Vidi fonton por Formulo de Faà di Bruno

En [[matematiko]], '''formulo de Faà di Bruno''' estas idento ĝeneraliganta la [[ĉena regulo|ĉenan regulon]] al pli altaj derivaĵoj. Ĝi estas nomita pro Francesco Faà di Bruno ([[1825]] - [[1888]]).

Eble la plej konata formo de formulo de Faà di Bruno estas

: <math>{d^n \over dx^n} f(g(x))=\sum \frac{n!}{m_1!\,1!^{m_1}\,m_2!\,2!^{m_2}\,\cdots\,m_n!\,n!^{m_n}} f^{(m_1+\cdots+m_n)}(g(x)) \prod_{j=1}^n\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_j}</math>

kie la sumo estas tra ĉiuj ''n''-opoj ''(m<sub>1</sub>, ..., m<sub>n</sub>)'' kontentigantaj kondiĉon

:<math>1m_1+2m_2+3m_3+\cdots+nm_n=n</math>

Iam, por doni ĝi plaĉantan kaj memoreblan ŝablonon, ĝi estas skribita tiel ke la koeficientoj kiuj havas la kombinan interpretadon diskutitan pli sube estas malpli eksplicitaj:

:<math>{d^n \over dx^n} f(g(x)) =\sum \frac{n!}{m_1!\,m_2!\,\cdots\,m_n!} f^{(m_1+\cdots+m_n)}(g(x)) \prod_{j=1}^n\left(\frac{g^{(j)}(x)}{j!}\right)^{m_j}</math>

Kombinigo de la termoj kun la sama valoro de <math>m_1+m_2+\cdots+m_n=k</math> kondukas al alia iel pli simpla formulo esprimita per [[sonorila polinomo|sonorilaj polinomoj]] <math>B_{n,k}(x_1,\dots,x_{n-k+1})</math>:

: <math>{d^n \over dx^n} f(g(x)) = \sum_{k=0}^n f^{(k)}(g(x)) B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots,g^{(n-k+1)}(x)\right)</math>

== Kombina formo ==

La formulo havas la kombinan formon:

:<math>{d^n \over dx^n} f(g(x))=(f\circ g)^{(n)}(x)=\sum_{\pi\in\Pi} f^{(\left|\pi\right|)}(g(x))\cdot\prod_{B\in\pi}g^{(\left|B\right|)}(x)</math>

kie

* ''π'' ruliĝas tra la aro ''Π'' de ĉiuj [[dispartigo de aro|dispartigoj de la aro]] ''{1, ..., n}'',

* "B ∈ π" signifas ke la variablo ''B'' ruliĝas tra la listo de ĉiuj blokoj de la dispartigo ''π'', kaj

* ''|A|'' signifas [[kardinala nombro|kardinalon]] de la aro ''A'', tiel ''|π|'' estas kvanto de la blokoj en la dispartigo ''π'' kaj ''|B|'' estas amplekso de la bloko ''B''.

=== Ekzemplo ===

Jen estas ekzemplo de uzo de la kombina formo:

:<math>
\begin{align}
(f\circ g)''''(x)
& = f''''(g(x))g'(x)^4
+ 6f'''(g(x))g''(x)g'(x)^2 \\
& {} \quad+\; 3f''(g(x))g''(x)^2
+ 4f''(g(x))g'''(x)g'(x) \\
& {} \quad+\; f'(g(x))g''''(x)
\end{align}
</math>

La ŝablono estas

:<math>
\begin{align}
 g'(x)^4
& & \leftrightarrow & & 1+1+1+1
& & \leftrightarrow & & f''''(g(x))
& & \leftrightarrow & & 1
\\ \\
 g''(x)g'(x)^2
& & \leftrightarrow & & 2+1+1
& & \leftrightarrow & & f'''(g(x))
& & \leftrightarrow & & 6
\\ \\
g''(x)^2
& & \leftrightarrow & & 2+2
& & \leftrightarrow & & f''(g(x))
& & \leftrightarrow & & 3
\\ \\
g'''(x)g'(x)
& & \leftrightarrow & & 3+1
& & \leftrightarrow & & f''(g(x))
& & \leftrightarrow & & 4
\\ \\
g''''(x)
& & \leftrightarrow & & 4
& & \leftrightarrow & & f'(g(x))
& & \leftrightarrow & & 1
\end{align}
</math>

La faktoro <math>\scriptstyle g''(x)g'(x)^2 \;</math> respektivas al la dispartigo 2+1+1 de la entjero 4 (4 ĉar estas trovata la 4-a derivaĵo), en la evidenta vojo. La faktoro <math>\scriptstyle f'''(g(x))\;</math> kiu estas kun ĝi respektivas al tio ke estas 3 termoj en ĉi tiu dispartigo. La koeficiento 6 kiu estas kun ĉi tiuj faktoroj respektivas al tio ke estas akurate 6 dispartigoj de aro de 4 membroj kiuj disdividas ĝin en unu parton de amplekso 2 kaj du partojn de amplekso 1.

Simile, la faktoro <math>\scriptstyle g''(x)^2 \;</math> en la tria linio respektivas al la dispartigo 2+2 de la entjero 4, dum <math>\scriptstyle f''(g(x)) \,\!</math> respektivas al tio ke estas ''du'' termoj en la dispartigo. La koeficiento 3 respektivas al tio ke estas 3 manieroj de disdivido de 4 objektoj en grupojn po 2 (<sup>4</sup>C<sub>2</sub> / 2).

La sama koncepto aplikas al la aliaj linioj.

== Kombinatoriko de la koeficientoj de Faà di Bruno ==

Ĉi tiuj dispartigo-kalkulantaj koeficientoj havas fermito-forman esprimon. La kvanto de [[dispartigo de aro|dispartigoj de aro]] de amplekso ''n'' respektiva al la [[entjera dispartigo]]

: <math>\displaystyle n=\underbrace{1+\cdots+1}_{m_1}
\,+\, \underbrace{2+\cdots+2}_{m_2}
\,+\, \underbrace{3+\cdots+3}_{m_3}+\cdots</math>

de la entjero ''n'' estas egala al

: <math>\frac{n!}{m_1!\,m_2!\,m_3!\,\cdots 1!^{m_1}\,2!^{m_2}\,3!^{m_3}\,\cdots}</math>

Ĉi tiuj koeficientoj ankaŭ aperas en la [[sonorila polinomo|sonorilaj polinomoj]].

== Formala potencoseria versio ==

En la [[formala potencoserio]]

: <math>f(x)=\sum_n {a_n \over n!}x^n</math>

oni havas la ''n''-an derivaĵon je 0

: <math>f^{(n)}(0)=a_n \;</math>

Ĉi tiu devus ne esti komprenata kiel la valoro de funkcio, ĉar ĉi tiu serio estas pure formala; ne estas koncernata ĝia konverĝo aŭ malkonverĝo en ĉi tiu ĉirkaŭteksto.

Se

: <math>g(x)=\sum_{n=1}^\infty {b_n \over n!} x^n</math>

kaj

: <math>f(x)=\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} x^n</math>

kaj

:<math>g(f(x))=h(x)=\sum_{n=1}^\infty{c_n \over n!}x^n</math>

do la koeficiento ''c<sub>n</sub>'' (kiu devus esti la ''n''-a derivaĵo de ''h'' komputita je 0 se ne konsideri konverĝecon de la serio) estas donita per

: <math>c_n=\sum_{\pi=\left\{\,B_1,\,\dots,\,B_k\,\right\}} a_{\left|B_1\right|}\cdots a_{\left|B_k\right|} b_k</math>

kie ''π'' ruliĝas tra la aro de ĉiuj dispartigoj de la aro ''{1, ..., n}'' kaj ''B<sub>1</sub>, ..., B<sub>k</sub>'' estas la blokoj de la dispartigo ''π'', kaj ''| B<sub>j</sub> |'' estas kvanto de membroj en la ''j''-a bloko, por ''j = 1, ..., k''.

Ĉi tiu versio de la formulo estas aparte bone konvena por celoj de [[kombinatoriko]].

Eblas ankaŭ skribi ke

:<math>g(f(x)) = \sum_{n=1}^\infty {\sum_{k=1}^{n} b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) \over n!} x^n</math>

kie la esprimoj

:<math>B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1})</math>

estas [[sonorila polinomo|sonorilaj polinomoj]].

== Eksponenta okazo ==

Se ''f(x) = e<sup>x</sup>'' tiam ĉiuj derivaĵoj de ''f'' estas la samaj, kaj estas faktoro komuna al ĉiu termo. En okazo se ''g(x)'' estas [[duoninvarianto]]-generanta funkcio, do ''f(g(x))'' estas [[momanto (statistiko)|momanto]]-generanta funkcio, kaj la polinomo en diversaj derivaĵoj de ''g'' estas la polinomo kiu ekspresas la momantojn kiel funkcioj de la duoninvariantoj.

== Eksteraj ligiloj ==
* [http://www.maa.org/news/monthly217-234.pdf W. P. Johnson, "La kurioza historio de formulo de Faà di Bruno"], ''Amerika Matematiko Monate'', Volumo. 109, Marto 2002, 217-234
* [http://mathworld.wolfram.com/FaadiBrunosFormula.html Formulo de Faà di Bruno] je MathWorld
* [http://www-math.mit.edu/~rstan/ec/ Numeriga kombinatoriko] ISBN 0-521-55309-1N. Vidu pri la formala potencoseria versio en ĉapitro 5.

[[Kategorio:Kalkulo]]
[[Kategorio:Kombinatoriko]]
[[Kategorio:Faktorialo kaj dutermaj temoj]]