Vidi fonton por Logaritma amplituda kaj faza frekvenca karakterizo

[[Dosiero:Bode High-Pass.PNG|eta|upright=2|Figuro 1(a): La logaritma amplituda kaj faza frekvenca karakterizo por unua-orda (unu-polusa) [[alta-pasa filtrilo]] kaj la rekto-strekaj proksimumadoj; fazo varias de 90° je malaltaj frekvencoj (pro la kontribuo de la numeratoro, kiu estas tie 90°) al 0° je altaj frekvencoj (kie la faza kontribuo de la denominatoro estas -90° kaj neniigas la kontribuon de la numeratoro).]]
[[Dosiero:Bode Low-Pass.PNG|eta|upright=2|Figuro 1(b): La logaritma amplituda kaj faza frekvenca karakterizo por unua-orda (unu-polusa) [[malalta-pasa filtrilo]] kaj la rekto-strekaj proksimumadoj; fazo estas 90° sube de tio en la figuro 1(a) ĉar la faza kontribuo de la numeratoro estas 0° en ĉiuj frekvencoj.]]

'''Logaritma amplituda kaj faza frekvenca karakterizo''' aŭ '''grafikaĵo de Bode''' estas dependeco (kutime prezentita kiel [[grafikaĵo]]), konstruita surbaze de la [[tradona funkcio]] de tempo-invarianta [[lineara sistemo]]. La [[abscisa akso]] estas la [[logaritma akso|logaritma]] [[frekvenco|frekvenca]] akso. La karakterizo estas kombinaĵo de '''logaritma amplitudo-frekvenca karakterizo''' ('''amplituda grafikaĵo de Bode'''), esprimanta la grandecon de la [[amplifo]] depende de la frekvenco, kaj '''fazo-frekvenca karakterizo''' ('''faza grafikaĵo de Bode'''), esprimanta la [[fazo|fazan ŝovon]] depende de la frekvenco.

Ekzemple signalo priskribita per ''A sin(ωt)=A sin(2πft)'' povas esti amplifita kaj ankaŭ faze ŝovita; se la sistemo amplifas ĝin per faktoro ''x'' kaj faze ŝovas per angulo ''Φ'', la signalo el la sistemo estas ''Ax sin(ωt+Φ)''. Ambaŭ la amplifo ''x'' kaj la faza ŝovo ''Φ'' estas ĝenerale funkcioj de la frekvenco ''f''.

La [[ordinata akso]] de la logaritma amplitudo-frekvenca karakterizo estas kutime esprimata kiel [[decibelo]]j de [[povumo]], kio estas 20 fojoj de la [[logaritmo]] kun bazo 10 de la [[amplitudo|amplituda]] amplifo.
Pro tio ke la amplifa akso estas logaritma, multipliko de amplifoj respektivas al adicio de distancoj sur la grafikaĵo (en decibeloj), pro tio ke ''log(ab) = log(a) + log(b)''.

Fazo-frekvenca karakterizo estas dependeco de fazo kontraŭ frekvenco, ankaŭ prezentita sur logaritma frekvenca akso, kutime uzata kune kun la amplitudo-frekvenca karakterizo, por pritaksi kiel signalo estas [[fazo|faze]]-ŝovita. Ankaŭ fazo povas ankaŭ adiciita rekte de la grafikaj valoroj.

En figuro 1(a), la logaritma amplituda kaj faza frekvencaj karakterizoj estas montritaj por la unu-polusa [[alta-pasa filtrilo]] kun tradona funkcio

: <math> {T_{High}}(f) = \frac {j f/ f_1} {1 + j f/f_1} </math>

kie ''f'' estas la frekvenco en Hz, kaj ''f<sub>1</sub>'' estas la polusa pozicio en Hz, ''f<sub>1</sub> = 100'' Hz en la figuro. Uzante la regulojn por [[kompleksa nombro|kompleksaj nombroj]], la grandeco de ĉi tiu funkcio estas

: <math> | {T_{High}}(f) | = \frac { f/f_1 } { \sqrt{ 1 + (f/f_1)^2 }} </math>

kaj la fazo estas:

: <math> \varphi_{T_{High}} = 90^\circ - \tan^{-1} (f/f_1) </math>

Sur la logaritma amplitudo-frekvenca karakterizo, decibeloj estas uzataj, kaj la grafike prezentita grandeco estas:

: <math>20\log_{10} ( |{T_{High}}(f) | ) = 20\log_{10} \left( \frac { f/f_1 } { \sqrt{ 1 + (f/f_1)^2 }} \right) </math>

En figuro 1(b), la logaritma amplituda kaj faza frekvencaj karakterizoj estas montritaj por la unu-polusa [[malalta-pasa filtrilo]] kun tradona funkcio

: <math> T_{Low} (f) = \frac {1} {1 + j f/f_1} </math>

Ankaŭ montritaj en figuroj 1(a) kaj 1(b) estas la rekto-strekaj proksimumadoj al la logaritma amplituda kaj faza frekvencaj karakterizoj, kiuj estadas uzataj en permana analizo, ili estas priskribitaj pli sube.

La logaritma amplituda kaj faza frekvencaj karakterizoj povas malofte esti ŝanĝitaj sendepende unu de la alia. Ŝanĝo de la amplituda respondo de la sistemo plej verŝajne ŝanĝas la fazan karakterizon kaj reen. Por [[minimumo-faza sistemo]] la faza kaj amplituda karakterizoj povas esti ricevitaj unu de la alia per la [[hilberta konverto]].

Se la tradona funkcio estas [[racionala funkcio]] kun reelaj polusoj kaj nuloj, do la logaritma amplituda kaj faza frekvenca karakterizo povas esti proksimumigita kun rektaj strekoj. Ĉi tia asimptota proksimumado estas nomata kiel '''rekto-streka logaritma amplituda kaj faza frekvenca karakterizo''' aŭ '''nekorektita logaritma amplituda kaj faza frekvenca karakterizo''' kaj estas utila ĉar ĝi povas esti desegnita permane sekvante kelkajn simplajn regulojn.

La proksimumado povas esti farita plu pli preciza per ''korektado'' de la valoro je ĉiu fortranĉa frekvenco. La frekvenca karakterizo estas tiam nomata kiel '''korektita logaritma amplituda kaj faza frekvenca karakterizo'''.

== Reguloj por rekto-streka logaritma amplituda kaj faza frekvenca karakterizo ==
La premiso de la konstruado de logaritma amplituda kaj faza frekvenca karakterizo estas tio ke oni povas konsideri la logaritmon de funkcio de formo

: <math> f(x) = A \prod (x + c_n)^{a_n} </math>

kiel sumo de la logaritmoj de ĝia multiplikatoj por apartaj [[poluso (kompleksa analitiko)|polusoj]] kaj [[nulo (kompleksa analitiko)|nuloj]]:

: <math> \log(f(x)) = \log(A) + \sum a_n \log(x + c_n) </math>

Ĉi tiu ideo estas uzata eksplicite en la maniero de desegnado de faza grafikaĵo. La maniero por desegnado de amplituda grafikaĵo implice uzas ĉi tiun ideon, sed pro tio ke la logaritmo de la amplitudo de ĉiu poluso aŭ nulo ĉiam startas je nulo kaj nur havas unu ŝanĝon inter du rektaj asimptotoj, la maniero povas esti plisimpligita.

=== Rekto-streka amplitudo-frekvenca karakterizo ===
Amplitudaj decibeloj estas kutime farataj kiel ''20 log<sub>10</sub>(X)'' de amplituda amplifo ''X''. Estu donita tradona funkcio de la formo

: <math> H(s) = A \frac{\prod(s + x_n)^{a_n}}{\prod(s + y_n)^{b_n}} </math>

kie ''x<sub>n</sub>'' kaj ''y<sub>n</sub>'' estas konstantoj, ''s=jω'', ''ω=2πf'', ''a<sub>n</sub>>0'', ''b<sub>n</sub>>0'', kie ''f'' estas frekvenco kaj ''H'' estas la tradona funkcio. Tiam la reguloj estas jenaj:

* je ĉiu valoro de ''f'' kie ''ω=|x<sub>n</sub>|'' (nulo) estas pligrandiĝo de la inklino de la linio per ''20a<sub>n</sub>'' dB por dekumo;
* je ĉiu valoro de ''f'' kie ''ω=|y<sub>n</sub>|'' (poluso) estas malpligrandiĝo de la inklino de la linio per ''20b<sub>n</sub>'' dB por dekumo;
* La komenca valoro de la grafikaĵo difinatas sur la rando. La komenca punkto estas trovata per meto de la komenca angula frekvenco ''ω'' en la funkcion kaj trovo de ''|H(jω)|'';
* La komenca inklino de la funkcio je la komenca valoro dependas de la kvanto kaj ordo de nuloj kaj polusoj kiuj estas je valoroj pli sube de la komenca valoro, kaj estas trovata uzante la unuajn du regulojn.

Multiplikatoj de la tradona funkcio kiuj estas neredukteblaj (ne [[faktorigo|faktorigeblaj]] en reelaj nombroj) polinomoj de la dua ordo de formo ''as<sup>2</sup>+bs+c'' povas, en multaj okazoj, esti proksimumigitaj kiel <math> (\sqrt{a}s + \sqrt{c})^2 </math>.

=== Korektita rekto-streka amplitudo-frekvenca karakterizo ===
Por korekti rekto-strekan amplitudo-frekvencan karakterizon necesas:

* je ĉiu nulo, meti punkton je ''3a<sub>n</sub>'' dB pli supre de la linio;
* je ĉiu poluso, meti punkton je ''3b<sub>n</sub>'' dB pli sube de la linio;
* desegni glatan kurbon tra ĉi tiuj punktoj uzante la rektojn kiel asimptotoj (linioj al kiuj la kurbo proksimiĝas).

Ĉi tiu korektada maniero ne priskribas kion fari kun neredukteblaj polinomoj. Por ĉiu nereduktebla polinomo, la plej bona maniero korekti la frekvencan karakterizon estas reale kalkuli la grandecon de la tradona funkcio je frekvenco respektiva al la polusoj aŭ nuloj respektivaj al la nereduktebla polinomo, kaj meti la punkton super aŭ sub la linio je ĉi tiu frekvenco.

=== Rekto-streka fazo-frekvenca karakterizo ===
Por donita tradona funkcio en la sama formo kiel pli supre:

: <math> H(s) = A \frac{\prod(s + x_n)^{a_n}}{\prod(s + y_n)^{b_n}} </math>

la ideo estas desegni apartajn frekvencajn karakterizojn por ĉiu poluso kaj nulo, kaj poste adicii ilin kune. La reala faza kurbo estas donita per <math>-\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{Im}(H(s))}{\mathrm{Re}(H(s)])}\right)+k\pi</math> kie ''k'' estas entjero.

Por desegni la fazo-frekvencan karakterizon, por ĉiu poluso kaj nulo:

* je ĉiu ''ω=|x<sub>n</sub>|'' (por stabilaj nuloj, do por ''x<sub>n</sub>>0''), pligrandigi la inklinon per ''45a<sub>n</sub>'' gradoj por dekumo, komencante je unu dekumo antaŭ, do je ''ω=x<sub>n</sub>/10'';
* je ĉiu ''ω=|y<sub>n</sub>|'' (por stabila polusoj, do por ''y<sub>n</sub>>0''), malpligrandigi la inklinon per ''45b<sub>n</sub>'' gradoj por dekumo, komencante je unu dekumo antaŭ, do je ''ω=y<sub>n</sub>/10'';
* malstabilaj (en dekstra duonebeno) polusoj kaj nuloj (''x<sub>n</sub><0'' aŭ ''y<sub>n</sub><0'') havas kontraŭan konduton;
* platigi la inklinon denove kiam la fazo estas ŝanĝita per ''90a<sub>n</sub>'' gradoj (por nulo) aŭ ''90b<sub>n</sub>'' gradoj (por poluso).

Post kiam ĉiuj apartaj fazoj estas desegnitaj, por ricevi la finan fazo-frekvencan karakterizon:

* adicii kune la liniojn por ĉiuj polusoj kaj nuloj;
* se reela parto de tradona funkcio estas negativa je tre malgrandaj frekvencoj, adicii ankoraŭ 180 gradojn ĉie.

Multiplikatoj de la tradona funkcio kiuj estas neredukteblaj (ne [[faktorigo|faktorigeblaj]] en reelaj nombroj) polinomoj de la dua ordo de formo ''as<sup>2</sup>+bs+c'' povas, en multaj okazoj, esti proksimumigitaj kiel <math> (\sqrt{a}s + \sqrt{c})^2 </math>; tamen reale neredukteblaj polinomoj donas pli rapidan ŝanĝon de la fazo ol tiu kiun donas ĉi tiu proksimumigo.

== Ununormigita frekvenca karakterizo ==
La horizontala frekvenca akso, en ambaŭ la amplituda kaj faza frekvencaj karakterizoj, povas esti anstataŭita per la akso de ununormigita (nedimensia) frekvenca rilatumo <math>{\omega \over {\omega_c}}</math>. En ĉi tia okazo la frekvenca karakterizo estas nomata kiel ununormigita kaj unuoj de la frekvencoj estas jam ne uzataj pro tio ke ĉiuj enigaj frekvencoj estas nun esprimitaj kiel obloj de la donita frekvenco (ofte la [[fortranĉa frekvenco]]) ''ω<sub>c</sub>''.

=== Karakterizoj en elementaj eroj ===
{| class="wikitable"
! Ero || Tradona funkcio || Frekvencaj karakterizoj || Parametroj uzataj en la grafikaĵo
|-
| Proporcia (neinercia amplifo) || ''K'' || [[Dosiero:Gain bode.png|eta|upright=1.5]] || ''K = 100''
|-
| Ideala [[integrilo]] || <math>\frac{1}{s}</math> || [[Dosiero:Integ bode.png|eta|upright=1.5]] ||
|-
| Ideala diferencianta || ''s'' || [[Dosiero:Diff bode.png|eta|upright=1.5]] ||
|-
| Neperioda || <math>\frac{1}{Ts+1}</math> || [[Dosiero:Aper bode.png|eta|upright=1.5]] || ''T = 0,01''
|-
| Oscila || <math>\frac{1}{T^2s^2 + 2\xi Ts + 1}</math> || [[Dosiero:Aper 2.png|eta|upright=1.5]] || ''T = 0,01'' <br /> ''ξ = 0,1''
|-
| Nestabila neperioda <br /> (ne minumuma-faza) || <math>\frac{1}{Ts - 1}</math> || [[Dosiero:Unstaper bode.png|eta|upright=1.5]] || ''T = 0,01''
|-
| Plifortiga ŝanĝojn || <math> \ Ts + 1</math> || [[Dosiero:For bode.png|eta|upright=1.5]] || ''T = 0,01''
|-
| Plifortiga ŝanĝojn de dua ordo || <math>\ T^2s^2 + 2\xi Ts+ 1 </math> || [[Dosiero:For2 bode.png|eta|upright=1.5]] || ''T = 0,01'' <br /> ''ξ = 0,1''
|-
| Malfrua || ''e<sup>−Ts</sup>'' || [[Dosiero:Delay bode.png|eta|upright=1.5]] || ''T = 0,0001''
|}

== Ekzemploj ==
Figuroj 2-5 ilustras konstruadon de logaritma amplituda kaj faza frekvencaj karakterizoj. Ĉi tiu ekzemplo estas kun ambaŭ poluso kaj nulo kaj montras kiel ilin komponi. Por komenci, la komponantoj estas prezentitaj aparte.

Figuro 2 montras la logaritman amplitudo-frekvencan karakterizon por nulo kaj malalta-pasa poluso, kaj komparas ilin kun la rekto-strekaj karakterizoj. La rekto-strekaj karakterizoj estas horizontalaj supren ĝis la poluso (nulo) kaj ekde tiam malpligrandiĝas (pligrandiĝas) je 20&nbsp;dB por dekumo. Figuro 3 montras la samon por la fazo. La fazaj frekvencaj karakterizoj estas horizontalaj supren ĝis frekvenca dekoble pli sube de la poluso (nulo) kaj ekde tiam malpligrandiĝas (pligrandiĝas) je 45° por dekumo ĝis la frekvenco kiu estas dekoble pli alta ol la tiu de la poluso (nulo). La fazaj frekvencaj karakterizoj ekde tiam estas denove horizontaliĝas je pli altaj frekvencoj je fina, tuteca faza ŝanĝo de 90°.

Figuro 4 kaj figuro 5 montras kiel komponi (simple adicii) la apartajn frekvencajn karakterizojn de poluso kaj nula. La rekto-strekaj frekvencaj karakterizoj denove estas komparitaj kun la akurata frekvencaj karakterizoj. La nulo estas movita al pli alta frekvenco ol la poluso por fari pli interesan ekzemplon. En figuro 4 la 20&nbsp;dB por dekuma malpligrandiĝo de la poluso estas neniigita per la 20&nbsp;dB por dekuma pligrandiĝo de la nulo rezultanta en horizontala amplitudo-frekvenca karakterizo por frekvencoj pli supre de la nulo. En figuro 5 en la fazo-frekvenca karakterizo la rekto-streka proksimumado bele proksimumigas en la regiono kie ambaŭ poluso kaj nulo influas la fazon. Ankaŭ en figuro 5 la limigo de frekvencoj kie la fazo ŝanĝiĝas en la rekto-streka frekvenca karakterizo estas limigita al frekvenca faktoro de dekoble pli supre kaj pli sube de la poluso (nulo) situo. Kie la fazo de la poluso kaj la nulo ambaŭ influas, la rekto-streka fazo-frekvenca karakterizo estas horizontala ĉar la 45° por dekuma malpligrandiĝo de la poluso estas neniigita per la interkovranta 45° por dekuma pligrandiĝo de la nulo.

{|
| [[Dosiero:Bode Low Pass Magnitude Plot.PNG|eta|maldekstra|upright=1.5|Figuro 2: amplitudo-frekvenca karakterizo por nulo kaj malalta-pasa poluso]]
| [[Dosiero:Bode Pole-Zero Magnitude Plot.PNG|eta|maldekstra|upright=1.5|Figuro 4: amplitudo-frekvenca karakterizo por poluso-nula kombinaĵo; la situo de la nulo estas je dek fojoj pli alta frekvenco ol en figuroj 2 kaj 3]]
|-
| [[Dosiero:Bode Low Pass Phase Plot.PNG|eta|maldekstra|upright=1.5|Figuro 3: fazo-frekvenca karakterizo por nulo kaj malalta-pasa poluso]]
| [[Dosiero:Bode Pole-Zero Phase Plot.PNG|eta|maldekstra|upright=1.5|Figuro 5: fazo-frekvenca karakterizo por poluso-nula kombinaĵo; la situo de la nulo estas je dek fojoj pli alta frekvenco ol en figuroj 2 kaj 3]]
|}

== Amplifa marĝeno kaj faza marĝeno ==
Logaritma amplituda kaj faza frekvencaj karakterizoj estas uzataj por kontroli la [[stabileco de dinamika sistemo|stabilecon]] de sistemo (amplifilo) kun negativa [[retrokuplo]] per trovado de la '''amplifo marĝeno''' kaj '''faza marĝeno'''. La komprenaĵoj de amplifa kaj faza marĝenoj estas bazitaj sur la esprimo por amplifo de amplifilo kun negativa retrokuplo

: <math> A_f = \frac {A_m} {1 + \beta A_m} </math>

kie ''A<sub>f</sub>'' estas la amplifo de la amplifilo kun retrokuplo (la ''fermita-cikla amplifo''), ''β'' estas la ''retrokupla faktoro'' kaj ''A<sub>m</sub>'' estas la amplifo sen retrokuplo (la ''malfermita-cikla amplifo''). La amplifo ''A<sub>m</sub>'' estas kompleksa funkcio de frekvenco, kun ambaŭ grandeco kaj fazo.

Kutime, se frekvenco pligrandiĝas la grandeco de la amplifo malpligrandiĝas kaj la fazo iĝas pli negativan, kvankam ĉi tio estas nur ĝeneralaj tendencoj kaj povas esti inversaj en apartaj frekvencaj limigoj. En okazo de nekutima konduto de amplifo, povas esti ke la konceptoj de amplifa kaj faza marĝenoj estas neaplikeblaj. Tiam aliaj manieroj, kiel ekzemple per la [[grafikaĵo de Nyquist]], devas esti uzataj por kontroli la stabilecon.

La formulo por la amplifo kun retrokuplo montras ke la ebleco de malfinia amplifo (konsiderata kiel nestabla) estas se ''βA<sub>m</sub> = -1''. Ĉi tio estas ke la grandeco de ''βA<sub>m</sub>'' egalas al 1 kaj ĝia fazo estas -180°. Logaritma amplituda kaj faza frekvencaj karakterizoj estas uzataj por difini kiel proksime la amplifilo venas al kontentigo de ĉi tiu kondiĉo.

Por konrolado de la stabileco, logaritma amplituda kaj faza frekvencaj karakterizoj de ''βA<sub>m</sub>'', do de disŝirita retrokulpa ciklo, devas esti konstruitaj.

Gravaj por la kontrolado de la stabileco estas du frekvencoj. La unua, markata ĉi tie kiel ''f<sub>180</sub>'', estas la frekvenco kie la malfermita-cikla amplifo ŝanĝas signon, aŭ alivorte la faza ŝovo trapasas 180 gradojn. La dua, markita ĉi tie kiel ''f<sub>0dB</sub>'', estas la frekvenco kie la grandeco de la amplifo en ciklo estas 1, kio estas ''|βA<sub>m</sub>|=1'' (en decibeloj, grandeco 1 estas 0&nbsp;dB).

Unu mezuro de apudeco al estado nestabla estas la '''amplifa marĝeno'''. Per fazo-frekvenca karakterizo troviĝas la frekvenco ''f<sub>180</sub>'' kie la fazo atingas -180°. Por ĉi tiu frekvenco, de la logaritma amplitudo-frekvenca karakterizo troviĝas la grandeco de ''βA<sub>m</sub>''. Se ''|βA<sub>m</sub>| |<sub>f=f<sub>180</sub></sub> ≥ 1'', la amplifilo estas malstabila. Se ''|βA<sub>m</sub>| |<sub>f=f<sub>180</sub></sub> < 1'', nestableco ne okazas, kaj la apartigo en dB de la grandeco ''|βA<sub>m</sub>| |<sub>f=f<sub>180</sub></sub>'' de 1 estas nomata kiel la amplifa marĝeno. Ĉar grandeco de 1 estas 0 db, la amplifo marĝeno estas ''20 log<sub>10</sub>(|βA<sub>m</sub>| |<sub>f=f<sub>180</sub></sub>)''.

Alia mezuro de apudeco al esti nestabla estas la '''faza marĝeno'''. Per logaritma amplitudo-frekvenca karakterizo troviĝas la frekvenco ''f<sub>0d</sub>'' kie la amplifo atingas 1. Por ĉi tiu frekvenco, de la fazo-frekvenca karakterizo troviĝas la fazo de ''βA<sub>m</sub>''. Se la fazo de ''βA<sub>m</sub>'' je ''f<sub>0d</sub>'' estas malpli granda ol -180°, la amplifilo estas malstabila.
Se la fazo de ''βA<sub>m</sub>'' je ''f<sub>0d</sub>'' estas pli ol granda -180°, nestableco ne okazas, kaj la apartigo de la fazo pli supre de -180° estas nomata kiel la faza marĝeno.

Kiel proksimuma regulo, bona respondo de amplifilo al [[ŝtupa funkcio]] en la enigo postulas fazan marĝenon de almenaŭ 45°, kaj ofte marĝeno de pli ol 70° estas konsiderata, aparte se komponiĝo de variadoj pro fabrikadaj toleremoj estas problemo.

Ĉi tiuj kriterioj estas sufiĉaj al difini stabilecon nur por amplifilo kontentiganta iujn limigojn pri pozicioj de ĝiaj polusoj kaj nuloj ([[minimuma fazo|minimuma faza]] sistemo). Kvankam ĉi tiuj limigoj kutime estas kontentigitaj, se ili ne estas la okazo, aliaj manieroj devas esti uzataj, kiel ekzemple per la [[grafikaĵo de Nyquist]].

=== Ekzemploj de konsidero de stabileco ===
Figuroj 6 kaj 7 ilustras la konduton de amplifo de tri-polusa amplifilo, figuro 6 komparas la logaritmajn amplitudo-frekvencajn karakterizojn por la amplifo sen retrokuplo (la malfermita-cikla amplifo) ''A<sub>m</sub>'' kun la amplifo kun retrokuplo ''A<sub>f</sub>'' (la fermita-cikla amplifo).

En ĉi tiu ekzemplo, ''A<sub>m</sub> = 100'' dB je malaltaj frekvencoj, kaj ''1 / β = 58'' dB. Je malaltaj frekvencoj, ''A<sub>f</sub> ≈ 58'' dB.

La frekvenco ''f<sub>0dB</sub>'' estas difinita per la kondiĉo ''|A<sub>m</sub>| = 1 / β''. La retrokupla amplifo je malaltaj frekvencoj kaj por granda ''A<sub>m</sub>'' estas ''A<sub>f</sub> ≈ 1 / β''.

Proksime de ĉi tiu ''f<sub>0dB</sub>'', la kriterioj estas preskaŭ kontentigitaj en ĉi tiu ekzemplo, kaj la retrokupla amplifilo havas fortan akraĵon en amplifo (ĝi devus esti malfinio se estus ''β |A<sub>m</sub>| = -1''). Preter la frekvenco de unuobla amplifo ''f<sub>0dB</sub>'', la malfermita-cikla amplifo estas sufiĉe malgranda kaj do ''A<sub>f</sub> ≈ A<sub>m</sub>''.

Figuro 7 montras la respektivajn fazajn karakterizojn. La fazo de la retrokupla amplifilo estas preskaŭ nulo antaŭ la frekvenco ''f<sub>180</sub>'' kie la malfermita-cikla amplifo havas fazon -180°. En ĉi tiu apudaĵo, la fazo de la retrokupla amplifilo plonĝas krute suben por iĝi preskaŭ la sama kiel la fazo de la malfermita-cikla amplifilo, ĉar, ''A<sub>f</sub> ≈ A<sub>m</sub>'' por malgranda ''A<sub>m</sub>''.

Komparante la markitajn punktojn en figuro 6 kaj figuro 7, videblas ke la frekvencoj ''f<sub>0dB</sub>'' kaj ''f<sub>180</sub>'' estas preskaŭ egalaj en ĉi tiu amplifilo, ''f<sub>180</sub> ≈ f<sub>0dB</sub> ≈ 3,332'' kHz, kio signifas ke la amplifa marĝeno kaj faza marĝeno estas preskaŭ nulaj. La amplifilo estas apud rando de stabileco.

Figuroj 8 kaj 9 ilustras la amplifan kaj fazan marĝenojn por malsama kvanto de retrokuplo ''β''. La retrokupla faktoro estas elektita pli malgranda ol en figuro 6 aŭ 7, movante la kondiĉon ''|βA<sub>m</sub>| = 1'' al pli suba frekvenco. En ĉi tiu ekzemplo, ''1 / β = 77'' dB, kaj je malaltaj frekvencoj ''A<sub>f</sub> ≈ 77'' dB same bone.

Figuro 8 montras la amplitudo-frekvencan karakterizon. De figuro 8, la intersekco de ''1 / β'' kaj ''A<sub>m</sub>'' okazas je ''f<sub>0dB</sub> = 1'' kHz. La akraĵo de la fermito-cikla amplifo ''A<sub>f</sub>'' proksime de ''f<sub>0dB</sub>'' preskaŭ forestas. (La kritika kvanto de retrokuplo ĉe kiu la akraĵo en la amplifo ĝuste plene malaperas estas la ''maksimume plata'' dizajno kiel en [[filtrilo de Butterworth]].)

Figuro 9 montras la fazo-frekvencan karakterizon. Uzante la valoron ''f<sub>0dB</sub> = 1'' kHz trovitan de figuro 8, la malfermita-cikla fazo je ''f<sub>0dB</sub>'' estas -135°, kaj do estas faza marĝeno 45° pli supre de -180°.

Uzante figuron 9, por fazo -180°, estas la valoro ''f<sub>180</sub> = 3,332'' kHz (la sama rezulto kiel en figuro 7, ĉar ĝi ne dependas de ''β'', ĝi estas propraĵo de la malfermito-cikla amplifo). La malfermita-cikla amplifo de figuro 8 je ''f<sub>180</sub>'' estas 58&nbsp;dB, kaj ''1 / β = 77'' dB, do la amplifa marĝeno estas 19&nbsp;dB.

{|
| [[Dosiero:Magnitude of feedback amplifier.PNG|eta|maldekstra|upright=1.5|Figuro 6: retrokupla amplifo ''&#x7c;A<sub>f</sub>&#x7c;'' en dB kaj respektiva malfermita-cikla amplifo ''&#x7c;A<sub>m</sub>&#x7c;''. Parametro ''1/β = 58'' dB.]]
| [[Dosiero:Gain Margin.PNG|eta|maldekstra|upright=1.5|Figuro 8: retrokupla amplifo ''&#x7c;A<sub>f</sub>&#x7c;'' en dB kaj respektiva malfermita-cikla amplifo ''&#x7c;A<sub>m</sub>&#x7c;''. Parametro ''1/β = 77'' dB.]]
|-
| [[Dosiero:Phase of feedback amplifier.PNG|eta|maldekstra|upright=1.5|Figuro 7: fazo de retrokupla amplifo ''A<sub>f</sub>'' en gradoj kaj respektiva fazo de malfermita-cikla amplifo ''A<sub>m</sub>''. Parametro ''1/β = 58'' dB.]]
| [[Dosiero:Phase Margin.PNG|eta|maldekstra|upright=1.5|Figuro 9: fazo de retrokupla amplifo ''A<sub>f</sub>'' en gradoj kaj respektiva fazo de malfermita-cikla amplifo ''A<sub>m</sub>''. Parametro ''1/β = 77'' dB.]]
|}

== Desegnilo de frekvencaj karakterizoj ==
[[Dosiero:Bodeplot.png|eta|upright=2|Figuro 10: amplitudo-frekvenca karakterizo de 10-a orda [[filtrilo de Ĉebiŝev]] grafike prezentita per desegnilo de frekvencaj karakterizoj. La tradona funkcio estas difinita per polusoj kaj nuloj kiuj estas aldonitaj per klakado sur grafika diagramo.]]

La '''desegnilo de frekvencaj karakterizoj''' aŭ '''desegnilo de Bode''' estas elektronika instrumento simila al [[oscilografo]], kiu produktas diagramon de frekvencaj karakterizoj, aŭ grafikaĵon de cirkvita elektra tensia amplifo aŭ faza ŝovo grafike prezentata kontraŭ [[frekvenco]] en [[retrokuplo|retrokupla]] rega sistemo aŭ filtrilo. Ekzemplo de ĉi tio estas montrita en figuro 10. Ĝi estas ege utila por analizado kaj testado de filtriloj kaj de la stabileco de retrokuplaj regaj sistemoj, per la mezurado de fortranĉaj frekvencoj kaj amplifaj kaj fazaj marĝenoj.

Ĉi tio estas identa al la funkcio plenumata per vektora [[reta analizilo (elektra)|reta analizilo]], sed la reta analizilo estas tipe uzata je multe pli altaj frekvencoj.

== Rilatantaj grafikaĵoj ==
[[Dosiero:Nyquist plot.svg|eta|[[Grafikaĵo de Nyquist]]]]
[[Dosiero:Nichols plot.svg|eta|[[Grafikaĵo de Nichols]] de la sama respondo]]

Du rilatantaj grafikaĵoj, kiuj montras la samajn datumojn en malsamaj [[koordinatsistemo]]j estas la [[grafikaĵo de Nyquist]] kaj la [[grafikaĵo de Nichols]]. Ĉi tiuj estas [[parametra grafikaĵo|parametraj grafikaĵoj]], kun frekvenco kiel la enigo. La grandeco de amplifo kaj faza ŝovo estas la eligoj. La grafikaĵo de Nyquist montras ĉi tiujn en [[polusaj koordinatoj]], kun grandeca kiel la radiuso kaj fazo kiel la angulo. La grafikaĵo de Nichols montras ĉi tiujn en ortangulaj koordinatoj en la logaritma skalo.

== Historio ==
Inter liaj kelkaj gravaj kontribuoj al cirkvita teorio kaj [[rega teorio]], inĝeniero Hendrik Wade Bode ([[1905]]-[[1982]]), laborante en Bell Labs en Usono en la 1930-aj jaroj, ellaboris ĉi tiun manieron por grafikigi amplifon kaj fazan ŝovon.

== Vidu ankaŭ ==
{{Projektoj}}

* [[Tradona funkcio]]
* [[Grafikaĵo de Nyquist]]
* [[Grafikaĵo de Nichols]]
* [[Retrokuplo]]
* [[Amplifo]]
* [[Fazo]]
* [[Frekvenco]]

== Eksteraj ligiloj ==
* [http://jegyzet.sth.sze.hu/ftp/!BSc/Szabalyozastechnika/BodePl.pdf Detala ekspliko de logaritma amplituda kaj faza frekvencaj karakterizoj]{{404|date=August 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
* [http://www.facstaff.bucknell.edu/mastascu/eControlHTML/Freq/Freq5.html Ekspliko de logaritma amplituda kaj faza frekvencaj karakterizoj kun filmoj kaj ekzemploj] {{Webarchiv|url=https://web.archive.org/web/20050423185018/http://www.facstaff.bucknell.edu/mastascu/eControlHTML/Freq/Freq5.html |date=2005-04-23 }}
* [http://www.swarthmore.edu/NatSci/echeeve1/Ref/LPSA/Bode/BodeHow.html Kiel desegni popecajn asimptotajn frekvencajn karakterizojn]
* [http://lims.mech.northwestern.edu/~lynch/courses/ME391/2003/bodesketching.pdf Reguloj de desegnado] {{Webarchiv|url=https://web.archive.org/web/20070222090552/http://lims.mech.northwestern.edu/~lynch/courses/ME391/2003/bodesketching.pdf |date=2007-02-22 }}
* [http://www.uwm.edu/People/msw/BodePlot/ Grafika apleto] - Akceptas koeficientoj de tradona funkcio kiel enigoj, kaj kalkulas grandecon de amplifo kaj fazan respondon
* [http://www.abc.chemistry.bsu.by/vi/fit.htm Cirkvita analizo en elektrokemio] {{Webarchiv|url=https://web.archive.org/web/20120721223457/http://www.abc.chemistry.bsu.by/vi/fit.htm |date=2012-07-21 }}
* [http://www.en-genius.net/includes/files/acqt_013105.pdf Operacia amplifila stabileco] {{Webarchiv|url=https://web.archive.org/web/20120213111922/http://www.en-genius.net/includes/files/acqt_013105.pdf |date=2012-02-13 }} inkluzivas iun enkondukon en frekvencajn karakterizojn

[[Kategorio:Signal-prilaborado]]
[[Kategorio:Rega teorio]]
[[Kategorio:Elektronikaj amplifiloj]]