Vidi fonton por Koordinatsistemo

[[Dosiero:3D Spherical.svg|eta|300px|dekstre|La sfereca koordinatsistemo estas ofte uzata en ''fiziko''. Ĝi atribuas tri nombrojn (konatajn kiel koordinatoj) al ĉiu punkto en la [[Eŭklida spaco]]: radiala distanco ''r'', polusa angulo ''θ'' ([[teto]]), kaj azimuta angulo ''φ'' ([[Fio (litero)|fio]]). La simbolo ''ρ'' ([[Roto (litero)|roto]]) estas ofte uzata anstataŭ ''r''.]]
Ĝenerale '''koordinatsistemo''' estas [[maniero]] bildigi spacon el opoj de [[nombro]]j. Tio eblas laŭ diversaj manieroj.

La sistemo longituda-latituda uzata en [[geografio]] estas sistemo de [[sfero|sferaj]] koordinatoj; pliigante ĝin je tria koordinato, la alteco, oni povas per [[poluso|polusaj]] koordinatoj priskribi la situon de ĉiu [[Punkto (matematiko)|punkto]] en nia [[universo]] (ignorante ties kurbecon).

Alia speco estas karteziaj koordinatoj, kiuj baziĝas sur sistemo de [[akso]]j reciproke [[orta]]j kaj sin sekcantaj en unu punkto, la [[origino]].

En [[matematiko]] la [[nocio]] koordinatsistemo estas bazo de la lineara [[algebro]] kaj ties nocio de [[vektoro|vektora]] [[spaco]].

En [[astronomio]] per koordinatsistemoj oni priskribas la poziciojn de astronomiaj objektoj.

En [[geometrio]], koordinatsistemo estas sistemo kiu uzas unu aŭ pluraj nombrojn, aŭ kunlaboras, por unike determini la pozicion de punkto aŭ alian geometrian elementon sur dukto kiel ekzemple eŭklida spaco. La ordo de la koordinatoj estas signifa, kaj ili foje estas identigitaj per sia pozicio en ordigita Opo kaj foje per [[litero]], kiel en "la ikso-koordinato ". La koordinatoj estas prenitaj por esti realaj nombroj en rudimenta matematiko, sed povas esti kompleksaj nombroj aŭ elementoj de pli abstrakta sistemo kiel ekzemple [[komuta ringo]]. La uzo de koordinatsistemo permesas, ke problemoj en geometrio estu tradukitaj en problemoj pri [[nombro]]j kaj inverse; tio estas la bazo de analitika geometrio.

Oni uzas sistemojn el sferaj koordinatoj. Ili baziĝas je difino de [[akso]], kiu fiksas la [[poluso]]jn, kaj ''nulpunkto'' en la baza ebeno (ekvatora ebeno) de la koordinatsistemo. Sferaj koordinatoj konsistas el du angulkoordinatoj por direkto, [[longitudo]] (angula distanco de la nulpunkto laŭ la ekvatoro) kaj [[latitudo]] (alteco super la ekvatoro) plus radiusa koordinato. Ĉi lastan oni kutime ne indikas, ĉar ĝi ne gravas por la retrovo de la astronomia objekto.

Uzataj estas tri absolutaj koordinatsistemoj por determini astronomian pozicion: [[ekvatora koordinatsistemo]], [[ekliptika koordinatsistemo]] kaj [[galaksia koordinatsistemo]].

== Difinoj ==
=== En geometrio ===
[[Dosiero:3D coordinate system.svg|eta|dekstre|300px|Tridimensia Kartezia koordinatsistemo.]]
En [[geometrio]], koordinatoj estas nombraj valoroj, kiuj determinas la pozicion de punkto sur ebeno aŭ en spaco. En [[Eŭklida geometrio|eŭklida ebeno]], la pozicio de punkto povas esti determinita per la distancoj al du rektoj (koordinataj aksoj), kiuj intersekcas unu la alian ĉe punkto (deveno) orte; unu el la koordinatoj nomiĝas ''ordinato'' kaj la alia ''absciso''. En tridimensia eŭklida spaco laŭ la [[Kartezia koordinato|sistemo de Kartezio]], la pozicio de punkto estas determinita se la distancoj al tri koordinataj ebenoj kiuj intersekcas je punkto orte anguloj unu al la alia estas precizigitaj. Tamen, ĉi tiuj manieroj por precizigi punkton ne estas la nuraj eblaj, [[Polusa koordinatsistemo|polusaj koordinatoj]] en la ebeno aŭ sferaj koordinatoj (kie la origino estas en la centro de serio de sferoj) aŭ cilindraj koordinatoj en spaco estas aliaj manieroj kiuj postulas precizigi malpli da distancoj kaj pli da orientiĝaj anguloj.

En [[geografio]], koordinatoj estas elektitaj kiel proksimume sfera koordinatsistemo: [[latitudo]], [[longitudo]], kaj [[altitudo]] super konata ĝenerala nivelo (kiel ekzemple tiu de la [[oceano]]). Latitudo mezuras la nord-sudan lokon de punkto relative al la [[ekvatoro]], dum longitudo mezuras ĝian orient-okcidentan lokon rilate al la [[Meridiano de Greenwich]], kaj altitudo reprezentas la altecon de punkto super referenca nivelo, kiel ekzemple [[marnivelo]]. Ĉi tiu koordinatsistemo estas esenca por preciza lokigo sur la Tera surfaco kaj estas uzata en [[kartografio]], [[navigado]], [[geodezio]], [[topografio]] kaj en teknologioj GNSS (''Global Navigation Satellite System''), disponigante solidan bazon por geospaca reprezentado kaj preciza geolokigo de lokoj tra la tuta mondo.

La plej ofte uzata koordinatsistemo estas la ortangula koordinatsistemo, ankaŭ konata kiel la [[kartezia koordinatsistemo]]. Tiaj sistemoj povas funkcii kiel ununura koordinatsistemo por tuta eŭklida spaco kaj la punktoj kaj objektoj situantaj ene de ĝi. Por atingi tion, necesas la nocio de ''koordinata origino''.

Koordinatoj en la ebeno kaj en spaco povas esti difinitaj en senlima nombro da malsamaj manieroj. La rezolucio de multaj matematikaj aŭ fizikaj problemoj implikas elekti la specifan koordinatsistemon en kiu la problemo estas solvita pli facile aŭ pli oportune en ĉiu aparta okazo.

=== En fiziko kaj astronomio ===
[[Dosiero:equatorial_coordinates.svg|lang=eo|eta|maldekstre|280ra|Prezento de deklinacio δ kaj de rektascensio α sur sferosurfaco]]
En astronomio, ĉielaj koordinatoj estas ordigita paro de angulaj kvantoj (ekzemple, [[Rektascensio|rekta supreniro]] kaj [[Deklinacio (astronomio)|deklinacio]]), per kiuj la pozicio de diversaj lumpunktoj kaj helpopunktoj sur la ĉiela sfero estas determinita. En la praktiko, oni uzas plurajn ĉielajn koordinatsistemojn. Ĉiu el ili estas esence sfera koordinatsistemo (neniuj radiusaj koordinatoj) kun taŭge elektitaj fundamenta ebeno kaj origino. Depende de la elekto de la fundamenta ebeno, la ĉiela koordinatsistemo nomiĝas horizontala (horizonta ebeno), ekvatora (ekvatora ebeno), ekliptiko (ebeno de la [[ekliptiko]]) aŭ galaksia (galaksia ebeno). La koncepto de koordinatsistemoj validas por geometriaj spacoj pli kompleksaj ol eŭklida spaco, tial formala difino de koordinatsistemo kiu precizigas la pozicion de punktoj estas postulata. Notu ke, ekzemple, laŭ moderna kosmologio la formo de spaco-tempo estas kurba spaco, do en la universo ne ĉiam eblus uzi karteziajn koordinatojn.

=== Formala difino ===
Surbaze de geometria aŭ topologia spaco <math>\mathcal{E}</math> kiu havas diferencigeblan multoblan strukturon de dimensio ''n'', koordinatsistemo estas [[difeomorfio]]: <math>\phi:\mathcal{E} \to A\subset\R^n</math>, kie <math>A = \phi[\mathcal{E}]</math> estas [[malfermita aro]] en la n-dimensia eŭklida spaco. Tio estas, por ĉiu punkto <math>P\in \mathcal{E}</math> oni havas la koordinatojn <math>\phi(P) = (x_1, \dots, x_n)</math>, la aro de ĉiuj ĉi tiuj n-[[opo]] por la spaco <math>\mathcal{E}</math> difinas lokan koordinatsistemon.

== Oftaj koordinatsistemoj ==
=== Linia koordinatsistemo ===
{{Ĉefartikolo|Nombra akso}}
Ĝi estas la aro de [[Reela nombro|reelaj nombroj]] grafike reprezentitaj per [[linio]], en kiu troviĝas ĉiuj naturaj nombroj, entjeroj, frakcioj, decimaloj ktp.<ref name="raeCient"> Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales, eld. (1999). ''Diccionario esencial de las ciencias''. Espasa. ISBN 84-239-7921-0. }</ref> 

Ĉiu punkto sur la [[rekto|linio]] reprezentas realan nombron, ĉu per unu-al-unu korespondado aŭ per [[Dissurĵeto|bijekcia apliko]], uzata por reprezenti [[nombro]]jn kiel speciale markitaj punktoj, kiel [[entjero]]j tra linio nomita ''linio gradigita laŭ entjeroj''<ref name="raeCient"/> de punktoj aranĝitaj kaj apartigitaj unu de la alia je la sama distanco. La punkto kiu reprezentas [[nulo]]n (<math>0</math>) estas la ĉefa referencpunkto de la koordinatsistemo, nomita la ''originpunkto''.

Konsiderante ke ĉiu el la punktoj sur la linio grafike reprezentas reelan nombron, dekstre de la originpunkto <math>O</math> estas ĉiuj pozitivaj reelaj nombroj kaj maldekstre estas ĉiuj negativaj reelaj nombroj.<ref>{{cite book |last1=Stewart |first1=James B. |last2= Redlin |first2= Lothar |last3=Watson |first3=Saleem |author-link=|title=College Algebra |publisher= Brooks Cole |year=2008 |edition= 5th |pages=13–19 |isbn=978-0-495-56521-5}}</ref>

Por reprezenti nombron sur la reela linio oni uzas majusklojn kaj ties respondajn koordinatojn, ekzemple la punktoj '''A(5), B(3), C(-3), D(-5)''', ktp.
[[Dosiero:Number-line.svg|center|[[Nombra akso|Nombra linio]].]]

=== Kartezia koordinatsistemo ===
{{Ĉefartikolo|Kartezia koordinatsistemo}}
[[Dosiero:Descartes system 2D.svg|eta|dekstre|300px|2-dimensia sistemo de karteziaj koordinatoj.<br /> Abscisa akso estas '''X'OX'''.<br />Ordinata akso estas '''Y'OY'''.<br />Koordinatoj de punkto '''A''' estas valoroj ''b'' - absciso kaj ''a'' - ordinato ili ambaŭ estas pozitivaj ĉi tie.<br />'''I''', '''II''', '''III''', '''IV''' estas signoj de kvaronoj de la koordinata ebeno.]]
[[Dosiero:Descartes system_3D.png|eta|dekstre|300px|3-dimensia sistemo de karteziaj koordinatoj.<br />Koordinatoj de punkto '''A''' estas valoroj ''a'', ''b'', ''c'' - '''X''', '''Y''', '''Z''' koordinatoj respektive.]]
'''Kartezia koordinatsistemo''' en [[ebeno (matematiko)|ebeno]] estas koordinatsistemo, kiu precizigas ĉiun [[punkto (matematiko)|punkton]] unike per paro da nombraj [[koordinato]]j, kiuj estas la signitaj distancoj al la punkto de du fiksaj perpendikularaj orientitaj linioj, mezuritaj en la sama longo[[unuo]].<ref> Anton, Howard; Bivens, Irl C.; Davis, Stephen (2021). [https://books.google.es/books?id=001EEAAAQBAJ&pg=PA657&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false ''Calculus: Multivariable''.] John Wiley & Sons. p. 657. ISBN 978-1-119-77798-4. </ref>

Sur la [[rekto]] kun du diversaj [[punkto (matematiko)|punktoj]] '''A''' kaj '''B''', ni povas elekti du direktojn: de A al B, aŭ de B al A. Ni nomu, ekzemple la direkton de A al B, la ''pozitiva direkto''. Oni povas establi unu-al-unuan konformecon inter [[reela nombro|reelaj nombroj]] kaj la [[Aro (matematiko)|aro]] de la punktoj de donita rekto. Ni konformu al '''0''' ian punkton sur la rekto kaj nomi ĝin ''originpunkto''. Ni akceptu ian detranĉon de la rekto kiel unuo de la [[longo]]. Al ĉiu reela nombro ni konformu la koncernan punkton, kiu distancas de originpunkto per '''a''' distanco: al pozitiva direkto por "+a" nombro kaj al negativa direkto por "-a" nombro. La konstruita rekto estas la nombra rekto aŭ '''koordinata akso'''.
* '''Koordinato''' estas [[nombro]], kiu konformas al la konkreta punkto de la [[akso]].
* Aro de ĉiu punkto, kiu kontentigas la malegalecon '''a &le; x &le; b''', estas nomita '''detranĉo''' (fermita intervalo) kaj signatas per simboloj [a;b], t.e. [a;b]={x &isin; R | a &le; x &le; b}.
* '''a''' kaj '''b''' nomiĝas '''limpunktoj''' kaj la diferenco '''b - a''' - '''longo''' de intervalo.
* Analogie ekzistas '''malfermita intervalo''': [a;b]={x &isin; R | a < x < b} kaj '''duonfermitaj intervaloj''': [a;b]={x &isin; R | a < x &le; b} kaj [a;b]={x &isin; R | a &le; x < b}.<ref> Moon P, Spencer DE (1988). "Rectangular Coordinates (x, y, z)". ''Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions'' (korektutaj dua, tria pres-eld.). New York: Springer-Verlag. pp. 9–11 (Table 1.01). ISBN 978-0-387-18430-2. </ref>

=== Polusa koordinatsistemo ===
{{Ĉefartikolo|Polusa koordinatsistemo}}
En [[matematiko]], la '''polusa koordinatsistemo''' estas 2-[[dimensio|dimensia]] koordinatsistemo en kiu ĉiu [[Punkto (matematiko)|punkto]] sur [[ebeno (matematiko)|ebeno]] estas difinita per [[angulo]] kaj [[distanco]].<ref> Finney, Ross; George Thomas; Franklin Demana; Bert Waits (Junio 1994). [https://archive.org/details/calculusgraphica00ross] ''Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic'' (Single Variable Version eld.). Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-201-55478-X. (postulas registron). </ref> La polusa koordinatsistemo estas aparte utila en situacioj, kiam la interrilato inter du punktoj estas plej facile esprimebla en terminoj de angulo kaj distanco; en la pli konata [[kartezia koordinato|kartezia]] aŭ rektangula koordinatsistemo, tia angula interrilato povas esti kalkulita nur per [[trigonometrio|trigonometriaj]] formuloj.

Ĉar la koordinatsistemo estas du-dimensia, ĉiu punkto estas difinita per du polusaj koordinatoj: la '''radiusa koordinato''' kaj la '''angula koordinato'''. La radiusa koordinato (kutime skribita kiel <math>r</math>) estas la distanco inter la koordinatigita punkto kaj la centra punkto de la koordinatosistemo. La centra punkto estas ankaŭ nomata ''poluso'' (ekvivalento de la ''origino'' en la Kartezia sistemo). La angula koordinato (ankaŭ nomata '''polusa angulo''' aŭ '''[[azimuta angulo]]''', kutime skribita kiel θ aŭ <math>t</math>) estas la [[pozitiva angulo]] (aŭ angulo mezurita [[dekstrumo|maldekstrume]], malhorloĝdirekte) de la '''polusa akso''' (la 0°-a [[radio (geometrio)|radio]]) al la koordinatigita punkto. La polusa akso estas ekvivalento de pozitiva duono de [[abscisa akso]] (''x''-akso) en la Kartezia koordinata ebeno.<ref name="brown">{{Citlibro
 | Familinomo = Brown
 | Nomo = Richard G.
 | Redaktanto = Andrew M. Gleason
 | Jaro = 1997
 | Titolo = Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis - Progresinta Matematiko: Antaŭkalkulo kun Diskreta Matematiko kaj Datuma Analitiko
 | Eldonejo = McDougal Littell
 | Loko = Evanston, Ilinojo
 | ISBN = 0-395-77114-5
}}</ref>

=== Cilindra koordinatsistemo ===
[[Dosiero:CylindricalCoordinates.png|eta|maldekstra|230px|2 punktoj grafike prezentitaj per cilindraj koordinatoj.]]
La ''cilindra koordinatsistemo'' estas koordinatsistemo kiu etendas la du-dimensian polusan koordinatsistemon per aldono de tria koordinato, kiu estas la alto de punkto super la ebeno, simile al la maniero per kiu la [[kartezia koordinato|karteziaj koordinatoj]] estas etendita en tri dimensiojn. La tria koordinato estas kutime skribata ''h'', kaj do estas la tri cilindraj koordinatoj (''r'', θ, ''h'').<ref> Margenau, Henry; Murphy, George M. (1956). [https://archive.org/details/mathematicsofphy0002marg ''The Mathematics of Physics and Chemistry''.] New York City: D. van Nostrand. p. 178. ISBN 978-0-88275-423-9. LCCN 55010911. OCLC 3017486. </ref>

La tri cilindraj koordinatoj povas esti konvertita al karteziaj koordinatoj per
:<math> \begin{align}
x &= r \, \cos\theta \\
y &= r \, \sin\theta \\
z &= h.
\end{align} </math>

=== Sfera koordinatsistemo ===
[[Dosiero:Sphere.jpg|eta|250px|dekstre|[[Sfero]] kun krado de sferaj koordinatoj. ρ estas konstanto. Estas montritaj du familioj de linioj - kun φ konstanta kaj kun θ konstanta.]]
Polusaj koordinatoj ankaŭ povas esti etenditaj en tri dimensiojn kiel ''sfera koordinatsistemo'' de koordinatoj (ρ, φ, θ), kie ρ estas la distanco de la fonto, φ estas la angulo de la z-akso (nomata kiel la '''zenita distanco'''<ref>Zenita distanco laŭ [[NPIV]] [http://vortaro.net/#zenito]</ref><ref> Morse, PM; Feshbach, H (1953). ''Methods of Theoretical Physics'', Part I. New York: McGraw-Hill. p. 658. ISBN 0-07-043316-X. LCCN 52011515. </ref>, ĝi estas inter 0 kaj 180°) kaj θ estas la angulo de la [[abscisa akso]] (kiel en la 2-dimensiaj polusaj koordinatoj). Ĉi tiu koordinatsistemo estas simila al la [[latitudo]] kaj [[longitudo]] uzataj por [[geografio]], kun la fonto en la centro de Tero, la latitudo δ estas la [[komplemento]] de φ, difinita kiel δ = 90° − φ, kaj la longitudo ''l'' estas ''l'' = θ , ĉi tie ''l'' estas inter −180° kaj −180°.<ref>{{Citreto|URL=http://www.math.montana.edu/frankw/ccp/multiworld/multipleIVP/spherical/body.htm| Titolo=Spherical Coordinates ~ Sferaj Koordinatoj| Nomo=Frank| Familinomo=Wattenberg | Dato=1997| Alirjaro=2006 | Alirdato=16-a de septembro}}</ref>

La tri sferaj koordinatoj estas konvertataj al karteziaj koordinatoj per
:<math> \begin{align}
x &= \rho \, \sin\phi \, \cos\theta \\
y &= \rho \, \sin\phi \, \sin\theta \\
z &= \rho \, \cos\phi.
\end{align} </math>

===Homogenaj koordinatoj===
{{Ĉefartikolo|Homogenaj koordinatoj}}
Punkto en la ebeno povas esti reprezentita en ''homogenaj koordinatoj'' per triopo (x, y, z) kie x/z kaj y/z estas la karteziaj koordinatoj de la punkto.<ref>{{cite book |title=An Introduction to Algebraical Geometry|first=Alfred Clement|last=Jones
|publisher=Clarendon|year=1912}}</ref> Tio enkondukas "kroman" koordinaton, ĉar nur du estas necesaj por specifi punkton sur la ebeno, sed tiu sistemo estas utila, ĉar ĝi reprezentas ajnan punkton sur la projekcia ebeno sen la uzo de [[senfineco]]. Ĝenerale, homogena koordinatsistemo estas tiu, en kiu nur la proporcioj de la koordinatoj estas signifaj kaj ne la realaj valoroj.

=== Aliaj ofte uzataj sistemoj ===
Kelkaj aliaj ofte uzataj koordinatsistemoj estas jenaj:
* Kurbaj koordinatoj estas ĝeneraligo de koordinatsistemoj ĝenerale; la sistemo baziĝas sur la intersekco de [[kurbo]]j.
** Ortogonalaj koordinatoj: koordinataj surfacoj renkontiĝas je ortaj anguloj.
** Deformaj koordinatoj: koordinataj surfacoj ne estas ortogonalaj.
* La log-polusa koordinatsistemo reprezentas punkton en la ebeno per la logaritmo de la distanco de la origino kaj angulo mezurita de referenclinio intersekcanta la originon.
* Plücker-koordinatoj estas maniero reprezenti liniojn en 3D eŭklida spaco uzante ses-opon de nombroj kiel homogenaj koordinatoj.
* Ĝeneraligitaj koordinatoj estas uzitaj en la [[Lagranĝa mekaniko|Lagranĝa traktado de mekaniko]].
* Kanonikaj koordinatoj estas uzitaj en la [[Hamiltona mekaniko|hamilton-a traktado de mekaniko]].
* Baricentra koordinatsistemo kiel uzite por ternaraj planoj kaj pli ĝenerale en la analizo de [[triangulo]]j.
* Triliniaj koordinatoj estas uzataj en la kunteksto de trianguloj.

Ekzistas manieroj priskribi kurbojn sen koordinatoj, uzante internajn ekvaciojn, kiuj uzas senvariajn kvantojn, kiel ekzemple [[Kurbeco (kurbo)|kurbeco]] kaj arklongo. Ĉi tiuj estas jenaj:

* La Whewell-ekvacio rilatigas arklongon kaj la tanĝantan angulon.
* La [[Ekvacio de Cesàro|Cesàro-ekvacio]] rilatigas arklongon kaj kurbecon.

==Koordinatoj de geometriaj objektoj==
[[Dosiero:Sphere symmetry group ci.png|thumb|maldekstre|Hemisfero povas reprezenti realan projekcian ebenon kunligante kontraŭajn punktojn sur la [[ekvatoro]].]]
Koordinataj sistemoj ofte estas uzataj por precizigi la pozicion de punkto, sed ili ankaŭ povas esti uzataj por precizigi la pozicion de pli kompleksaj figuroj kiel [[linio]]j, [[ebeno]]j, [[cirklo]]j aŭ [[sfero]]j. Ekzemple, Plücker-koordinatoj estas uzataj por determini la pozicion de linio en spaco.<ref>{{cite book
| last= Hodge
| first= W.V.D.
| author-link= 
| author2=[[D. Pedoe]]
| title= Methods of Algebraic Geometry, Volume&nbsp;I (Book&nbsp;II)
| publisher= [[Cambridge University Press]]
| year= 1994
| isbn= 978-0-521-46900-5
| orig-year= 1947}}</ref> Kiam ekzistas bezono, la speco de figuro priskribita estas uzata por distingi la specon de koordinatsistemo, ekzemple la esprimo ''liniokoordinatoj'' estas uzita por iu ajn koordinatsistemo kiu precizigas la pozicion de linio.

Povas okazi ke sistemoj de koordinatoj por du malsamaj aroj de geometriaj figuroj estas ekvivalentaj laŭ sia analizo. Ekzemplo de tio estas la sistemoj de homogenaj koordinatoj por punktoj kaj linioj en la projekcia ebeno. Ambaŭ sistemoj en tia okazo laŭdire estas ''dualismaj''. Dualismaj sistemoj havas la proprecon ke rezultoj de unu sistemo povas esti portitaj al la alia, ĉar tiuj rezultoj estas nur malsamaj interpretoj de la sama analiza rezulto; tio estas konata kiel la principo de ''dueco''.<ref>Woods p. 2</ref>

== Transformoj ==
{{Ĉefartikolo|Geometria transformado}}
Ofte ekzistas multaj malsamaj eblaj koordinatsistemoj por priskribi geometriajn figurojn. La rilato inter malsamaj sistemoj estas priskribita per ''koordinataj transformoj'', kiuj donas formulojn por la koordinatoj en unu sistemo laŭ la koordinatoj en alia sistemo. Ekzemple, en la ebeno, se karteziaj koordinatoj (''x'', ''y'') kaj polusaj koordinatoj (''r'', ''θ'') havas la saman originon, kaj la polusa akso estas la pozitiva ''x''-akso, tiam la koordinata transformo de polusaj al karteziaj koordinatoj estas montrita per ''x'' = ''r'' kos''θ'' kaj ''y'' = ''r'' sin''θ''.

[[Dosiero:bijmap.png|eta|200px|dekstre|Bijekcio aŭ [[dissurĵeto]].]]
Kun ĉiu [[dissurĵeto]] de la spaco al si mem du koordinataj transformoj povas esti asociitaj:
* Tia ke la novaj koordinatoj de la bildo de ĉiu punkto estas la samaj kiel la malnovaj koordinatoj de la origina punkto (la formuloj por la mapado estas la inverso de tiuj por la koordinata transformo)
* Tia ke la malnovaj koordinatoj de la bildo de ĉiu punkto estas la samaj kiel la novaj koordinatoj de la origina punkto (la formuloj por la mapado estas la samaj kiel tiuj por la koordinata transformo)

Ekzemple, en [[dimensio|1D]], se la mapado estas translacio de 3 dekstren, la unua movas la originon de 0 al 3, tiel ke la koordinato de ĉiu punkto iĝas 3 malpli, dum la dua movas la originon de 0 al −3, tiel ke la koordinato de ĉiu punkto iĝas 3 pli.

==Koordinatoj lini/kurboj==
Por difinita koordinatsistemo, se unu el la koordinatoj de punkto varias dum la aliaj koordinatoj estas tenitaj konstantaj, tiam la rezulta kurbo estas nomita '''koordinata kurbo'''. Se koordinata kurbo estas [[rekta linio]], ĝi estas nomita '''koordinata linio'''. Koordinatsistemo por kiu kelkaj koordinatkurboj ne estas linioj estas nomita ''kurba koordinatsistemo''.<ref>{{cite book |title=Mathematical Methods for Engineers and Scientists |volume=2|first=K. T.|last=Tang|publisher=Springer|year=2006|isbn=3-540-30268-9|page=13}}</ref> Ortogonalaj koordinatoj estas specialaj, sed ekstreme ofta kazo de kurbaj koordinatoj.

Koordinata linio kun ĉiuj aliaj konstantaj koordinatoj egalaj al [[nulo]] estas nomita ''koordinata akso'', orientita linio uzata por asignado de koordinatoj. En [[Kartezia koordinato|kartezia koordinatsistemo]], ĉiuj koordinataj kurboj estas linioj, kaj, tial, ekzistas tiom da koordinataj aksoj kiom koordinatoj. Krome, la koordinataj aksoj estas duope [[Orteco|ortaj]].

Polusa koordinatsistemo estas kurba sistemo, en kiu koordinatkurboj estas linioj aŭ [[cirklo]]j. Tamen, unu el la koordinatkurboj estas reduktita al ununura punkto, la origino, kiu ofte estas rigardita kiel cirklo de radiuso nula. Simile, sferaj kaj cilindraj koordinatsistemoj havas koordinatajn kurbojn kiuj estas linioj, cirkloj aŭ cirkloj de radiuso nula.

Multaj kurboj povas ekzisti kiel koordinataj kurboj. Ekzemple, la koordinatkurboj de parabolaj koordinatoj estas [[Parabolo (matematiko)|paraboloj]].

==Koordinataj ebenoj/surfacoj==
[[Dosiero:Parabolic coordinates 3D.png|thumb|maldekstre|Koordinataj surfacoj de la tri-dimensiaj paraboloidaj koordinatoj.]]
En tridimensia spaco, se unu koordinato estas tenita konstanta kaj la aliaj du rajtas varii, tiam la rezulta surfaco estas nomita ''koordinatsurfaco''. Ekzemple, la koordinataj surfacoj akiritaj tenante ''ρ'' konstanta en la sfera koordinatsistemo estas la [[sfero]]j kun centro ĉe la origino. En tridimensia spaco la intersekco de du koordinataj surfacoj estas koordinata kurbo. En la kartezia koordinatsistemo oni povas paroli pri '''koordinataj ebenoj'''. Simile, '''koordinataj hipersurfacoj''' estas la {{nowrap|(''n'' − 1)}}-dimensiaj spacoj rezultantaj de fiksado de ununura koordinato de ''n''-dimensia koordinatsistemo.<ref> {{cite book |title=A Computational Differential Geometry Approach to Grid Generation |first=Vladimir D.|last=Liseikin|publisher=Springer|year=2007|isbn=978-3-540-34235-9|page=38}}</ref>

==Koordinataj mapoj==
{{Ĉefartikolo|Sternaĵo}}
La koncepto de ''koordinata mapo'', aŭ ''koordinata diagramo'' estas ŝlosila por la teorio de [[Sternaĵo|duktoj]]. Koordinata mapo estas esence koordinata sistemo por subaro de antaŭfiksita spaco kun la propraĵo ke ĉiu punkto havas ekzakte unu aron de koordinatoj. Pli precize, koordinata mapo estas [[homeomorfio]] de malferma subaro de spaco ''X'' al malferma subaro de '''R'''<sup>''n''</sup>.<ref>Munkres, James R. (2000) ''Topology''. Prentice Hall. {{ISBN|0-13-181629-2}}.</ref> Ofte ne eblas disponigi unu konsekvencan koordinatsistemon por tuta spaco. En ĉi tiu okazo, kolekto de koordinataj mapoj estas kunmetitaj por formi atlason (en topologio sinonimo de [[sternaĵo]]) kovrantan la spacon. Spaco provizita per tia atlaso estas nomita ''sternaĵo'' aŭ ''dukto'' kaj kroma strukturo povas esti difinita sur dukto, se la strukturo estas konsekvenca kie la koordinatmapoj koincidas. Ekzemple, diferencigebla dukto estas dukto kie la ŝanĝo de koordinatoj de unu koordinata mapo al alia ĉiam estas diferencigebla funkcio.

==Orientig-bazitaj koordinatoj==
[[Dosiero:Cartesian-coordinate-system.svg|thumb|dekstre|Bildo de [[Kartezia koordinato|kartezi-koordinata]] ebeno. Oni markis kvar punktojn kaj oni etikedis ili per siaj koordinatoj: {{nowrap|(2, 3)}} verde, {{nowrap|(−3, 1)}} ruĝe, {{nowrap|(−1.5, −2.5)}} blue, kaj la originan {{nowrap|(0, 0)}} purpure.]]
En [[geometrio]] kaj [[kinematiko]], oni uzas koordinatsistemojn por priskribi la (linian) pozicion de punktoj kaj la [[Orientiĝo (solido)|angulan pozicion]] de [[akso]]j, ebenoj kaj [[Rigida korpo|rigidaj korpoj]].<ref>{{cite book |title=Analytical Mechanics of Space Systems |author1-link=Hanspeter Schaub |author2-link=John Junkins |author1=Hanspeter Schaub |author2=John L. Junkins |chapter=Rigid body kinematics |page=71 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=qXvESNWrfpUC&pg=PA71 |isbn=1-56347-563-4 |year=2003 |publisher=American Institute of Aeronautics and Astronautics}}</ref> En ĉi-lasta kazo, la orientiĝo de dua (tipe referita kiel "loka") koordinatsistemo, fiksita al la nodo, estas difinita surbaze de la unua (tipe referita kiel "ĝenerala" aŭ "tutmonda" koordinatsistemo). Ekzemple, la orientiĝo de rigida korpo povas esti reprezentita per orientiga [[matrico]], kiu inkludas, en siaj tri kolumnoj, la [[Kartezia koordinato|karteziajn koordinatojn]] de tri punktoj. Ĉi tiuj punktoj estas uzataj por difini la orientiĝon de la aksoj de la loka sistemo; ili estas la pintoj de tri [[Unuvektoro|unuopaj vektoroj]] liniigitaj kun tiuj aksoj.

==Geografiaj sistemoj==
La [[Tero]] kiel tuto estas unu el la plej oftaj geometriaj spacoj kiuj postulas la precizan mezuron de loko, kaj tiel ankaŭ koordinatajn sistemojn. Starte el la grekoj de la [[Helenisma epoko]], oni disvolvigis variojn de koordinatsistemojn surbaze de la jenaj tipoj:
* [[Geografia koordinatsistemo]], nome la sferaj koordinatoj de [[latitudo]] kaj [[longitudo]]
* Projekciitaj koordinatsistemoj, inkluzive de miloj da karteziaj koordinatsistemoj, ĉiu bazita sur mapprojekcio por krei ebenan surfacon de la mondo aŭ regiono.
* Geocentra koordinatsistemo, tridimensia kartezia koordinatsistemo, kiu modeligas la [[Tero]]n kiel objekton, kaj estas plej ofte uzitaj por modeligado de la orbitoj de [[satelito]]j, inkluzive de la [[Tutmonda loktrova sistemo|Tutmonda Pozicia Sistemo]] kaj aliaj [[Tergloba navigada satelita sistemo|satelitnavigaciaj]] sistemoj.

== Koordinata origino ==
La koordinata origino estas la referencpunkto de koordinatsistemo. Ĉe tiu punkto, la valoro de ĉiuj koordinatoj de la sistemo estas [[nulo]]— ekzemple, <math>(0,0)</math> en <math>\mathbb{R}^2</math> aŭ <math>(0,0,0)</math> en <math>\mathbb{R}^3</math>—. Tamen, en kelkaj koordinatsistemoj ne necesas agordi ĉiujn koordinatojn al nulo. Ekzemple, en sfera koordinatsistemo sufiĉas establi la nulan [[radiuso]]n {{nowrap|<math>(\rho = 0)</math>}}, estante la latitudo kaj longitudo valoroj indiferentaj.

En kartezia koordinatsistemo, la origino estas la punkto ĉe kiu la aksoj de la sistemo apartiĝas.

== Bildaro ==
<gallery>
Dosiero:Hinweisschild hydrant.jpg|Sistemo de dudimensiaj karteziaj koordinatoj utilaj en urbo por lokigi la ejojn necesajn por [[akvoliverado]] kaj defluigo de uzita akvo.
Dosiero:Eixos.jpg|<!-- eta|maldekstra|180px|_dreidimensionales_ (Ekvatora koordinatsistemo, Koordinato, Koordinatsistemo) -->
Dosiero:3D coordinate system.svg|Sistemo de tridimensiaj karteziaj koordinatoj.
Dosiero:Polar graph paper.svg|[[Polusa koordinata sistemo|Polusa koordinatsistemo]] kun kelkaj anguloj indikitaj en gradoj.
Dosiero:WorldMapLongLat-eq-circles-tropics-non.png|Mapo de la [[Tero]] montrante liniojn [[latitudo|latitudajn]] (horizontale) kaj [[longitudo|longitudajn]] (vertikale), laŭ projektado de Eckert VI <ref>[https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/reference_maps/pdf/political_world.pdf granda versio] {{Webarchiv|url=https://web.archive.org/web/20070613024528/https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/reference_maps/pdf/political_world.pdf |date=2007-06-13 }} (pdf, 1.8MB)</ref>.
Dosiero:Geographic coordinates sphere.svg|Latitudo [[phi]] (φ) kaj Longitudo [[lambda]] (λ).
Dosiero:ConstellationGPS.gif|Aro de satelitoj de tergloba navigada satelita sistemo.
Dosiero:Ecef coordinates.svg|Sistemo de ECEF koordinatoj (x, y, z) montrita rilate al [[latitudo]] kaj [[longitudo]].
Dosiero:Ecliptic_4_Esperanto.svg|Skizo de la [[ekliptiko]], la [[angulo]] inter la ekliptiko kaj la '''[[ĉiela ekvatoro]]''' estas <math>\varepsilon \simeq</math> 23° 26'.
Dosiero:Coordinate with Origin.svg|Origino de dudimensia sistemo de [[Kartezia koordinatsistemo]].
</gallery>
{{-}}

== Vidu ankaŭ ==
* [[Transformo de Galileo]]
* [[Cilindra koordinata sistemo]]
* [[Geografia koordinatsistemo]]
* [[Homogenaj koordinatoj]]
* [[Kadro de referenco]]
** [[Inercia kadro de referenco]]
* [[Kartezia koordinato]]
* [[Lorenca transformo]]
* [[Nombra akso]]
* [[Regulo de la dekstra mano]]
* [[Sfera koordinata sistemo]]

== Referencoj ==
{{Referencoj|2}}

== Bibliografio ==
* Delone N.B. ''Coordenadas en matemáticas // Diccionario enciclopédico'', Brockhaus kaj Efron: en 86 volumoj (fakte 82 volumoj kaj 4 kromaj). - SPb., 1890-1907.
* {{cite book |title= Geometry of Differential Forms |last1=Shigeyuki Morita |last2=Teruko Nagase |last3=Katsumi Nomizu |author-link3=Katsumi Nomizu |page=12 |url= https://books.google.com/books?id=5N33Of2RzjsC&pg=PA12 |isbn=0-8218-1045-6 |year=2001 |publisher=AMS Bookstore}}
* Voitsekhovskii, M.I.; Ivanov, A.B. (2001) [1994], [https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Coordinates "Coordinates"], Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
* {{Citaĵo el libro|url=https://books.google.com/books?id=3ZULAAAAYAAJ&pg=PA1|titolo=Higher Geometry|familia nomo=Woods|persona nomo=Frederick S.|jaro=1922|eldoninto=Ginn and Co.|paĝoj=1ff}}

* {{Tradukita|lingvo= en |artikolo=Coordinate system|revizio=1264043777}}
* {{Tradukita|lingvo= es |artikolo=Sistema de coordenadas|revizio=165096076}}
{{Havenda artikolo|Koordinatsistemo}}
{{Projektoj}}

{{Bibliotekoj}}
[[Kategorio:Geometrio]]
[[Kategorio:Geografio]]
[[Kategorio:Astronomio]]
[[Kategorio:Matematiko]]
[[Kategorio:Koordinatsistemoj| ]]