉon. Ĉi tiu kurbo estas rimarkinda kiel unu el la unuaj kurboj, post la [[koniko]]j, priskribitaj en matematika traktato, kaj kiel elstara ekzemplo de kurbo kiun plej bone difinas polusa ekvacio.

=== Konikoj ===
[[Dosiero:Elps-slr.svg|eta|dekstra|250px|[[Elipso]], montranta duonan latusan rektumon (vidu tekston)]]
La ekvacio de [[koniko]] kun unu [[fokuso]] sur la poluso kaj la alia ie sur la radio 0° (tiel ke la [[granda duonakso|granda akso]] de la koniko kuŝas laŭ la polusa akso) estas donita per:

: <math>r(\theta) = {\ell\over {1 + e \cos \theta}}</math>

kie ''e'' estas la [[Discentreco|(discentreco, fokusdiseco)]] kaj <math>\ell</math> estas la duone-[[latus rektumo]] (la perpendikulara distanco je [[fokuso]] de la granda akso al la kurbo). Se ''e'' &gt; 1, ĉi tiu ekvacio difinas [[hiperbolo (matematiko)]]n; se ''e'' = 1, ĝi difinas [[parabolo (matematiko)]]n; kaj se ''e'' &lt; 1, ĝi difinas [[elipso]]n.
La speciala kazo ''e'' = 0 de tiu lasta liveras cirklon de radiuso <math>\ell</math>.

== Kompleksaj nombroj ==
[[Dosiero:Imaginarynumber2.PNG|eta|dekstra|265px|Bildo de kompleksa nombro ''z'' grafike prezentita sur la kompleksa ebeno]]
Ĉiu [[kompleksa nombro]] povas esti prezentita kiel punkto en la [[kompleksa ebeno]], kaj povas pro tio esti esprimita aŭ per siaj karteziaj koordinatoj (la prezento estas nomata ankaŭ rektangula aŭ kartezia formo), aŭ per la polusaj koordinatoj de la punkto (la polusa varianto estas nomata ankaŭ trigonometria prezento, aŭ polusa formo). La kompleksa nombro ''z'' prezenteblas kartezie per
: <math>z = x + iy\,</math>
kie ''i'' estas la [[imaginara unuo]], povas alternative esti skribita en trigonometria prezento (per la konvertaj formuloj donitaj [[#Konvertado inter polusaj kaj karteziaj koordinatoj|pli supre]]) per
:<math>z = r\cdot(\cos\theta+i\sin\theta)</math>
kaj de tio per
: <math>z = re^{i\theta} \,</math>
kie ''e'' estas la [[℮ (matematiko)|bazo de naturaj logaritmoj]], kiuj estas ekvivalentaj kiel montrite per la [[eŭlera formulo]].<ref>
 {{Citlibro
 | Familinomo = Smith
 | Nomo = Julius O.
 | Titolo = Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT) - Matematiko de la diskreta konverto de Fourier
 | Alirdato = 2006-09-22
 | Jaro = 2003
 | Eldonejo = W3K Publishing - W3K Publikigo
 | ISBN = 0-9745607-0-7
 | Ĉapitro = Euler's Identity - Eŭlera idento
 | ĈapitroURL = http://ccrma-www.stanford.edu/~jos/mdft/Euler_s_Identity.html
 }}</ref> (Notu ke tiu formulo, simile al ĉiuj tiuj engaĝantaj eksponentojn de anguloj, bezonas ke la angulo θ estu esprimita en radianoj.)

Por la operacioj [[multipliko]], [[Divido (matematiko)|divido]], kaj [[Potenco (matematiko)|potencigo]] de kompleksaj nombroj, estas ĝenerale pli simple labori kun kompleksaj nombroj esprimitaj en trigonometria formo en ol rektangula formo. De la leĝoj de potencigo sekvas ke:

* Multipliko:

:: <math>r_0 e^{i\theta_0} \cdot r_1 e^{i\theta_1}=r_0 r_1 e^{i(\theta_0 + \theta_1)} \,</math>

* Divido:

:: <math>\frac{r_0 e^{i\theta_0}}{r_1 e^{i\theta_1}}=\frac{r_0}{r_1}e^{i(\theta_0 - \theta_1)} \,</math>

* Potencigo (de [[formulo de de Moivre]]):

:: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta} \,</math>

== Kalkulo ==
[[Kalkulo]] povas esti aplikita al ekvacioj esprimitaj en polusaj koordinatoj.<ref>{{Citreto
|URL=http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/5/polar.1/index.html
|Titolo=Areas Bounded by Polar Curves - Areoj baritaj per polusaj kurboj
|Aŭtoro=Husch, Lawrence S.
|Alirjaro=2006
|Alirdato=25-a de novembro}}</ref><ref>{{Citreto
|URL=http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/3/polar.1/index.html
|Titolo=Tangent Lines to Polar Graphs - Tangentaj linioj al polusa grafikaĵoj
|Aŭtoro=Lawrence S. Husch
|Alirjaro=2006
|Alirdato=25-a de novembro}}</ref>

La angula koordinato θ estas esprimita en radianoj ĉie en ĉi tiu sekcio, kio estas la kutima elekto en kalkulo.

=== Diferenciala kalkulo ===
Ni havas jenajn formulojn:

:<math>r \tfrac{\partial}{\partial r}= x \tfrac{\partial}{\partial x} + y \tfrac{\partial}{\partial y} \,</math>
:<math>\tfrac{\partial}{\partial \theta} = -y \tfrac{\partial}{\partial x} + x \tfrac{\partial}{\partial y} .</math>

Por trovi la kartezian angulan koeficienton de la [[tanĝanto|tanĝa linio]] al polusa kurbo ''r''(θ) je iu ajn donita punkto, la kurbo estu unue esprimita kiel sistemo de parametraj ekvacioj.

:<math>x=r(\theta)\cos\theta \,</math>
:<math>y=r(\theta)\sin\theta \,</math>

[[Derivaĵo (matematiko)|Derivi]] ambaŭ ekvaciojn kun respekto al θ liveras

:<math>\tfrac{\partial x}{\partial \theta}=r'(\theta)\cos\theta-r(\theta)\sin\theta \,</math>

:<math>\tfrac{\partial y}{\partial \theta}=r'(\theta)\sin\theta+r(\theta)\cos\theta \,</math>

Dividado de la dua ekvacio per la unua liveras la kartezian angulan koeficienton de la [[tanĝanto|tanĝa linio]] al la kurbo je la punkto (''r'', θ):
:<math>\frac{dy}{dx}=\frac{r'(\theta)\sin\theta+r(\theta)\cos\theta}{r'(\theta)\cos\theta-r(\theta)\sin\theta}</math>

=== Integrala kalkulo ===
[[Dosiero:Polar coordinates integration region.svg|eta|La integralada regiono ''R'' estas barita per la kurbo ''r''(θ) kaj la radioj θ = ''a'' kaj θ = ''b''.]]
Lasu ke ''R'' signu la regionon enlimigitan per kurbo ''r''(θ) kaj la radioj θ = ''a'' kaj θ = ''b'', kie 0 < ''b'' − ''a'' < 2π. Tiam, la areo de ''R'' estas

:<math>\frac12\int_a^b r(\theta)^2\, d\theta.</math>

[[Dosiero:Polar coordinates integration Riemann sum.svg|eta|La regiono ''R'' estas aproksimita per ''n'' sektoroj (ĉi tie, ''n'' = 5).]]
Tiu rezulto troveblas jenamaniere. Unue, la intervalo [''a'', ''b''] estas dividita en ''n'' subintervalojn, kie ''n'' estas ajneca pozitiva entjero.
Tial Δθ, la longo de ĉiu subintervalo, estas egala al ''b'' − ''a'' (la tuta longo de la intervalo), dividita per ''n'', la nombro de subintervaloj. Por ĉiu subintervalo ''i'' = 1, 2, …, ''n'', lasu ke θ<sub>''i''</sub> estu la mezpunkto de la subintervalo, kaj konstruu [[cirkla sektoro|sektoron]] kun la centro je la poluso, radiuso ''r''(θ<sub>''i''</sub>), kaj centra angulo Δθ. La areo de ĉiu konstruita sektoro estas pro tio egala al <math>\tfrac12r(\theta_i)^2\Delta\theta</math>. De tio, la tuta areo de ĉiuj sektoroj estas

:<math>\sum_{i=1}^n \tfrac12r(\theta_i)^2\,\Delta\theta.</math>

Dum la nombro de subintervaloj ''n'' estas multigita, la [[proksimuma kalkulado]] de la areo daŭras pliboniĝi. En la limigo kiel ''n'' → ∞, la sumo iĝas la [[Sumo de Riemann|Rimana sumo]] por la integralo supre.

==== Ĝeneraligo ====
Per uzo de [[Karteziaj koordinatoj]], infinitezima area ero povas esti kalkulita kiel ''da'' = ''dx'' ''dy''. La regulo por [[integralado]] per [[anstataŭigo de variabloj]] en [[obla integralo|oblaj integraloj]] diras, ke, kiam oni uzas aliajn koordinatojn, la [[Jakobia matrico#Jakobia determinanto|jakobia determinanto]] ('''jakobiano''' ''J'') de la koordinata konvertiĝa formulo devas esti konsiderata:
: <math>J = \det\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}
=\begin{vmatrix}
 \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\
 \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}
\end{vmatrix}
=\begin{vmatrix}
 \cos\theta & -r\sin\theta \\
 \sin\theta & r\cos\theta
\end{vmatrix}
=r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r.</math>

Do, area ero en polusaj koordinatoj povas esti skribita kiel
:<math>dA = |J|\,dr\,d\theta = r\,dr\,d\theta.</math>

Nun, funkcio donita en polusaj koordinatoj povas esti integralita kiel sekvas:
:<math>\iint_R f(r,\theta) \, dA = \int_a^b \int_0^{r(\theta)} f(r,\theta)\,r\,dr\,d\theta.</math>
Ĉi tie, ''R'' estas la sama regiono kiel pli supre, nome, la regiono enlimigita per kurbo ''r''(θ) kaj la radioj θ = ''a'' kaj θ = ''b''.

La formulo por la areo de ''R'' menciita pli supre estas trovita per tio preni ''f'' idente egala al 1. Pli surpriza apliko de tiu rezulto liveras la [[Gaŭsa integralo|Gaŭsan intergralon]]
:<math> \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx = \sqrt\pi.</math>

=== Vektora kalkulo ===
[[Vektora kalkulo]] povas ankaŭ esti aplikata al polusaj koordinatoj. Lasu ke <math>\mathbf{r}</math> estu la radiusvektoro <math>(r\cos(\theta),r\sin(\theta))\,</math>, kun ''r'' kaj <math>\theta</math> dependantaj de tempo ''t'', <math>\hat{\mathbf{r}}</math> estu unuobla vektoro en la direkto <math>\mathbf{r}</math> kaj <math>\hat{\boldsymbol\theta}</math> estu unuobla vektoro ortaj al <math>\mathbf{r}</math>. La unua kaj dua derivaĵoj de pozicio estas

:<math>\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \dot r\hat{\mathbf{r}} + r\dot\theta\hat{\boldsymbol\theta},</math>

:<math>\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = (\ddot r - r\dot\theta^2)\hat{\mathbf{r}} + (r\ddot\theta + 2\dot r \dot\theta)\hat{\boldsymbol\theta}.</math>

== Tri dimensioj ==
La polusa koordinatsistemo estas etendita en tri dimensiojn per du malsamaj koordinatsistemoj: la cilindra kaj la sfera koordinatsistemoj, kiuj ambaŭ inkluzivas dudimensiajn (aŭ ebenecajn) polusajn koordinatojn kiel subaro. La cilindra koordinatsistemo etendas polusajn koordinatojn per aldono de distanca koordinato, kaj la sfera sistemo anstataŭe aldonas angulan koordinaton.

=== Cilindraj koordinatoj ===
[[Dosiero:CylindricalCoordinates.png|eta|dekstra|250px|2 punktoj grafike prezentitaj per cilindraj koordinatoj]]
La ''cilindra koordinatsistemo'' estas koordinatsistemo kiu etendas la du-dimensian polusan koordinatsistemon per aldono de tria koordinato, kiu estas la alto de punkto super la ebeno, simile al la maniero per kiu la [[kartezia koordinato|karteziaj koordinatoj]] estas etendita en tri dimensiojn. La tria koordinato estas kutime skribata ''h'', kaj do estas la tri cilindraj koordinatoj (''r'', θ, ''h'').

La tri cilindraj koordinatoj povas esti konvertita al karteziaj koordinatoj per
:<math> \begin{align}
x &= r \, \cos\theta \\
y &= r \, \sin\theta \\
z &= h.
\end{align} </math>

=== Sferaj koordinatoj ===
[[Dosiero:Spherical Coordinates.png|eta|dekstra|250px|Punkto grafike prezentitaj uzantaj sferaj koordinatoj]]
[[Dosiero:Sphere.jpg|eta|250px|Sfero kun krado de sferaj koordinatoj. ρ estas konstanto. Estas montritaj du familioj de linioj - kun φ konstanta kaj kun θ konstanta.]]
Polusaj koordinatoj ankaŭ povas esti etenditaj en tri dimensiojn kiel ''sfera koordinatsistemo'' de koordinatoj (ρ, φ, θ), kie ρ estas la distanco de la fonto, φ estas la angulo de la z-akso (nomata kiel la '''zenita distanco'''<ref>Zenita distanco laŭ [[NPIV]] [http://vortaro.net/#zenito]</ref>, ĝi estas inter 0 kaj 180°) kaj θ estas la angulo de la [[abscisa akso]] (kiel en la 2-dimensiaj polusaj koordinatoj). Ĉi tiu koordinatsistemo estas simila al la [[latitudo]] kaj [[longitudo]] uzataj por [[geografio]], kun la fonto en la centro de Tero, la latitudo δ estas la [[komplemento]] de φ, difinita kiel δ = 90° − φ, kaj la longitudo ''l'' estas ''l'' = θ , ĉi tie ''l'' estas inter −180° kaj −180°.<ref>{{Citreto|URL=http://www.math.montana.edu/frankw/ccp/multiworld/multipleIVP/spherical/body.htm| Titolo=Spherical Coordinates ~ Sferaj Koordinatoj| Nomo=Frank| Familinomo=Wattenberg | Dato=1997| Alirjaro=2006 | Alirdato=16-a de septembro}}</ref>

La tri sferaj koordinatoj estas konvertataj al karteziaj koordinatoj per
:<math> \begin{align}
x &= \rho \, \sin\phi \, \cos\theta \\
y &= \rho \, \sin\phi \, \sin\theta \\
z &= \rho \, \cos\phi.
\end{align} </math>
{{-}}

== Aplikoj ==
Polusaj koordinatoj estas du-dimensiaj kaj tial ili povas esti uzataj nur kiam punkto-pozicioj kuŝas sur sola du-dimensia ebeno. Ili estas plej adekvataj en iu ajn ĉirkaŭteksto kie la fenomeno konsiderata estas imanente ligita al direkto kaj longo de centra punkto. Ekzemple, la ekzemploj supre montras kiel rudimentaj polusaj ekvacioj sufiĉas por difini kurbojn – kiaj la Arĥimeda spiralo – kies ekvacio en la Kartezia koordinato estus multe pli komplika. Ankaŭe, multaj fizikaj sistemoj – kiaj tiuj koncernitaj kun korpoj movantaj ĉirkaŭ centra punkto aŭ kun fenomenoj devenantaj de centra punkto – estas pli simplaj kaj pli intuiciaj por modeli per uzo de polusaj koordinatoj. La komenca motivado por la enkonduko de la polusa sistemo estis la studo de [[cirklo|cirkla]] kaj [[orbito|orbita]] moviĝo de [[objekto (fiziko)|objekto]].

=== Pozicio kaj navigado ===
Polusaj koordinatoj estas uzataj ofte en [[navigado]], ĉar la celo aŭ direkto de vojaĝo povas esti donita kiel angulo kaj distanco de la objekto konsiderata. Ekzemple, la [[aviadilo]] uzas iomete modifitan version de la polusaj koordinatoj por [[navigado]]. En tiu sistemo, tiu ĝenerale uzata por ia ajn navigado, la radio 0° estas ĝenerale nomata frontado 360, kaj la anguloj daŭras en [[horloĝodirekto|laŭhorloĝnadla direkto]], anstataŭ kontraŭhorloĝnadla, kiel en la matematika sistemo. Frontado 360 respondas al [[norda magnetpoluso]], dum frontadoj 90, 180, kaj 270 respondas al magneta oriento, sudo, kaj okcidento, respektive.<ref>{{Citreto|URL=http://www.thaitechnics.com/nav/adf.html|Titolo=Aircraft Navigation System - Aviadila Navigada Sistemo|Alirdato=2006-11-26|Nomo=Sumrit|Familinomo=Santhi}}</ref> Tial, aviadilo vojaĝanta 5 marmejlojn precize orienten estas vojaĝanta 5 unuojn je frontado 90 (legu ''niner-zero'' (angla prononco: nAJnerzIro) laŭ [[aer-trafika rego]]).<ref>{{Citreto|URL=http://www.faa.gov/library/manuals/aircraft/airplane_handbook/media/faa-h-8083-3a-7of7.pdf|Titolo=Emergency Procedures - Krizo-Proceduroj|Speco=pdf|Alirdato=2007-01-15}}</ref>

=== Modelado ===
Sistemoj elmontrantaj [[radiusa simetrio|radiusan simetrion]] provizas naturajn mediojn por la polusa koordinatsistemo, kun la centra punkto agante kiel la poluso. Unuaranga ekzemplo de ĉi tiu uzado estas la [[hidrogeologio|ekvacio de terakva fluo]] kiam aplikita al radiuse simetriaj fluoj ĉirkaŭ [[puto]]j. Sistemoj kun [[centra forto (fiziko)|radiusa forto]] ankaŭ estas bonaj kandidatoj por la uzo de la polusa koordinatsistemo. Tiaj sistemoj inkluzivas [[Gravito|gravitajn kampojn]], kiuj obeas la [[inverso-kvadrata leĝo|inverso-kvadratan leĝon]], aldone al sistemoj kun [[punkta fonto|punktaj fontoj]], kiaj [[anteno (tekniko)|radiofon-antenoj]].

Radiuse malsimetriaj sistemoj povas ankaŭ esti modelitaj per polusaj koordinatoj. Ekzemple, [[Mikrofono|mikrofona]] [[Mikrofono#Mikrofonaj polusaj ŝablonoj|sensilo-ŝablono]] ilustras ĝian proporcian respondon al envenanta sono el donita direkto, kaj ĉi tiuj ŝablonoj povas esti prezentitaj kiel polusaj kurboj. La kurbo por norma kardioida mikrofono, la plej komuna unudirekta mikrofono, povas esti prezentita kiel {{nowrap|1=''r'' = 0.5 + 0.5 sin θ}}.<ref>{{Citlibro |Familinomo=Eargle |Nomo=Johano |Titolo=Handbook of Recording Engineering - Gvidlibro de Registrado-Inĝenierado |Jaro=2005 |Redakto=Kvara Redakcio |Eldonejo=Springer |ISBN = 0387284702}}</ref>

<!--

== Vidu ankaŭ ==
* [[Listo de kanonaj koordinataj transformoj]] Kiel vidi, se tia artikolo ne ekzistas?
-->

== Referencoj ==
;Ĝeneralaj
* {{Citlibro|Familinomo=Anton|Nomo=Howard|Kunaŭtoroj=Irl Bivens, Stephen Davis|Titolo=Calculus - Kalkulo|Redakto=Sepa Redakcio|Jaro=2002|Eldonejo=Anton Textbooks, Inc. - Anton Lernolibroj, Inc.|ISBN=0-471-38157-8}}
* {{Citlibro|Familinomo=Finney|Nomo=Ross|Kunaŭtoroj=Georga Tomaso, Franklin Demana, Bert Atendas|Titolo=Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic - Kalkulo: Grafika, Cifereca, Algebra|Redakto=Sola (Variablo, Varianta) Versio|Jaro=1994|Monato=Junio|Eldonejo=Addison-Wesley Publishing Co. - Addison-Wesley Publikiganta Co.|ISBN=0-201-55478-X}}
;Specifaj

{{Referencoj}}

== Eksteraj ligiloj ==
{{Projektoj}}
* [http://fooplot.com/index.php?r0=2sin(4*theta)&type0=1 FooPlot (surlinia funkcia desegnilo en polusaj koordinatoj)] {{Webarchiv|url=https://web.archive.org/web/20111013015754/http://fooplot.com/index.php?r0=2sin(4*theta)&type0=1 |date=2011-10-13 }}
* [http://www.unitsconversion.com.ar/coordinates/index.htm Surlinia konvertiĝa laborilo inter polusa kaj karteziaj koordinatoj]{{404|date=September 2024 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}

{{Elstara|2007|04|07}}
{{ADLS|2007|17}}
{{ADLS|2018|18}}

[[Kategorio:Matematiko]]
[[Kategorio:Geometrio]]
[[Kategorio:Koordinatsistemoj]]