Vidi fonton por Kvaredro

{{Pluredro
|Schl2 = 
|hi = 2
|vbildo = Tetrahedron vertfig.svg
|bildo2 = Tetrahedron.svg
|duala_bildo = Tetrahedron.png
|retbildo = Tetrahedron flat.svg
|duedra_angulo = arccos(1/3) ~= 70,528779°
|grupo = [[Kvaredra simetrio|T<sub>d</sub>]]
|Schl = {3,3}
|duala = Mem-duala
|Wythoff = 3 &#124; 2 3
|bildo3 = Tetrahedron.gif
|vfiguro = 3.3.3
|edroj_detale = 4{3}
|CD = [[Dosiero:CDW ring.png|(o)]][[Dosiero:CDW 3.png|3]][[Dosiero:CDW dot.png|o]][[Dosiero:CDW 3.png|3]][[Dosiero:CDW dot.png|o]]
|bildo = Tetrahedron.png
|W = 1
|speco1 = 3-[[simplaĵo (geometrio)|simplaĵo]]
|U = 01
|verticoj = 4
|B = Tet
|C = 15
|lateroj = 6
|edroj = 4
|K = 06
|nomo = Kvaredro
|nomo1 = Triangula piramido
|speco = [[Trianguledra pluredro]]
}}
'''Kvaredro''' estas [[pluredro]] komponita el 4 [[triangulo|triangulaj]] edroj. Tri edroj kuniĝas je ĉiu [[vertico (geometrio)|vertico]]. '''Regula kvaredro''' estas kvaredro ĉe kiu la trianguloj estas regulaj. Regula kvaredro estas [[regula pluredro]], unu el la [[platona solido|platonaj solidoj]].

Ekzistas nur unu speco de ne[[degenera]] kvaredro, kiu estas triangula [[piramido]], alivorte ĉi ĉiuj kvaredroj estas [[topologio|topologie]] la samaj.
Tamen degenera kvaredro povas esti topologie malsama, ekzemple ĝi povas esti subspeco de [[duvertica pluredro]] kun 4 edroj.

== Surfaca areo kaj volumeno ==
La surfaca areo ''A'' kaj la volumeno ''V'' de regula kvaredro de randa longo ''a'' estas

:<math>A=a^2\sqrt{3},</math>
:<math>V=\begin{matrix}{1\over12}\end{matrix}a^3\sqrt{2}.</math>

La alto estas <math>\scriptstyle{h=\sqrt{6}(a/3)} </math>.

La angulo inter latero kaj edro estas arctan (2<sup>1/2</sup>) (proksimume 55°), angulo inter du edroj estas arccos(1/3) = arctan(2<sup>3/2</sup>) (proksimume 71°). La angulo de la centro al ĉiu du verticoj estas arccos(-1/3) (proksimume 109,47°).

Ĉar kvaredro estas triangula piramido ĝia volumeno estas <math>\scriptstyle{V = \frac{1}{3} Ah}</math> kie ''A'' estas la areo de la bazo kaj ''h'' la alto de la bazo al la supro. Ĉi tio aplikas (kaj donas la saman rezulton) por ĉiu el la kvar elektoj de la bazo, do la distancoj de la verticoj al la kontraŭaj edroj estas inverse proporciaj kun la areoj de ĉi tiuj edroj.

Ankaŭ, por kvaredro ''ABCT'' la volumeno estas

: <math>V = \frac {AT \cdot BT \cdot CT}{6} </math>
<math>\cdot \sqrt {1 + 2 \cdot \cos a \cdot \cos b \cdot \cos c - \cos^2 a - \cos^2 b - \cos^2 c}</math>

kie ''a'' estas angulo ''ATB'', ''b'' estas angulo ''BTC'', kaj ''c'' estas angulo ''CTA''.

(Ĉiu, Iu) du kontraŭaj randoj de kvaredro (mensogi, kuŝi) sur du [[deklivaj linioj]]. Se la plej proksima paro de punktoj inter ĉi tiuj du linioj estas punktoj en la randoj, ili difini la distanco inter la randoj; alie, la distanco inter la randoj egalaj (tiu, ke, kiu) inter unu el la (finpunktoj, finaj punktoj) kaj la kontraŭa rando.

La volumeno de kvaredro, kun verticoj '''a''', '''b''', '''c''' kaj '''d''', estas
: V = (1/6)·|[[Determinanto|det]]('''a'''−'''b''', '''b'''−'''c''', '''c'''−'''d''')|
aŭ
: <math>V = \frac { |(\mathbf{d}-\mathbf{a}) \cdot ((\mathbf{d}-\mathbf{b}) \times (\mathbf{d}-\mathbf{c}))| } {6}.</math> (<ref>[http://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html]</ref>)

Ankaŭ, se d<sub>ij</sub> estas distancoj inter di verticoj de kvaredro, ĝia volumeno estas:

: <math>288 \cdot V^2 =
\begin{vmatrix}
 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
 1 & 0 & d_{12}^2 & d_{13}^2 & d_{14}^2 \\
 1 & d_{21}^2 & 0 & d_{23}^2 & d_{24}^2 \\
 1 & d_{31}^2 & d_{32}^2 & 0 & d_{34}^2 \\
 1 & d_{41}^2 & d_{42}^2 & d_{43}^2 & 0
\end{vmatrix}
</math>

Se la determinanta valoro estas negativa do ne eblas konstrui kvaredron kun la donita distancoj inter la verticoj.

== Geometriaj rilatoj ==
Kvaredro estas 3-[[simplaĵo (geometrio)|simplaĵo]]. Malsimile al la aliaj platonaj solidoj, ĉiuj verticoj de regula kvaredro estas samdistancaj de unu la alia (ili estas en la sola ebla ordigo de kvar samdistancaj punktoj).

Kvaredro estas mem-[[duala pluredro]].

Regula kvaredro povas esti enigita en [[kubo (geometrio)|kubon]] je du manieroj tiel ke ĉiu vertico estas vertico de la kubo, kaj ĉiu latero estas diagonalo de unu el la kubaj edroj. Por unu tia enigo, la karteziaj koordinatoj de la verticoj estas
: (+1, +1, +1);
: (-1, -1, +1);
: (-1, +1, -1);
: (+1, -1, -1).
Por la alia kvaredro (kiu estas [[duala pluredro|duala]] al la unua), ĉiuj signoj estas la malaj.

La kvaredro estas unika inter la [[unuforma pluredro|unuformaj pluredroj]] en ne havo de paralelaj edroj.

[[Dosiero:Tetrahedron.gif|maldekstra|220px]]

{{-}}
<gallery>
Dosiero:Truncatedtetrahedron.jpg|[[Senpintigita kvaredro]]
Dosiero:Stella octangula.png|[[stelokangulopluredro|Du kvaredroj en kubo]]
Dosiero:Compound of five tetrahedra.png|[[Kombinaĵo de kvin kvaredroj]]
Dosiero:Compound of ten tetrahedra.png|[[Kombinaĵo de dek kvaredroj]]
</gallery>

== Uzoj ==
[[Dosiero:Ammonium-3D-balls.png|eta|La [[amonio|amonia]] molekulo estas kvaredra]]
* La kvaredra formo estas estadas en naturo en molekuloj. Ekzemple en [[metano|metana]] molekulo CH<sub>4</sub> la kvar hidrogenaj atomoj kuŝas en verticoj de kvaredro kaj la karbona atomo estas en la centro.

== Vidu ankaŭ ==
* [[Kvinĉelo]] - [[4-dimensia]] analogo de kvaredro
* [[Simplaĵo (geometrio)]] - ''n''-dimensia analogo de kvaredro
* [[Unuforma pluredra kombinaĵo|Unuformaj pluredraj kombinaĵoj]] de kvaredroj
** [[Kombinaĵo de 6 kvaredroj kun turna libereco]]
** [[Kombinaĵo de 12 kvaredroj kun turna libereco]]
** [[Kombinaĵo de 6 kvaredroj]]
** [[Kombinaĵo de 2 kvaredroj]]
** [[Kombinaĵo de 5 kvaredroj]]
** [[Kombinaĵo de 10 kvaredroj]]
** [[Prisma kombinaĵo de kontraŭprismoj kun turna libereco]] de ''p/q''-lateraj [[prisma unuforma pluredro|kontraŭprismoj]] konsistas el kvaredroj se ''p=2, q=1''
** [[Prisma kombinaĵo de kontraŭprismoj]] de ''p/q''-lateraj [[prisma unuforma pluredro|kontraŭprismoj]] konsistas el kvaredroj se ''p=2, q=1''
* [[Leĝo de kosinusoj]] ankaŭ por kvaredro
* [[Leĝo de sinusoj]] ankaŭ por kvaredro
* [[Kvaredra nombro]]

{{Triangulaj figuroj}}
{{Pluredroj laŭ kvanto de edroj}}

== Referencoj ==
{{Referencoj}}

== Eksteraj ligiloj ==
{{Projektoj|commonscat=Tetrahedron}}
* {{MathWorld | URL = Tetrahedron | titolo = Kvaredro}}
* [http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ La unuformaj pluredroj]
* [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtualaj realaj pluredroj]
* [http://www.korthalsaltes.com/ Paperaj modeloj de pluredroj]
* [http://mathforum.org/pcmi/hstp/resources/dodeca/paper.html ''Miriga kvaredro'']
* [http://www.nyu.edu/its/pubs/connect/spring04/kyriannis_nyunet3.html kvaredra kerna reto] Apliko de kvaredra strukturo por datuma reto
{{Ĝermo}}

[[Kategorio:Platonaj solidoj]]
[[Kategorio:Piramidoj kaj dupiramidoj]]