Vidi fonton por Matrico de Hesse

En [[matematiko]], la '''matrico de Hesse''' estas [[kvadrata matrico]] de duaj [[parta derivaĵo|partaj derivaĵoj]] de [[skalaro]]-valora [[funkcio]]. Por [[reelo]]-valora funkcio

:''f''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>),

se ĉiuj partaj duaj derivaĵoj de ''f'' ekzistas, la '''matrico de Hesse''' de ''f'' estas matrico

:H(''f'')<sub>''ij''</sub>(''x'') = ''D''<sub>''i''</sub> ''D''<sub>''j''</sub> ''f''(''x'')

kie ''x'' = (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>). Tio estas,

:<math>H(f) = \begin{bmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}
\end{bmatrix}</math>

== Miksitaj derivaĵoj kaj simetrio de la matrico ==

La '''miksitaj derivaĵoj''' de ''f'' estas la elementoj ne sur la [[ĉefa diagonalo]] en la matrico. Ofte, la ordo de diferencialado ne gravas. Ekzemple:

:<math>\frac {\partial}{\partial x} \left( \frac { \partial f }{ \partial y} \right) =
 \frac {\partial}{\partial y} \left( \frac { \partial f }{ \partial x} \right)</math>

Ĉi tio povas ankaŭ esti skribita kiel:

:<math>\partial_{xy} f = \partial_{yx} f</math>

Se la ĉiuj duaj derivaĵoj de ''f'' estas [[kontinua funkcio|kontinuaj]] en regiono ''D'', do la matrico de Hesse de ''f'' estas [[simetria matrico]] en ''D''. (Vidu en [[simetrio de duaj derivaĵoj]].)

== Kritikaj punktoj kaj diskriminanto ==

Se la [[gradiento]] de ''f'' (kio estas ĝia derivaĵo en la vektoro senco) estas nulo je iu punkto ''x'', tiam ''f'' havas ''[[krita punkto|kritan punkton]]'' je ''x''. La [[determinanto]] de la matrico de Hesse je ''x'' estas tiam nomata kiel la [[diskriminanto]]. Se ĉi tiu determinanto estas nulo tiam ''x'' estas ''[[degenera krita punkto]]'' de ''f''. Alie ĝi estas ne degenera.

== [[Dua derivaĵa provo]] ==

Jena provo povas esti aplikita je ne-degenera krita punkto ''x''. Se la matrico de Hesse estas [[pozitive difinita matrico]] je ''x'', tiam ''f'' atingas lokan [[minimumo]]n je ''x''. Se la matrico de Hesse estas negative difinita je ''x'', tiam ''f'' atingas lokan [[maksimumo]]n je ''x''. Se la matrico de Hesse havas ambaŭ pozitivan kaj negativan [[ejgeno]]jn tiam ''x'' estas [[sela punkto]] por ''f'' (ĉi tio estas vera eĉ se ''x'' estas degenera). 

Por pozitive duondifina kaj negative duondifina matricoj de Hesse la provo estas ne donas rezulton. Tamen, io plua povas esti dirita de la punkto de vido de [[morsa teorio]].

La dua derivaĵa provo por funkcioj de unu kaj du variabloj estas simpla. Por unu variablo, la matrico de Hesse enhavas nur unu duan derivaĵon; se ĝi estas pozitiva tiam ''x'' estas loka minimumo, se ĝi estas negativa tiam ''x'' estas loka maksimumo; se ĝi estas nulo tiam la provo ne donas rezulton. 

Por funkcio de du variabloj oni povas ne zorgi pri trovo de la [[ejgeno]]j, sed simple uzi la diskriminanton, ĉar por 2x2-matrico la determinanto ĉiam estas produto de la ejgenoj. Se ĝi estas pozitiva, do la ejgenoj estas aŭ ambaŭ pozitivaj, aŭ ambaŭ negativaj. Tiam oni povas rigardi la signon de iu dua derivaĵo kaj konkludi, ĉu la punkto estas maksimumo aŭ minimumo. Se ĝi estas negativa, do la du ejgenoj havas malsamajn signojn, kaj sekve la punkto estas selo. Se ĝi estas nulo, tiam la dua derivaĵa provo ne donas rezulton.

== Vektoro-valoraj funkcioj ==

Se ''f'' estas [[vektoro]]-valora, kio estas

:'''''f'''''=(''f''<sub>1</sub>(t), ..., ''f''<sub>''n''</sub>(t)),

tiam la tabelo de duaj partaj derivaĵoj estas ne matrico sed [[tensoro]] de rango 3.

== Vidu ankaŭ ==

* [[Gradiento]] - vektoro de la unuaj derivaĵoj de skalaro-valora funkcio
* [[Jakobia matrico]] - matrico de la unuaj derivaĵoj de vektoro-valora funkcio
* [[Serio de Taylor]] - la matrico de Hesse aperas en serio de Taylor de funkcio de kelkaj variabloj

[[Kategorio:Kalkulo]]
[[Kategorio:Matricoj]]
[[Kategorio:Morsa teorio]]