Vidi fonton por Formulo de de Moivre

En [[matematiko]], '''formulo de de Moivre''', nomita post [[Abraham de Moivre]], statas ke por ĉiu [[kompleksa nombro]] ''x'' kaj ĉiu [[entjero]] ''n''

: ''(cos x+i sin x)<sup>n</sup> = cos(nx)+i sin(nx)''

== Pruvo ==
Kvankam historie formulo de de Moivre estas pruvis pli frue kal alimaniere, la pli facila ĝia pruvo estas per la [[eŭlera formulo]]

: ''e<sup>ix</sup> = cos x + i sin x''

kaj la propraĵo de [[eksponenta funkcio]]

: <math>\left( e^{ix} \right)^n = e^{inx}</math>

Tiam

: ''(cos x+i sin x)<sup>n</sup> = (e<sup>ix</sup>)<sup>n</sup> = e<sup>inx</sup>''

kaj

: ''cos(nx) + i sin(nx) = e<sup>i(nx)</sup> = e<sup>inx</sup>''

kaj tial egalas al la sama valoro.

== Ĝeneraligo ==
La formulo estas reale vera en pli ĝenerala okazo: se ''z'' kaj ''w'' estas kompleksaj nombroj, tiam

: ''(cos z + i sin z)<sup>w</sup>''

estas [[multvalora funkcio]] kaj

: ''cos (wz) + i sin (wz)''

ne estas multvalora. Pro tio

: ''cos (wz) + i sin (wz)'' estas unu valoro de ''(cos z + i sin z)<sup>w</sup>''.

[[Dosiero:3rd roots of unity.svg|eta|Grafika prezento de la kubaj radikoj de 1 sur la [[kompleksa ebeno]].]]

== Aplikoj ==
Ĉi tiu formulo povas esti uzata por trovi la ''n''-ajn radikojn de kompleksa nombro ''z'' (la radikoj estas la kompleksaj nombroj kies ''n''-aj pontencoj egalas al ''z''). Se ''z'' estas skribita en trigonometria prezento kiel

: ''z=r (cos x+i sin x)''

tiam ĉiuj ties ''n''-ajn radikojn povas esti malkovrataj tiel:

:<math> (s(\cos y + i\sin y))^n= r(\cos x + i\sin x)</math>
:<math>\iff s^n(\cos ny + i\sin ny)= r(\cos x + i\sin x)</math>
:<math>\iff s^n=r\text{ kaj } ny=x+2k\pi</math>

por iu entjero ''k''. Do ĉiu radiko estas

<math>r^{\frac{1}{n}} \left[ \cos \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) + i\sin \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) \right] </math>

kie ''k'' estas entjero. Se ''z≠0'', fari ''k=0, 1, ... n-1'' trovigos la ''n'' malsamajn radikojn de ''z''.

Alia apliko estas, per elvolvado de la maldekstra flanko kaj posta komparo de reela kaj imaginara partoj, ricevi utilajn esprimojn por ''cos(nx)'' kaj ''sin(nx)'' per ''cos(x)'' kaj ''sin(x)''.

== Vidu ankaŭ ==
* [[Eŭlera formulo]]
* [[Radiko de unu]]

== Eksteraj ligiloj ==
* [http://demonstrations.wolfram.com/DeMoivresTheoremForTrigIdentities/ Teoremo de de Moivre]

[[Kategorio:Kompleksa analitiko]]
[[Kategorio:Matematikaj teoremoj]]