Vidi fonton por Magia kvadrato

[[Dosiero:Magicsquareexample.svg|kadro|<small>La plej malgranda (kaj unika krom rotacioj kaj reflektoj de ĝi) netriviala norma magia kvadrato</small>]]
'''Magia kvadrato''' estas kvadrata tabelo <math>n\times n</math>, plenigita per diversaj [[nombro]]j tiel, ke la sumo de nombroj en ĉiu horizontalo, vertikalo kaj diagonalo estas sama. Magiaj kvadratoj ekzistas por ĉiuj ordoj <math>n\ge 1</math> krom <math>n=2</math>. La kazo <math>n=1</math> estas triviala, ĉar tiuokaze la kvadrato konsistas nur el unu nombro.

== Difinoj ==
La '''[[magia konstanto]]''' estas sumo de nombroj en iu horizontalo, vertikalo aŭ diagonalo de magia kvadrato. La magia konstanto de norma magia kvadrato de la ordo <math>n=2</math> dependas nur de <math>n=2</math> kaj ĝin oni povas kalkuli per la sekva formulo:

: <math>M(n) = \frac{n(n^2+1)}{2}</math>

La komenco de la sinsekvo de la magiaj konstantoj de normaj magiaj kvadratoj M (''n'') (<math>n\geq 3</math>) estas jena:

15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505, 671, 870, 1105, … ({{OEIS|A006003}}).

=== Klasifiko de magiaj kvadratoj ===
Se en kvadrato egalas nur la sumoj de horizontaloj kaj vertikaloj do oni nomas ĝin '''duonmagia'''.

Magia kvadrato de ordo <math>n\times n</math> estas '''norma''' se ĝi enhavas ĉiun [[Pozitivaj kaj negativaj nombroj|pozitivan]] [[Entjera nombro|entjeron]] inter [[unu|1]] kaj <math>n^2</math>. Foje oni lasas la vorton “norma” kaj nomas norman magian kvadraton simple “magia kvadrato”.

Magia kvadrato estas '''asocieca''' aŭ '''simetria''' se sumo de ĉiuj du nombroj, simetriaj rilate de la centro, estas sama kaj egalas <math>n^2+1</math>. Simetriaj kvadratoj ne ekzistas por nepare paraj ordoj (<math>n=4\cdot k+2</math>).

<small>
{| class="wikitable" style="float:right;margin-left:2em;margin-right:auto;text-align:center;width:21em;height:21em;table-layout:fixed;"
|-
| style="background-color: silver;"|92 || style="background-color: silver;"|17 || style="background-color: silver;"|4 || style="background-color: silver;"|95 || style="background-color: silver;"|8 || style="background-color: silver;"|91 || style="background-color: silver;"|12 || style="background-color: silver;"|87 || style="background-color: silver;"|16 || style="background-color: silver;"|83
|-
| style="background-color: silver;"|99 || 76 || 31 || 22 || 77 || 26 || 73 || 30 || 69 ||style="background-color: silver;"| 2
|-
| style="background-color: silver;"|1 || 20 || style="background-color: silver;"|64 || style="background-color: silver;"|41 || style="background-color: silver;"|36 || style="background-color: silver;"|63 || style="background-color: silver;"|40 || style="background-color: silver;"|59 || 81 || style="background-color: silver;"|100
|-
| style="background-color: silver;"|3 || 19 || style="background-color: silver;"|67 || 58 || 47 || 51 || 46 || style="background-color: silver;"|34 || 82 || style="background-color: silver;"|98
|-
| style="background-color: silver;"|96 || 80 || style="background-color: silver;"|33 || 52 || 45 || 57 || 48 || style="background-color: silver;"|68 || 21 || style="background-color: silver;"|5
|-
| style="background-color: silver;"|7 || 78 || style="background-color: silver;"|35 || 49 || 56 || 44 || 53 || style="background-color: silver;"|66 || 23 || style="background-color: silver;"|94
|-
| style="background-color: silver;"|90 || 27 || style="background-color: silver;"|62 || 43 || 54 || 50 || 55 || style="background-color: silver;"|39 || 74 || style="background-color: silver;"|11
|-
| style="background-color: silver;"|13 || 72 || style="background-color: silver;"|42 || style="background-color: silver;"|60 || style="background-color: silver;"|65 || style="background-color: silver;"|38 || style="background-color: silver;"|61 || style="background-color: silver;"|37 || 29 || style="background-color: silver;"|88
|-
| style="background-color: silver;"|86 || 32 || 70 || 79 || 24 || 75 || 28 || 71 || 25 || style="background-color: silver;"|15
|-
| style="background-color: silver;"|18 || style="background-color: silver;"|84 || style="background-color: silver;"|97 || style="background-color: silver;"|6 || style="background-color: silver;"|93 || style="background-color: silver;"|10 || style="background-color: silver;"|89 || style="background-color: silver;"|14 || style="background-color: silver;"|85 || style="background-color: silver;"|9
|}
</small>
Se post forigo de la randoj de magia kvadrato restas magia kvadrato, do komenca kvadrato nomiĝas '''borderita'''. Se post forigo de la randoj restas borderita magia kvadrato, do komenca kvadrato nomiĝas '''samcentra borderita'''. Borderitaj kvadratoj ne ekzistas por ordo 4. Vidu la ekzemplon de samcentra borderita kvadrato de ordo 10 dekstre.

Magia kvadrato estas '''kunmetita''' aŭ '''kompunda''' se ĝi konsistas el pluraj magiaj kvadratoj, tute aŭ parte, kaj la subkvadratoj povas havi aŭ ne havi komunan parton. Laŭ tiu ĉi difino borderita magia kvadrato estas kunmetita. Sed foje oni postulas, ke subkvadratoj ne havu komunajn partojn kaj kune donu la tutan kunmetitan kvadraton, tiuokaze magian kvadraton kun malpligranda kvadrato ene de si oni nomas '''inkrustita''', kaj la enan subkvadraton '''inkrustaĵo'''.

{| class="wikitable" style="float:left;margin-left:auto;margin-right:2em;text-align:center;width:8em;height:8em;table-layout:fixed;"
|-
| 2 || 3 || style="background-color: silver;"|5 || 8
|-
| 5 || 8 || 2 || style="background-color: silver;"|3
|-
| style="background-color: silver;"|4 || 1 || 7 || 6
|-
| 7 || style="background-color: silver;"|6 || 4 || 1
|}

La kvadrato estas '''tut-diagonala''' aŭ '''diabla magia kvadrato''', se sumo de nombroj ankaŭ en rompitaj diagonaloj egalas al la magia konstanto. Do ne nur post rotacio aŭ reflekto, sed ankaŭ post [[translacio (geometrio)|translacio]] (supren/malsupren aŭ dekstre/maldekstre) la kvadrato restas magia. Rompita diagonalo iras trans rando de kvadrato kaj aperas el la kontraŭa rando, kvazaŭ la kvadrato estas volvita en [[toro (geometrio)|toro]]. Aliaj nomoj de tiaj kvadratoj: '''perfektaj''' aŭ '''ĝajnaj kvadratoj'''. Vidu la ekzemplon de tut-diagonala kvadrato de ordo 4 maldekstre. Unu el rompitaj diagonaloj estas montrita sur ĝi per pli malhela koloro.

'''Ultramagia kvadrato''' samtempe estas asocieca kaj tut-diagonala. Tiaj kvadratoj ekzistas nur por ordoj <math>n\ge 5</math>.
{{-}}
{| class="wikitable" style=" float:right;margin-left:2em;margin-right:auto;color:#000000;width:8em;height:8em;text-align:center;font-weight:bold;"
| style="background:#cc99ff;"|7
| style="background:#ff9999;"|12
| style="background:#ffff00;"|1
| style="background:#ffffff;"|14
|-
| style="background:#cccccc;"|2
| style="background:#99ccff;"|13
| style="background:#00ffff;"|8
| style="background:#00ff00;"|11
|-
| style="background:#ffff00;"|16
| style="background:#ffffff;"|3
| style="background:#cc99ff;"|10
| style="background:#ff9999;"|5
|-
| style="background:#00ffff;"|9
| style="background:#00ff00;"|6
| style="background:#cccccc;"|15
| style="background:#99ccff;"|4
|}
* Magia kvadrato estas '''plej perfekta magia kvadrato''' se tri kondiĉoj estas plenumitaj:
*# La ordo de la kvadrato estas oblo de 4, do <math>n=4\cdot k</math>.
*# En la kvadrato ĉiu subkvadrato de ordo <math>2\times 2</math> havas saman sumon de ĉiuj siaj nombroj, kiu egalas <math>S/k</math>, kie <math>S</math> estas la magia konstanto. Se la magia kvadrato estas norma, do <math>S/k=2\cdot (n^2+1)</math>. Subkvadratoj oni konsideru ne nur tiujn, kiuj troviĝas ene de la magia kvadrato, sed ankaŭ tiujn, kiuj aperas trans la randoj de ĝi, inkluzive la kazon de la kvar angulaj ĉeloj de la magia kvadrato, kvazaŭ tiu lasta estas volvita en toro.
*# Sumo de ĉiu paro da nombroj, kiuj situas en sama diagonalo (inkluzive rompitaj) distance je <math>n/2</math> estas sama kaj egalas <math>S/(2\cdot k)</math>. Se la magia kvadrato estas norma, do <math> S/(2\cdot k)=(n^2+1)</math>. En la kvadrato dekstre ĉiu tia paro estas montrita per sia koloro.

Eblas aliaj klasifikoj de magiaj kvadratoj.
{{-}}

== Transformoj, konservantaj magiecon ==
=== Por ĉiu magia kvadrato ===
* Ĉiu magia kvadrato restas magia, se oni [[Multipliko|multiplikas]] ĉiujn ĝiajn nombrojn per iu konstanto.<ref name="Kraitchik1953">{{citaĵo el libro |titolo= Mathematical Recreations |familia nomo=Kraitchik |persona nomo= Maurice |ĉapitro= Magic Squares |kunaŭtoroj= |jaro=1953 |eldoninto=Dover Publications, Inc. |loko=New York |eldono=2| lingvo=en |ĉapitrourl=https://archive.org/details/mathematicalrecr0000krai/page/142|paĝoj=142–192 |url= https://archive.org/details/mathematicalrecr0000krai }}</ref>
* Ĉiu magia kvadrato restas magia, se oni [[Adicio|adicias]] al ĉiuj ĝiaj nombroj aŭ [[Subtraho|subtrahas]] de ili iun konstanton, aŭ de iu konstanto subtrahadas ĉiujn ĝiajn nombrojn. Ĉe la okazo, ke oni subtrahadas de <math>n^2+1</math> ĉiujn nombrojn de norma kvadrato, oni ricevas ''komplementon'' de la komenca kvadrato, ankaŭ norman.<ref name="Kraitchik1953"/> En la sekva ekzemplo, se la nombrojn de la maldekstra kvadrato oni subtrahadas de 17, do oni ricevas la komplementon dekstre. Sed se la saman operacion oni faras por la dekstra kvadrato, do oni ricevas la komplementon maldekstre.
{{Kolumno-kom|larĝeco=auto;margin:0.5em auto}}
{{Kolumno|valign=bottom}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:8em;height:8em;table-layout:fixed;"
|-
| 10 || 3 || 13 || 8
|-
| 5 || 16 || 2 || 11
|-
| 4 || 9 || 7 || 14
|-
| 15 || 6 || 12 || 1
|}
{{Kolumno|valign=bottom|spaco=1em}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:8em;height:8em;table-layout:fixed;"
|-
| 7 || 14 || 4 || 9
|-
| 12 || 1 || 15 || 6
|-
| 13 || 8 || 10 || 3
|-
| 2 || 11 || 5 || 16
|}
{{Kolumno-fino}}
* Ĉiun magian kvadraton oni povas [[Turnado (matematiko)|turni]] aŭ [[Reflekto (matematiko)|reflekti]] kaj ricevi 8 triviale malsamajn magiajn kvadratojn. Ordinare oni rigardas ilin ĉiujn ekvivalentaj, kaj la tutan okopon nomas [[ekvivalentklaso]].<ref name="Kraitchik1953"/><ref name=lost-theorem>{{citaĵo el gazeto |url= |titolo= The lost theorem |familia nomo=Sallows |persona nomo=Lee |gazeto=The Mathematical Intelligencer |volumo=19 |numero=4 |paĝoj=51–54 |dato=09 Januaro 2009 |formato= |doi=10.1007/BF03024415 |lingvo=en}}</ref> Ordinare oni rigardas ekvivalentajn kvadratojn samaj. La 8 ekvivalentajn kvadratojn de ordo 3 vidu malsupre:
{{Kolumno-kom|larĝeco=auto;margin:0.5em auto}}
{{Kolumno|valign=bottom}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:6em;height:6em;table-layout:fixed;"
|-
| 8 || 1 || 6
|-
| 3 || 5 || 7
|-
| 4 || 9 || 2
|}
{{Kolumno|valign=bottom|spaco=1em}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:6em;height:6em;table-layout:fixed;"
|-
| 6 || 1 || 8
|-
| 7 || 5 || 3
|-
| 2 || 9 || 4
|}
{{Kolumno|valign=bottom|spaco=1em}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:6em;height:6em;table-layout:fixed;"
|-
| 2 || 7 || 6
|-
| 9 || 5 || 1
|-
| 4 || 3 || 8
|}
{{Kolumno|valign=bottom|spaco=1em}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:6em;height:6em;table-layout:fixed;"
|-
| 4 || 3 || 8
|-
| 9 || 5 || 1
|-
| 2 || 7 || 6
|}
{{Kolumno-fino}}
{{Kolumno-kom|larĝeco=auto;margin:0.5em auto}}
{{Kolumno|valign=bottom}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:6em;height:6em;table-layout:fixed;"
|-
| 2 || 9 || 4
|-
| 7 || 5 || 3
|-
| 6 || 1 || 8
|}
{{Kolumno|valign=bottom|spaco=1em}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:6em;height:6em;table-layout:fixed;"
|-
| 4 || 9 || 2
|-
| 3 || 5 || 7
|-
| 8 || 1 || 6
|}
{{Kolumno|valign=bottom|spaco=1em}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:6em;height:6em;table-layout:fixed;"
|-
| 6 || 7 || 2
|-
| 1 || 5 || 9
|-
| 8 || 3 || 4
|}
{{Kolumno|valign=bottom|spaco=1em}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:6em;height:6em;table-layout:fixed;"
|-
| 8 || 3 || 4
|-
| 1 || 5 || 9
|-
| 6 || 7 || 2
|}
{{Kolumno-fino}}
* Ĉiu magia kvadrato restas magia, se oni interŝanĝas du horizontalojn, kiuj situas je sama distanco <math>l</math> de la centro, kaj poste interŝanĝas du vertikalojn, kiuj situas je sama distanco <math>l</math> de la centro. (Same estas se oni komence interŝanĝas vertikalojn kaj poste horizontalojn).<ref name="Kraitchik1953"/> Vidu malsupre la ekzemplon, kie la dekstra magia kvadrato de ordo 4 povas esti ricevita el la maldekstra per interŝanĝo de la 1-an kaj 4-an horizontalojn kaj posta (aŭ antaŭa) interŝanĝo la 1-an kaj 4-an vertikalojn.

{{Kolumno-kom|larĝeco=auto;margin:0.5em auto}}
{{Kolumno|valign=bottom}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:8em;height:8em;table-layout:fixed;"
|-
| style="background-color: silver;"|'''1''' || style="background-color: silver;"|15 || style="background-color: silver;"|14 || style="background-color: silver;"|'''4'''
|-
| style="background-color: silver;"|12 || 6 || 7 || style="background-color: silver;"|9
|-
| style="background-color: silver;"|8 || 10 || 11 || style="background-color: silver;"|5
|-
| style="background-color: silver;"|'''13''' || style="background-color: silver;"|3 || style="background-color: silver;"|2 || style="background-color: silver;"|'''16'''
|}
{{Kolumno|valign=bottom|spaco=1em}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:8em;height:8em;table-layout:fixed;"
|-
| 16 || 3 || 2 || 13
|-
| 9 || 6 || 7 || 12
|-
| 5 || 10 || 11 || 8
|-
| 4 || 15 || 14 || 1
|}
{{Kolumno-fino}}

== Historio ==
{{Tradukitaĵo|en|Magic square|versio=926990672|sekcio=Historio}}

[[Dosiero:Lo Shu 3x3 magic square.svg|eta|maldekstra|150px|La kvadrato Lo Ŝu]]
[[Dosiero:Magic Square Lo Shu.svg|eta|150px|<small>La kvadrato Lo Ŝu en moderna formo</small>]]

=== [[Ĉinio]] kaj [[Japanio]] ===
La unua nun konata norma magia kvadrato estas tiel nomata kvadrato Lo Ŝu ([[ĉine]] [[Tradicia ĉina skribo|tradicie]] 洛書; [[simpligita ĉina skribo|simpligite]] 洛书; [[pinjine]] ''luò shū''). Ĝi estas norma magia kvadrato de ordo 3. Ĉina legendo pri prahistoria Ju la Grana (大禹), la fondinto de la [[dinastio Xia]], rakontas pri mistere aperinta testudo, sur kies [[karapaco]] nombroj ekde 1 ĝis 9 estis desegnitaj per rondaj punktoj. Lo Ŝu estis malklare menciita en ĉ. [[-650|650 a.K.]], en ĉ. [[-500|500 a.K.]] kaj en ĉ. [[-300|300 a.K.]], en [[80]] estis menciita klare kaj en [[570]] donita la kvadrato mem. Se Ju la Granda efektive vivis en [[22-a jarcento a.K.|22-a]]—[[21-a jarcento a.K.|21-a jarcentoj a.K]] kaj en lia tempo oni efektive konis la kvadraton Lo Ŝu, do plej verŝajne tiu estas la plej malnova norma magia kvadrato, konata de homoj.<ref name="Swaney">
{{Citaĵo el la reto|url=http://www.netmastersinc.com/secrets/magic_squares.htm|titolo=Mark Swaney on the History of Magic Squares|familia nomo= Swaney|lingvo=en|persona nomo=Mark|arkivurl=https://web.archive.org/web/20040807015853/http://www.netmastersinc.com/secrets/magic_squares.htm|arkivdato=2004-08-07}}</ref>
{{-}}
[[Dosiero:Suanfatongzong-790-790.jpg|150px|eta|dekstra|<small>La paĝo, montranta magian kvadraton el verko de Cheng Dawei (程大位)</small>]]
La aŭtoro de la plej malnova el ĝis nun konservintaj traktaĵoj pri magiaj kvadratoj en [[1275]] estis [[Yang Hui]], sed lia verko estis kompilita el plu fruaj. Li donos unu norman magian kvadraton de ordo 3, po du kvadratojn por ĉiu ordo ekde 4 ĝis 8, unu kvadraton por ordo 8 kaj unu duonmagian kvadraton de ordo 10.<ref name="Connor">{{citaĵo el la reto|url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Yang_Hui.html|titolo=Yang Hui|aŭtoro=O'Connor, J.J. kaj Robertson,E.F.|lingvo=en|alirdato=2019-11-28|arkivurl=https://web.archive.org/web/20191023111232/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Yang_Hui.html|arkivdato=2019-10-23}}</ref>
{{Kolumno-kom|larĝeco=auto|stilo=margin:0.5em auto}}
{{Kolumno|valign=bottom}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:6em;height:6em;table-layout:fixed;"
|-
| 4 || 9 || 2
|-
| 3 || 5 || 7
|-
| 8 || 1 || 6
|}

{{Kolumno|valign=bottom|spaco=1em}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:8em;height:8em;table-layout:fixed;"
|-
| 2 || 16 || 13 || 3
|-
| 11 || 5 || 8 || 10
|-
| 7 || 9 || 12 || 6
|-
| 14 || 4 || 1 || 15
|}

{{Kolumno|valign=bottom|spaco=1em}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:10em;height:10em;table-layout:fixed;"
|-
| 1 || 23 || 16 || 4 || 21
|-
| 15 || style="background-color: silver;"|14 || style="background-color: silver;"|7 || style="background-color: silver;"|18 || 11
|-
| 24 || style="background-color: silver;"|17 || style="background-color: silver;"|13 || style="background-color: silver;"|9 || 2
|-
| 20 || style="background-color: silver;"|8 || style="background-color: silver;"|19 || style="background-color: silver;"|12 || 6
|-
| 5 || 3 || 10 || 22 || 25
|}

{{Kolumno|valign=bottom|spaco=1em}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:12em;height:12em;table-layout:fixed;"
|-
| 13 || 22 || 18 || 27 || 11 || 20
|-
| 31 || '''4''' || 36 || '''9''' || 29 || '''2'''
|-
| 12 || 21 || 14 || 23 || 16 || 25
|-
| 30 || '''3''' || '''5''' || 32 || 34 || '''7'''
|-
| 17 || 26 || 10 || 19 || 15 || 24
|-
| '''8''' || 35 || 28 || '''1''' || '''6''' || 33
|}
{{Kolumno-fino}}

{{Kolumno-kom|larĝeco=auto|stilo=margin:0.5em auto}}
{{Kolumno|valign=bottom}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:14em;height:14em;table-layout:fixed;"
|-
| style="background-color: silver;"|46 || style="background-color: silver;"|8 || style="background-color: silver;"|16 || style="background-color: silver;"|20 || style="background-color: silver;"|29 || style="background-color: silver;"|7 || style="background-color: silver;"|49
|-
| style="background-color: silver;"|3 || 40 || 35 || 36 || 18 || 41 || style="background-color: silver;"|2
|-
| style="background-color: silver;"|44 || 12 || style="background-color: silver;"|33 || style="background-color: silver;"|23 || style="background-color: silver;"|19 || 38 || style="background-color: silver;"|6
|-
| style="background-color: silver;"|28 || 26 || style="background-color: silver;"|11 || style="background-color: silver;"|25 || style="background-color: silver;"|39 || 24 || style="background-color: silver;"|22
|-
| style="background-color: silver;"|5 || 37 || style="background-color: silver;"|31 || style="background-color: silver;"|27 || style="background-color: silver;"|17 || 13 || style="background-color: silver;"|45
|-
| style="background-color: silver;"|48 || 9 || 15 || 14 || 32 || 10 || style="background-color: silver;"|47
|-
| style="background-color: silver;"|1 || style="background-color: silver;"|43 || style="background-color: silver;"|34 || style="background-color: silver;"|30 || style="background-color: silver;"|21 || style="background-color: silver;"|42 || style="background-color: silver;"|4
|}

{{Kolumno|valign=bottom|spaco=1em}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:16em;height:16em;table-layout:fixed;"
|-
| 61 || 3 || 2 || 64 || style="background-color: silver;"|57 || style="background-color: silver;"|7 || style="background-color: silver;"|6 || style="background-color: silver;"|60
|-
| 12 || 54 || 55 || 9 || style="background-color: silver;"|16 || style="background-color: silver;"|50 || style="background-color: silver;"|51 || style="background-color: silver;"|13
|-
| 20 || 46 || style="border-left:double; border-top:double;"|47 || style="border-top:double;"|17 || style="background-color: silver; border-top:double;"|24 || style="background-color: silver; border-top:double; border-right:double;"|42 || style="background-color: silver;"|43 || style="background-color: silver;"|21
|-
| 37 || 27 || style="border-left:double;"|26 || 40 || style="background-color: silver;"|33 || style="background-color: silver; border-right:double;"|31 || style="background-color: silver;"|30 || style="background-color: silver;"|36
|-
| style="background-color: silver;"|29 || style="background-color: silver;"|35 || style="background-color: silver; border-left:double;"|34 || style="background-color: silver;"|32 || 25 || style="border-right:double;"|39 || 38 || 28
|-
| style="background-color: silver;"|44 || style="background-color: silver;"|22 || style="background-color: silver; border-left:double; border-bottom:double;"|23 || style="background-color: silver; border-bottom:double;"|41 || style="border-bottom:double;"|48 || style="border-right:double; border-bottom:double;"|18 || 19 || 45
|-
| style="background-color: silver;"|52 || style="background-color: silver;"|14 || style="background-color: silver;"|15 || style="background-color: silver;"|49 || 56 || 10 || 11 || 53
|-
| style="background-color: silver;"|5 || style="background-color: silver;"|59 || style="background-color: silver;"|58 || style="background-color: silver;"|8 || 1 || 63 || 62 || 4
|}

{{Kolumno|valign=bottom|spaco=1em}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:18em;height:18em;table-layout:fixed;"
|-
| style="background-color: silver;"|31 || style="background-color: silver;"|76 || style="background-color: silver;"|13 || 36 || 81 || 18 || style="background-color: silver;"|29 || style="background-color: silver;"|74 || style="background-color: silver;"|11
|-
| style="background-color: silver;"|22 || style="background-color: silver;"|40 || style="background-color: silver;"|58 || 27 || 45 || 63 || style="background-color: silver;"|20 || style="background-color: silver;"|38 || style="background-color: silver;"|56
|-
| style="background-color: silver;"|67 || style="background-color: silver;"|'''4''' || style="background-color: silver;"|49 || 72 || '''9''' || 54 || style="background-color: silver;"|65 || style="background-color: silver;"|'''2''' || style="background-color: silver;"|47
|-
| 30 || 75 || 12 || style="background-color: silver;"|32 || style="background-color: silver;"|77 || style="background-color: silver;"|14 || 34 || 79 || 16
|-
| 21 || 39 || 57 || style="background-color: silver;"|23 || style="background-color: silver;"|41 || style="background-color: silver;"|59 || 25 || 43 || 61
|-
| 66 || '''3''' || 48 || style="background-color: silver;"|68 || style="background-color: silver;"|'''5''' || style="background-color: silver;"|50 || 70 || '''7''' || 52
|-
| style="background-color: silver;"|35 || style="background-color: silver;"|80 || style="background-color: silver;"|17 || 28 || 73 || 10 || style="background-color: silver;"|33 || style="background-color: silver;"|78 || style="background-color: silver;"|15
|-
| style="background-color: silver;"|26 || style="background-color: silver;"|44 || style="background-color: silver;"|62 || 19 || 37 || 55 || style="background-color: silver;"|24 || style="background-color: silver;"|42 || style="background-color: silver;"|60
|-
| style="background-color: silver;"|71 || style="background-color: silver;"|'''8''' || style="background-color: silver;"|53 || 64 || '''1''' || 46 || style="background-color: silver;"|69 || style="background-color: silver;"|'''6''' || style="background-color: silver;"|51
|}
{{Kolumno-fino}}

Supre estas la normaj magiaj kvadratoj el la traktaĵo de Yang Hui, en kiuj oni povas trovi principon de Lo Ŝu. La kvadratoj de ordoj 5 kaj 7 estas borderitaj. En kvadratoj de ordo 8 kelkaj internaj subkvadratoj ankaŭ estas magiaj. La kvadrato de ordo 9 konsistas el 9 subkvadratoj de ordo 3, ankaŭ magiaj. Sed Yang Hui ne donis ĝeneralan metodon por konstruado de magiaj kvadratoj. Post Yang Hui magiaj kvadratoj nemalofte aperis en ĉina matematiko, sed la ĝenerala metodo ne aperis.<ref name="Connor"/>

En Japanio oni ekinteresiĝis pri magiaj kvadratoj en [[17-a jarcento]] post disvastiĝo de verkoj de Yang Hui kaj Cheng Dawei, kaj en Japanio oni esploris magiajn kvadratojn multe pli rapide ol en Ĉinio. Seki Takakazu ({{lang-ja|関 孝和}}) en [[1683]] jam donis algoritmojn por konstrui multajn magiajn kvadratojn de ordoj [[Pareco de nombroj|neparaj]], unuope paraj (<math>n=4\cdot k+2</math>) kaj duoble paraj (<math>n=4\cdot k</math>).<ref>{{citaĵo el libro |titolo=A history of Japanese mathematics|familia nomo=Smith|persona nomo=David Eugene|kunaŭtoroj=Mikami, Yoshio|jaro=1914|eldoninto=Open Court Publishing Company|paĝoj=79–80|url=https://books.google.com/?id=sU1tAAAAMAAJ&dq=Isomura++Kittoku}}</ref>

=== [[Barato]] ===
[[Dosiero:Kuberakolam.jpg|120px|eta|dekstra|<small>La skemo de Kubera-kolam</small>]]
En Barato oni uzis magian kvadraton por ritaj celoj ekde antikvaj tempoj kaj uzas nun. Kiel ekzemplo oni povas rigardi ''Kubera-kolam''-on, la magian kvadraton de ordo <math>3\times 3</math>. Fakte, estas la reflektita laŭ horizontala akso kvadrato Lo Ŝu, al kies nombroj oni aldonis po 19, do la magia konstanto estas 72. Tiun kvadraton oni kutime desegnas sur plankoj, en ĝiaj ĉeloj metas monerojn kaj florojn.

La plej malnova pseŭdo-magia kvadrato de ordo 4 oni trovis en verko de Varahamihira ({{Lang-sa|वराहमिहिर}}), skribita en ĉ. [[587]]. En la verko la kvadrato ne havis iun magian kvaliton, ĝi estis nur helpilo por miksi el 16 ingrediencoj po 4 kaj ricevi diversajn [[parfumo]]jn ĉiam samkvante. Jen tiu kvadrato:<ref name="Hayashi">{{citaĵo el libro|familia nomo=Hayashi|persona nomo=Takao|titolo=Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures|jaro=2008|ĉapitro=Magic Squares in Indian Mathematics|eldono=2|eldoninto= Springer|doi=10.1007/978-1-4020-4425-0_9778|paĝoj=1252–1259|lingvo=en}}</ref><ref name="Datta">{{citaĵo el gazeto |url=https://web.archive.org/web/20180117131236/http://124.108.19.235:12000/jspui/bitstream/123456789/11663/1/Vol27_1_5_BDatta.pdf|titolo=Magic Squares in India |familia nomo=Datta|persona nomo=Bibhutibhusan|aŭtoroligilo= |kunaŭtoroj= Singh, Awadhesh Narayan |gazeto= Indian Journal of History of Science|volumo= 27|numero=1 |paĝoj=51–120 |dato=1992|formato=PDF|doi= |bibkodo= |arxiv= |identigilo= |lingvo=en|citaĵo=}}</ref>

{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:8em;height:8em;table-layout:fixed;"
|-
| 2 || 3 || 5 || 8
|-
| 5 || 8 || 2 || 3
|-
| 4 || 1 || 7 || 6
|-
| 7 || 6 || 4 || 1
|}

La magia konstanto estas 18. La kvadrato estas nek norma, nek magia, en ĝi la nombroj ekde 1 ĝis 8 aperas dufoje. Se la kvadrato estus magia, ĝi estus tut-diagonala aŭ diabla magia kvadrato. Krom tio, la kvadrato de Varahamihira estus plej perfekta magia kvadrato.

El la kvadrato de Varahamihira oni povas ricevi 4 diversajn normajn magiaj kvadratojn. Por tio oni aldonu po 8 al unu nombro el ĉiu paro de samvaloraj nombroj tiel, ke en ĉiu horizontalo, vertikalo kaj ambaŭ ĉefaj diagonaloj estu po 2 kaj nur po 2 aldonoj. Jen estas tiuj kvar kvadratoj:<ref name="Hayashi1">{{citaĵo el gazeto |url=https://core.ac.uk/download/pdf/82500954.pdf |titolo=Magic Squares in India |familia nomo=Hayashi|persona nomo=Takao|aŭtoroligilo= |kunaŭtoroj=|gazeto=Historia Mathematica|volumo= 14|numero= 2|paĝoj=159–166|dato=1987|formato=PDF|doi=10.1016/0315-0860(87)90019-X|bibkodo= |arxiv= |identigilo= |lingvo=en}}</ref>

{{Kolumno-kom|larĝeco=auto|stilo=margin:0.5em auto}}
{{Kolumno|valign=bottom}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:8em;height:8em;table-layout:fixed;"
|-
| 10 || 3 || 13 || 8
|-
| 5 || 16 || 2 || 11
|-
| 4 || 9 || 7 || 14
|-
| 15 || 6 || 12 || 1
|}
{{Kolumno|valign=bottom|spaco=1em}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:8em;height:8em;table-layout:fixed;"
|-
| 2 || 11 || 5 || 16
|-
| 13 || 8 || 10 || 3
|-
| 12 || 1 || 15 || 6
|-
| 7 || 14 || 4 || 9
|}
{{Kolumno|valign=bottom|spaco=1em}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:8em;height:8em;table-layout:fixed;"
|-
| 10 || 3 || 5 || 16
|-
| 13 || 8 || 2 || 11
|-
| 4 || 9 || 15 || 6
|-
| 7 || 14 || 12 || 1
|}
{{Kolumno|valign=bottom|spaco=1em}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:8em;height:8em;table-layout:fixed;"
|-
| 2 || 11 || 13 || 8
|-
| 5 || 16 || 10 || 3
|-
| 12 || 1 || 7 || 14
|-
| 15 || 6 || 4 || 9
|}
{{Kolumno-fino}}

Konstruadon de magiaj kvadratoj de ordo 4 priskribis la barata [[Metalurgio|metalurgisto]] kaj [[Alkemio|alkemiisto]] [[Nagarjuna (metalurgiisto)|Nagarjuna]]<sub>[[:en:Nagarjuna (metallurgist)|(angle)]]</sub> en [[10-a jarcento]]. Unu el donitaj de Nagarjuna magiaj kvadratoj estas nomita je lia honoro. Rimarkinde estas, ke la kvadrato de Nagarjuna ne povas esti konstruita per la metodo, donita de Nagarjuna.<ref name="Datta"/> Jen tiu kvadrato:
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:8em;height:8em;table-layout:fixed;"
|-
| 30 || 16 || 18 || 36
|-
| 10 || 44 || 22 || 24
|-
| 32 || 14 || 20 || 34
|-
| 28 || 26 || 40 || 6
|}
Estas tut-diagonala kvadrato. Ĝia magia konstanto estas 100. La kvadrato konsistas el po 8 membroj el du [[Aritmetika vico|aritmetikaj vicoj]], kies komencaj membroj estas 6 kaj 16 kaj komuna diferenco de najbaraj membroj estas 4.

[[Dosiero:Magic square at the Parshvanatha temple, Khajuraho.png|150px|eta|<small>La magia kvadrato de la templo Parshvanatha, Khaĝuraho, Barato</small>]]
Sur la muro de la [[Ĝajnismo|ĝajnista]] templo ''Parshvanatha'' en [[Khaĝuraho]] troviĝas la fama magia kvadrato de ordo 4, farita en [[11-a jarcento|11-a]] aŭ [[12-a jarcento]]. Jen estas ĝi:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:8em;height:8em;table-layout:fixed;"
|-
| 7 || 12 || 1 ||14
|-
| 2 || 13 || 8 || 11
|-
| 16 || 3 || 10 || 5
|-
| 9 || 6 || 15 || 4
|}
Ĝi estas tut-diagonala kvadrato kaj havas la magian konstanton 34. Pro tiu ĉi kvadrato alia nomo de tut-diagonalaj kvadratoj estas “ĝajnaj kvadratoj”.<ref name="Swaney"/><ref name="Hayashi"/><ref name="Datta"/>

Laŭ nunaj scioj, en Barato la unuan sisteman esploron de magiaj kvadratoj faris {{Ill|lingvo=en|trad=Thakkar Pheru|eo=Thakkar Pheru}} ĉ. [[1315]] en sia verko ''Ganitasara Kaumudi''. La verko enhavas malgrandan parton pri magiaj kvadratoj. Tie li donis kvadraton de ordo 4 kaj rearanĝado de ĝi; klasifikis magiajn kvadratojn en tri grupoj (neparaj, pare paraj kaj nepare paraj) laŭ iliaj ordoj; donis kvadrato de ordo 6; priskribis po unu metodo por konstruado paraj kaj neparaj kvadratoj.

Narayana Pandita ({{lang-bn|নারায়ণ পণ্ডিত)}} en sia verko de [[1356]]) donis ĉiuflankan esploron de magiaj kvadratoj. Laŭ li, la koncepton de magia kvadrato homoj ricevis de [[Ŝivo]].<ref name="Hayashi"/>

=== [[Irano]], [[Arabio]], [[Norda Afriko]], [[Andaluso]] ===
[[Dosiero:16th century arabic magic square.jpg|eta|Magia kvadrato de ordo 6 el manuskripto de [[16-a jarcento]]]]
Kvankam oni nun ne scias pri la frua historio de magiaj kvadratoj en Irano kaj Arabio, tamen supozeblas, ke ili estis sciataj en praislama tempo.<ref>{{citaĵo el libro |titolo=The Enterprise of Science in Islam: New Perspectives |familia nomo=Hogendijk|persona nomo=J. P.|kunaŭtoroj=Sabra A. I.|jaro=2003|eldoninto=MIT Press|paĝoj=xv|lingvo=en|isbn=0-262-19482-1}}</ref> Klaras, tamen, ke la esploro de magiaj kvadratoj estis ofta en mezepokaj Islamaj landoj, eble tio komenciĝis post la disvastigado de [[ŝako]] en la regiono.<ref>{{citaĵo el libro |titolo= Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics|familia nomo=Selin|persona nomo=Helaine|kunaŭtoroj=D'Ambrosio Ubiratan|jaro=2001|eldoninto=Springer|paĝoj=160|lingvo=en|isbn=0-262-19482-1}}</ref><ref name="Sesiano2003">{{citaĵo el gazeto |url=http://doc.rero.ch/record/316928/files/407_2003_Article_71.pdf|titolo= Construction of magic squares using the knight's move in Islamic mathematics |familia nomo=Sesiano|persona nomo=Jacques|aŭtoroligilo= |kunaŭtoroj= |gazeto= Archive for History of Exact Sciences|volumo= 58|numero=1 |paĝoj=1–20 |dato=novembro 2003|formato=PDF|doi= 10.1007/s00407-003-0071-4 | lingvo=en}}</ref><ref name="Sesiano1997">{{citaĵo el libro |titolo= Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures|ĉapitro=Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures |familia nomo=Sesiano|persona nomo=Jacques|jaro=1997|eldoninto=Springer|paĝoj=1259–1260|lingvo=en}}</ref> La unua apero de magia kvadrato de ordo 3 (kiu iel eblas dati) troviĝas en alkemiaj verkoj de [[Jabir ibn Hayyan]] (721—815). Estas sciate, traktaĵoj pri magiaj kvadratoj estis skribitaj en la [[9-a jarcento]], sed la plej fruaj ĝis konserviĝintaj havas datojn el la [[10-a jarcento]]: unu de Abu al-Wafa' Buzjani (ĉ. [[998]]) kaj la alia de Ali b. Ahmad al-Antaki (ĉ. [[987]]).<ref name="Sesiano2003"/><ref name="Sesiano2007">{{citaĵo el libro |titolo= Magic squares in the tenth century: Two Arabic treatises by Antaki and Buzjani| |familia nomo=Sesiano|persona nomo=Jacques|jaro=2007|eldoninto=Springer|paĝoj=|lingvo=en}}</ref> Tiuj fruaj traktaĵoj estis pure matematikaj, kaj magian kvadraton oni nomis harmonia dismetado de nombroj. El la traktaĵoj oni povas vidi, ke jam antaŭe matematikistoj de la pritraktata regiono scipovis krei borderitajn kvadratojn de ajna ordo, simplajn magiajn kvadratojn de malgrandaj ordoj (<math>n\geq 6</math>), kiujn oni uzis por konstruo de kunmetitaj magiaj kvadratoj.<ref name="Sesiano2003"/><ref name="Sesiano2007"/>

Ekzemploj de magiaj kvadratoj de ordoj ekde 3 ĝis 9 troviĝas en ''Enciklopedio de frataro de pureco'' ({{lang-ar|رسائل إخوان الصفا}}) (ĉ. [[983]]). La kvadratojn ekde 3 ĝis 7 el la verko vidu malsupre:<ref name="Cammann1969a">{{citaĵo el gazeto |titolo= Islamic and Indian Magic Squares, Part I |familia nomo=Cammann|persona nomo=Schuyler|gazeto= History of Religions |volumo= 8|numero=3 |paĝoj=181–209 |dato=Februaro 1969|doi= 10.1086/462584 |bibkodo= |arxiv= |identigilo= |lingvo=en}}</ref>

{{Kolumno-kom|larĝeco=auto|stilo=margin:0.5em auto}}
{{Kolumno|valign=bottom}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:6em;height:6em;table-layout:fixed;"
|-
| 2 || 7 || 6
|-
| 9 || 5 || 1
|-
| 4 || 3 || 8
|}

{{Kolumno|valign=bottom|spaco=1em}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:8em;height:8em;table-layout:fixed;"
|-
| 4 || 14 || 15 || 1
|-
| 9 || 7 || 6 || 12
|-
| 5 || 11 || 10 || 8
|-
| 16 || 2 || 3 || 13
|}

{{Kolumno|valign=bottom|spaco=1em}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:10em;height:10em;table-layout:fixed;"
|-
| 21 || 3 || 4 || 12 || 25
|-
| 15 || 17 || 6 || 19 || 8
|-
| 10 || 24 || 13 || 2 || 16
|-
| 18 || 7 || 20 || 9 || 11
|-
| 1 || 14 || 22 || 23 || 5
|}

{{Kolumno|valign=bottom|spaco=1em}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:12em;height:12em;table-layout:fixed;"
|-
| 11 || 22 || 32 || 5 || 23 || 18
|-
| 25 || 16 || 7 || 30 || 13 || 20
|-
| 27 || 6 || 35 || 36 || 4 || 3
|-
| 10 || 31 || 1 || 2 || 33 || 34
|-
| 14 || 19 || 8 || 29 || 26 || 15
|-
| 24 || 17 || 28 || 9 || 12 || 21
|}

{{Kolumno|valign=bottom|spaco=1em}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:14em;height:14em;table-layout:fixed;"
|-
| style="background-color: silver;"|47 || style="background-color: silver;"|11 || style="background-color: silver;"|8 || style="background-color: silver;"|9 || style="background-color: silver;"|6 || style="background-color: silver;"|45 || style="background-color: silver;"|49
|-
| style="background-color: silver;"|4 || 37 || 20 || 17 || 16 || 35 || style="background-color: silver;"|46
|-
| style="background-color: silver;"|2 || 18 || style="background-color: silver;"|26 || style="background-color: silver;"|21 || style="background-color: silver;"|28 || 32 || style="background-color: silver;"|48
|-
| style="background-color: silver;"|43 || 19 || style="background-color: silver;"|27 || style="background-color: silver;"|25 || style="background-color: silver;"|23 || 31 || style="background-color: silver;"|7
|-
| style="background-color: silver;"|38 || 36 || style="background-color: silver;"|22 || style="background-color: silver;"|29 || style="background-color: silver;"|24 || 14 || style="background-color: silver;"|12
|-
| style="background-color: silver;"|40 || 15 || 30 || 33 || 34 || 13 || style="background-color: silver;"|10
|-
| style="background-color: silver;"|1 || style="background-color: silver;"|39 || style="background-color: silver;"|42 || style="background-color: silver;"|41 || style="background-color: silver;"|44 || style="background-color: silver;"|5 || style="background-color: silver;"|3
|}
{{Kolumno-fino}}

En [[11-a jarcento]] oni trovis kelkajn metodojn por konstrui magian kvadraton de neparaj kaj pare paraj (<math>n=4k</math>) ordoj; pli komplikan problemon pri nepare paraj (<math>n=4k+2</math>) ordoj solvis [[Alhazen]] en la dua duono de 11-a jarcento aŭ en la komenco de [[12-a jarcento]]. Pli-malpli samtempe oni konstruadis tut-diagonalajn kvadratojn. Traktaĵoj pri magiaj kvadratoj multis en la 11-a kaj 12-a jarcentoj, plej ofte estas simpligo aŭ perfektigo de jam ekzistantaj metodoj. Komence de [[13-a jarcento]] pli kaj pli ofte oni uzis magiajn kvadratojn por okultaj celoj, kaj plej ofte donis magiajn kvadratojn mem, sed ne metodojn por ilin konstrui.<ref name="Sesiano2003"/> Esceptoj malmultaj ekzistis, ekzemple, [[Egiptio|egiptiano]] [[Ahmad al-Buni]], kiu donis ĝeneralajn metodojn por konstruo de borderitaj magiaj kvadratoj.<ref name="Sesiano1994">{{citaĵo el gazeto | url = https://www.e-periodica.ch/cntmng?pid=bsv-002:1994:83::421| formato=pdf |titolo= Quelques méthodes arabes de construction des carrés magiques impairs |familia nomo=Sesiano|persona nomo=Jacques|gazeto= Bulletin de la Société Vaudoise des Sciences Naturelles |volumo= 83|numero=1 |paĝoj=51–76 |dato= 1994 |doi= 10.5169/seals-280519|lingvo=fr}}</ref>

Plej frue menciis ligon inter 7 magiaj kvadratoj kaj 7 planedoj la andalusano Ibn Zarkali ([[1029]]-[[1087]]).<ref name="Comes2016">{{citaĵo el libro |familia nomo= Comes |persona nomo= Rosa |titolo= Medieval Textual Cultures: Agents of Transmission, Translation and Transformation |serio= Judaism, Christianity, and Islam – Tension, Transmission, Transformation |volumo= 6|dato= |jaro= 2016|monato= |eldoninto= Walter de Gruyter GmbH & Co KG |lingvo= en |isbn=9783110467307 | paĝoj= 159–198 |ĉapitro= The Transmission of Azarquiel's Magic Squares in Latin Europe }}</ref> Poste la tradicio ligi 7 certajn magiajn kvadratojn de ordoj ekde 3 ĝis 9 kaj uzi la kvadratojn en [[Astrologio|astrologiaj]] kalkuloj iĝis vaste konata, sed aperigis tiu ligo, verŝajne, araboj.<ref name="Sesiano2004">{{citaĵo el libro |titolo= Les carrés magiques dans les pays islamiques |familia nomo= Sesiano |persona nomo= Jacques |jaro= 2004 |eldoninto= PPUR presses polytechniques |lingvo= fr}}</ref><ref name="Schimmel1993">{{citaĵo el libro |titolo= The mystery of numbers |familia nomo= Schimmel |persona nomo= Annemarie |jaro= 1993 |eldoninto= Oxford University Press |loko= New York|lingvo=en}}</ref>
{{-}}

=== [[Eŭropo]] ===
[[Dosiero:Sigillum Iovis.jpg|200px|eta|<small>La paĝo el “''Oedipus Aegyptiacus''” [[Athanasius Kircher]], [[1653]]</small>]]
Unuafoje en Eŭropo magiaj kvadratoj aperas en Andaluso, ĉe jam menciita Ibn Zarkali. Laŭ verko de tiu lasta en [[1280-aj jaroj]] estis kompilita ''Libro de Astromagia'',<ref>Nun en la [[Vatikana Biblioteko]] (cod. Reg. Lat. 1283<sup>a</sup>).</ref> atribuata al [[Alfonso la 10-a (Kastilio)|Alfonso la 10-a]].<ref name="Comes2016"/><ref>{{citaĵo el libro |titolo= Alfonso X el Sabio, Astromagia (MS Reg. lat. 1283<sup>a</sup>) |redaktinto=A. D’Agostino |jaro=1992 |eldoninto= |loko= Napolo }}</ref> En la teksto de Alfonso diversordajn magiajn kvadratojn oni ligas kun diversaj planedoj; el ĉiuj konsideritaj kvadratoj en la manuskripto estas prezentita nur la kvadrato de ordo 3, ligita kun Marso.<ref name="Comes2016"/>

Ĉirkaŭ [[1315]] en [[Bizanca Imperio]], laŭ arabaj fontoj, sed sen ties mistikemo, Manuel Moschopoulos ({{lang-grc|Mανουὴλ Μοσχόπουλος}}) verkis matematikan traktaĵon pri magiaj kvadratoj, kie li donis po du metodoj por neparaj kvadratoj kaj por pare paraj. Sed li restis nekonata ekster Bizanca Imperio ĝis la [[17-a jarcento]].<ref>{{citaĵo el la reto| url = https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/the-magic-squares-of-manuel-moschopoulos-introduction| titolo = The Magic Squares of Manuel Moschopoulos| familia nomo = Brown| persona nomo = Peter G.| jaro = 2012| monato = julio| eldoninto = Mathematical Association of America"| lingvo = en| alirdato = 2019-12-05| arkivurl = https://web.archive.org/web/20191205132327/https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/the-magic-squares-of-manuel-moschopoulos-introduction| arkivdato = 2019-12-05}}</ref>

Magiaj kvadratoj denove aperis en Florenco en [[14-a jarcento]]. Kvadratoj <math>6\times 6</math> kaj <math>9\times 9</math> troviĝas en manuskripto ''Trattato d'Abbaco'' de Paolo Dagomari ([[1282]]–[[1374]]). Luca Pacioli (ĉ. [[1447]]–[[1517]]) en sia verko ''De Viribus Quantitatis'' en la fino de [[14-a jarcento]] priskribis magiajn kvadratojn de ordoj ekde <math>3\times 3</math> ĝis <math>9\times 9</math>. Estas interese, ke Paolo Dagomari, same kiel Luca Pacioli post li, rigardis magian kvadraton utilaj por elpensi matematikajn demandojn aŭ ludojn kaj preskaŭ ne menciis pri magia uzado de ili. Paolo Dagomari ja nomis ilin kvadratoj de la Suno kaj de la Luno kaj menciis, ke oni ilin uzas por astrologiaj kalkuloj, sed ne detaligis tion.
{{-}}
[[Dosiero:Albrecht Dürer - Melencolia I (detail).jpg|eta|maldekstra|<small>La detalo de la gravuro Melankolio fare de Alberto Durero. Meze malsupre du nombroj signifas la jaron de la kreado, aliaj malsupraj nombroj signifas la 4-an kaj 1-an literojn en alfabeto, la inicialojn de la aŭtora nomo</small>]]
La planedaj kvadradoj disvastiĝis en norda Evropo en la fino de 15-a jarcento. Ekzemple, en la [[Krakovo|krakova]] manuskripto de [[Picatrix]] estas donitaj magiaj kvadradoj de ordoj ekde 3 ĝis 9. La sama kvadrataro, kvankam forte misformita, poste aperis en ''Archidoxis magica'', atribuita de [[Paracelso]]. En [[1514]] [[Alberto Durero]] eternigis kvadraton de ordo 4 en sia fama gravuro [[Melankolio (gravuro de Durero)|Melankolio]]. [[Agrippa von Nettesheim]], la samtempulo de Paracelso, publikigis sian trivoluman verkon ''De occulta philosophia'' en [[1531]], en ĝi li dediĉis la ĉapitron 22 el la volumo 2 al la planedaj kvadratoj (vidu ilin malsupre). La sama kvadrataro denove aperis en [[1539]] en ''Practica Arithmetice'' de [[Gerolamo Cardano]]. La tradicion de planedaj kvadratoj daŭrigis en [[17-a jarcento]] Athanasius Kircher en ''Oedipi Aegyptici'' ([[1653]]). En [[Germanio]] ankaŭ estis skribitaj matematikaj traktaĵoj fare de Michael Stifel, kiu reinventis borderitajn kvadradojn, kaj de [[Adam Ries]], kiu reinventis la metodon de kontinua numerado por konstruado de ordigitaj neparaj kvadratoj, jam inventitan fare de Agrippa. Sed pro religiaj militoj iliaj verkoj estis nekonataj en la cetera Eŭropo.
{{Kolumno-kom|larĝeco=auto|stilo=margin:0.5em auto}}
{{Kolumno|valign=bottom}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:6em;height:6em;table-layout:fixed;"
|-
|+ [[Saturno (planedo)|Saturno]]=15
|-
| 4 || 9 || 2
|-
| 3 || 5 || 7
|-
| 8 || 1 || 6
|}
{{Kolumno|valign=bottom|spaco=1em}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:8em;height:8em;table-layout:fixed;"
|-
|+ [[Jupitero (planedo)|Jupitero]]=34
|-
| 4 || 14 || 15 || 1
|-
| 9 || 7 || 6 || 12
|-
| 5 || 11 || 10 || 8
|-
| 16 || 2 || 3 || 13
|}
{{Kolumno|valign=bottom|spaco=1em}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:10em;height:10em;table-layout:fixed;"
|-
|+ [[Marso (planedo)|Marso]]=65
|-
| 11 || 24 || 7 || 20 || 3
|-
| 4 || 12 || 25 || 8 || 16
|-
| 17 || 5 || 13 || 21 || 9
|-
| 10 || 18 || 1 || 14 || 22
|-
| 23 || 6 || 19 || 2 || 15
|}
{{Kolumno|valign=bottom|spaco=1em}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:12em;height:12em;table-layout:fixed;"
|-
|+ [[Suno]]=111
|-
| 6 || 32 || 3 || 34 || 35 || 1
|-
| 7 || 11 || 27 || 28 || 8 || 30
|-
| 19 || 14 || 16 || 15 || 23 || 24
|-
| 18 || 20 || 22 || 21 || 17 || 13
|-
| 25 || 29 || 10 || 9 || 26 || 12
|-
| 36 || 5 || 33 || 4 || 2 || 31
|}
{{Kolumno-fino}}
{{Kolumno-kom|larĝeco=auto|stilo=margin:0.5em auto}}
{{Kolumno|valign=bottom}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:14em;height:14em;table-layout:fixed;"
|-
|+ [[Venuso (planedo)|Venuso]]=175
|-
| 22 || 47 || 16 || 41 || 10 || 35 || 4
|-
| 5 || 23 || 48 || 17 || 42 || 11 || 29
|-
| 30 || 6 || 24 || 49 || 18 || 36 || 12
|-
| 13 || 31 || 7 || 25 || 43 || 19 || 37
|-
| 38 || 14 || 32 || 1 || 26 || 44 || 20
|-
| 21 || 39 || 8 || 33 || 2 || 27 || 45
|-
| 46 || 15 || 40 || 9 || 34 || 3 || 28
|}
{{Kolumno|valign=bottom|spaco=1em}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:16em;height:16em;table-layout:fixed;"
|-
|+ [[Merkuro (planedo)|Merkuro]]=260
|-
| 8 || 58 || 59 || 5 || 4 || 62 || 63 || 1
|-
| 49 || 15 || 14 || 52 || 53 || 11 || 10 || 56
|-
| 41 || 23 || 22 || 44 || 45 || 19 || 18 || 48
|-
| 32 || 34 || 35 || 29 || 28 || 38 || 39 || 25
|-
| 40 || 26 || 27 || 37 || 36 || 30 || 31 || 33
|-
| 17 || 47 || 46 || 20 || 21 || 43 || 42 || 24
|-
| 9 || 55 || 54 || 12 || 13 || 51 || 50 || 16
|-
| 64 || 2 || 3 || 61 || 60 || 6 || 7 || 57
|}
{{Kolumno|valign=bottom|spaco=1em}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:18em;height:18em;table-layout:fixed;"
|-
|+ [[Luno]]=369
|-
| 37 || 78 || 29 || 70 || 21 || 62 || 13 || 54 || 5
|-
| 6 || 38 || 79 || 30 || 71 || 22 || 63 || 14 || 46
|-
| 47 || 7 || 39 || 80 || 31 || 72 || 23 || 55 || 15
|-
| 16 || 48 || 8 || 40 || 81 || 32 || 64 || 24 || 56
|-
| 57 || 17 || 49 || 9 || 41 || 73 || 33 || 65 || 25
|-
| 26 || 58 || 18 || 50 || 1 || 42 || 74 || 34 || 66
|-
| 67 || 27 || 59 || 10 || 51 || 2 || 43 || 75 || 35
|-
| 36 || 68 || 19 || 60 || 11 || 52 || 3 || 44 || 76
|-
| 77 || 28 || 69 || 20 || 61 || 12 || 53 || 4 || 45
|}
{{Kolumno-fino}}

En [[1624]] en [[Francio]] Claude-Gaspard Bachet de Méziriac priskribis “diamantan metodon” por konstruado de ordigitaj neparaj kvadratoj de Agrippa en sia libro “''Problèmes Plaisants''”. Ankaŭ estas sciate, ke [[Blaise Pascal]], [[Bernard Frénicle de Bessy]] kaj [[Pierre de Fermat]] scipovis konstrui samcentrajn borderitajn kvadratojn, la plej fruan raporton pri ilia metodo donis [[Antoine Arnauld]] en sia “''Nouveaux éléments de géométrie''” ([[1667]]).<ref>{{citaĵo el libro |titolo= A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip |redaktinto= Chabert Jean-Luc |jaro=1999 |eldoninto= Springer |isbn= 3540633693 |paĝoj=524 }}</ref> En du traktaĵoj “''Des quarrez magiques''” kaj “''Table générale des quarrez magiques de quatre de côté''”, publikigitaj en [[1693]], je 20 jaroj post lia morto, Bernard Frénicle de Bessy demonstris, ke ekzistas ĝuste 880 diversaj magiaj kvadratoj de ordo 4, kaj priskribis metodojn por serĉi magiajn kvadratojn de ajna para ordo. En [[1691]] Simon de la Loubère en sia libro “''Du Royaume de Siam''” priskribis la baratan kontinuan metodon por konstruado de ordigitaj neparaj kvadratoj, kiun li eksciis dum diplomata vojaĝo. La metodo estis pli rapida ol “diamanta metodo”.

[[Dosiero:Palindrom TENET.svg|eta|150px]]

== Literaj kvadratoj ==
Literaj kvadratoj estas kvadrata tabelo de literoj, el kiu formiĝas vortoj. Fama ekzemplo de tiuj estas la [[sator-kvadrato]]. Ankaŭ tiajn kvadratojn el literoj oni ofte nomas magiaj.{{-}}

== Vidu ankaŭ ==
{{Projektoj}}

* [[Sudoko]]
* [[Kontraŭmagia kvadrato]]
* [[Latina kvadrato]]
* [[Magia stelo]]
* [[Magia kubo]]

== Referencoj ==
{{Referencoj|2}}

== Eksteraj ligiloj ==
* http://www.artype.de/quadrate/index.html
* {{retarkivo|2011|http://www.muljadi.org/MagicSquares.htm Rilato al solvoj de la ŝaka ''n''-dama problemo}} <!-- n-(kvinzo, reĝinoj, abelreĝinoj, damoj) problemo kaj _nxn_ magia kvadrato -->
* http://mathworld.wolfram.com/MagicSquare.html <!-- _幻方介绍及其建造方法_ -->
* http://www.roma.unisa.edu.au/07305/magicsq.htm {{Webarchiv|url=https://web.archive.org/web/20060204010923/http://www.roma.unisa.edu.au/07305/magicsq.htm |date=2006-02-04 }}

{{Bibliotekoj}}

[[Kategorio:Magiaj kvadratoj]]