Vidi fonton por Nekalkulebla aro

En [[matematiko]], '''nekalkulebla aro''' estas [[malfinio|malfinia]] [[aro (matematiko)|aro]] kiu enhavas tro multajn [[ero (matematiko)|erojn]] por esti [[kalkulebla aro|kalkulebla]]. La nekalkulebleco de aro estas proksime rilatanta al ĝia [[povo de aro]] (kardinalo): aro estas nekalkulebla se ĝia povo estas pli granda ol tiu de aro de ĉiuj [[natura nombro|naturaj nombroj]].

Estas multaj ekvivalentaj karakterizadoj de nekalkulebleco. Aro ''X'' estas nekalkulebla se kaj nur se iu el jenaj kondiĉoj veras:
* Ne ekzistas [[enĵeto]] de ''X'' al la aro de naturaj nombroj.
* ''X'' estas nemalplena kaj ĉiu ω-[[vico]] de eroj de ''X'' malsukcesas inkluzivi almenaŭ unu eron de ''X''. Tio estas, ''X'' estas nemalplena kaj estas ne [[surĵeto]] de la naturaj nombroj al ''X''.
* [[Kardinala nombro|Kardinalo]] de ''X'' estas nek finia nek egala al <math>\aleph_0</math> ([[alef nombro|alef-nula]], la kardinalo de la [[natura nombro|naturaj nombroj]]).
* Kardinalo de ''X'' estas severe pli granda ol <math>\aleph_0</math>.

La unuaj tri el ĉi tiuj karakterizadoj povas esti pruvitaj al esti ekvivalentaj en [[aroteorio de Zermelo-Fraenkel]] sen la [[aksiomo de elekto]], sed la ekvivalenteco de la tria kaj kvara ne povas esti pruvita sen aldonaj elektaj principoj.

== Propraĵoj ==

* Se nekalkulebla aro ''X'' estas subaro de aro ''Y'', do ''Y'' estas nekalkulebla.
* [[Kunaĵo]] de du aroj, el kiuj almenaŭ unu estas nekalkulebla aro, estas nekalkulebla aro. Plu, kunaĵo de ajna aro de aroj, el kiuj almenaŭ unu estas nekalkulebla aro, estas nekalkulebla aro.
* [[Diferenco (aroteorio)|Diferenco]] de nekalkulebla aro kaj kalkulebla aro estas nekalkulebla aro.
* [[Kartezia produto]] de du ne malplenaj aroj, el kiuj almenaŭ unu estas nekalkulebla aro, estas nekalkulebla aro. Plu, (alprenante aksiomon de elekto) kartezia produto de ajna aro de ne malplenaj aroj, el kiuj almenaŭ unu estas nekalkulebla aro, estas nekalkulebla aro.

== Ekzemploj ==

La plej bona sciata ekzemplo de nekalkulebla aro estas la aro '''''R''''' de ĉiuj [[reela nombro|reelaj nombroj]]; [[diagonala argumento de Cantor]] montras ke ĉi tiu aro estas nekalkulebla. La diagonala pruva maniero povas esti uzata ankaŭ por montri ke kelkaj aliaj aroj estas nekalkuleblaj, inter ili la aro de ĉiuj malfiniaj [[vico]]j de [[natura nombro|naturaj nombroj]]; kaj eĉ la aro de ĉiuj malfiniaj vicoj konsistantaj nur el 0 kaj 1; kaj la aro de ĉiuj [[subaro]]j de la aro de naturaj nombroj. La kardinalo de '''''R''''' estas la [[kardinalo de kontinuumo]] kaj skribata kiel ''c'' aŭ <math>\beth_1</math> aŭ <math>2^{\aleph_0}</math>.

Aro '''''C''''' de ĉiuj [[kompleksa nombro|kompleksaj nombroj]] kaj ĉiu aro '' '''R'''<sup>n</sup>'' de ĉiuj punktoj de ''n''-dimensia [[eŭklida spaco]] estas nekalkuleblaj. Ĉi tio estas ĉar ĉiu el la aroj estas kartezia produto de pluraj kopioj de nekalkulebla aro '''''R'''''.

Aro de ĉiuj [[neracionala nombro|neracionalaj nombroj]] estas nekalkulebla. Ĉi tio estas ĉar ĝi estas [[diferenco (aroteorio)|diferenco]] de nekalkulebla aro '''''R''''' kaj kalkulebla aro '''''Q'''''; kie '''''Q''''' estas aro de ĉiuj [[racionala nombro|racionalaj nombroj]].

Aro de ĉiuj [[transcenda nombro|transcendaj nombroj]] estas nekalkulebla. Ĉi tio estas ĉar ĝi estas [[diferenco (aroteorio)|diferenco]] de nekalkulebla aro '''''C''''' kaj kalkulebla aro de ĉiuj [[algebra nombro|algebraj nombroj]].

La [[aro de Kantor]] estas nekalkulebla subaro de '''R'''. La aro de Kantor estas [[fraktalo]] kaj havas [[dimensio de Hausdorff|dimension de Hausdorff]] pli grandan ol 0 sed malpli grandan ol 1 ('''''R''''' havas dimension 1). Ĉi tio estas ekzemplo de tio ke ĉiu subaro de '''R''' de dimensio de Hausdorff severe pli granda ol 0 devas esti nekalkulebla.

Alia ekzemplo de nekalkulebla aro estas la aro de ĉiuj funkcioj de '''''R''''' al '''''R'''''. Ĉi tiu aro estas eĉ pli granda ol '''''R''''', kardinalo de ĉi tiu aro estas <math>\beth_2=2^{\beth_1}</math> ([[beth-du]]), kiu estas pli granda ol <math>\beth_1</math>.

Pli abstrakta ekzemplo de nekalkulebla aro estas la aro de ĉiuj kalkuleblaj [[orda numero|ordaj numeroj]], skribata kiel ''Ω'' ([[omego]]) aŭ ''ω<sub>1</sub>''. La kardinalo de ''Ω'' estas <math>\aleph_1</math> ([[alef nombro|alef-unu]]). Povas esti montrite, uzante la [[aksiomo de elekto|aksiomon de elekto]], ke <math>\aleph_1</math> estas la plej malgranda nekalkulebla kardinalo. Tial la kardinalo de la reelaj nombroj <math>\beth_1</math> estas egala al aŭ severe pli granda ol <math>\aleph_1</math>. Sub la [[kontinuumo-hipotezo]] ili egalas inter si, <math>\aleph_1=\beth_1</math>.

== Sen la aksiomo de elekto ==

Sen la [[aksiomo de elekto]], tie povas ekzisti kardinaloj nekompareblaj al <math>\aleph_0</math>, konkrete, la kardinaloj de [[dedekindo-finia]]j malfiniaj aroj. Aroj de ĉi tiuj kardinaloj kontentigas la unuajn tri karakterizadojn donitajn pli supre sed ne la kvaran karakterizadon. Ĉar ĉi tiuj aroj ne estas pli grandaj ol la aro de ĉiuj naturaj nombroj en la senco de kardinalo, oni povas ne deziri nomi ilin kiel nekalkuleblaj.

Se la aksiomo de elekto veras, jenaj kondiĉoj pri ĉiu kardinalo ''κ'' estas ekvivalentaj:

* <math>\kappa \nleq \aleph_0</math>
* <math>\kappa > \aleph_0</math>
* <math>\kappa \geq \aleph_1</math>, kie <math>\aleph_1 = |\omega_1 |</math> kaj ''ω<sub>1</sub>'' estas la plej malgranda [[komenca orda numero]] pli granda ol ''ω''

Tamen, ĉi tiuj kondiĉoj povas ĉiuj esti ne ekvivalentaj inter si se la aksiomo de elekto mankas. Tiel estas ne evidente kiu estas la adekvata koncepto de nekalkulebleco se la aksiomo de elekto mankas. Povas esti plej bone eviti uzon de la vorto en ĉi tiu okazo kaj precizigi iun el ĉi tiuj signifoj.

== Vidu ankaŭ ==

* [[Natura nombro]]
* [[Alef-nombro]]
* [[Beth-nombro]]
* [[Kalkulebla aro]]
* [[Kardinalo de kontinuumo]]
* [[kontinuumo-hipotezo]]
* [[Aksiomo de elekto]]

== Eksteraj ligiloj ==

* [http://www.apronus.com/math/uncountable.htm Pruvo ke '''''R''''' estas nekalkulebla]

[[Kategorio:Senfineco]]
[[Kategorio:Aro-teorio]]

[[ru:Счётное множество#Связанные понятия]]