Vidi fonton por Divido

En [[matematiko]], aparte en elementa [[aritmetiko]], '''divido''' estas aritmetika operacio kiu estas la inverso de [[multipliko]].

Specife, se <math>c \times b = a</math>
kie ''b'' estas ne [[nulo]], tiam
:<math>\frac ab = c</math>
kio estas, ''a'' dividita per ''b'' egalas al ''c''. Oni povas pli koncize legi kiel "a sur b egalas al c".

Ekzemple, <math>\frac 63 = 2</math> ĉar <math>2 \times 3 = 6\,</math>.

En la pli supre esprimo, ''a'' estas nomita la '''dividato''' aŭ '''numeratoro''', ''b'' la '''dividanto''' aŭ '''denominatoro''' kaj ''c'' la '''kvociento'''.

[[Divido per nulo]] (do kiam la dividanto estas nulo) estas kutime ne difinita.

== Notacio ==
Divido estas plej ofte montrita per skribado de la ''dividato'' super la ''dividanto'' kun horizontalo inter ili. Ekzemple, ''a'' dividita per ''b'' estas skribata kiel <math>\frac ab</math>.

Maniero esprimi dividon tute sur unu linio estas skribi la ''dividaton'', tiam [[oblikvo]]n, tiam la ''dividanton'', tiamaniere: <math>a/b\,</math>.
Ĉi tio estas la kutima maniero precizigi dividon en plej multaj komputilaj [[Programlingvo|programadaj lingvoj]] ĉar ĝi povas facile esti tajpita kiel simpla vico de signoj.

Presa variado kiu estas meze inter ĉi tiuj du formoj uzas [[oblikvo]]n sed altigas la dividaton, kaj malaltigas la dividanton: <sup>a</sup>⁄<sub>b</sub>

Iu ajn el tiuj formoj povas ordinare elmontri [[Frakcio (matematiko)|frakcion]]. Frakcio estas divida esprimo kie kaj dividato kaj dividanto estas [[Entjero|entjeroj]] (kvankam tipe nomitaj la ''numeratoro'' kaj ''denominatoro'' respektive), kaj ne estas [[implico]], ke la divido bezonas esti plue pritaksita.

Aliaj manieroj montri dividon estas uzi la [[obeluso]]n (aŭ dividan signon) jene: <math>a \div b</math> aŭ uzi [[dupunkto]]n jene: ''a'' : ''b''. La obeluso estas ankaŭ uzata sola por prezenti la dividan operacion mem, kiel ekzemple kiel marko sur klavo de [[kalkulilo]].

== Komputado de divido ==
Kun scio de [[multiplika tabelo|multiplikaj tabeloj]], du entjeroj povas esti dividataj sur papero uzante la metodon de [[skriba divido]]. Se la dividato havas [[Frakcio (matematiko)|frakcian parton]] (esprimita kiel dekuma frakcio), oni povas daŭrigi la algoritmon pasante la lokon de unuoj tiel malproksimen kiel dezirite. Se la dividanto havas frakcian parton, oni povas reformuli la problemon per movado de la dekuma signo dekstren en ambaŭ nombroj ĝis la dividanto ĉesas havi frakcion.
<!--Divido povas esti kalkulata per [[abako]] jene: Oni multfoje metas de la dividaton sur la abako, kaj tiam subtrahas la dividanton je la kompenso de ĉiu cifero en la rezulto, nombrante la nombron de dividoj eblaj je ĉiu kompenso. (ne klaras ĉi tiu klarigo) -->

En [[modula aritmetiko]], iuj nombroj havas inverson kun respekto al la modulo. En tia kazo, divido povas esti kalkulata per multipliko. Ĉi tiu maniero estas utila en komputiloj, kiuj ne havas rapidan dividan komandon.

== Divido de entjeroj ==
Divido de [[entjero]]j ne estas [[fermo (matematiko)|fermita]]. Krom tio, ke divido per nulo entute ne estas nedefinita, la kvociento ne estos entjero, se la dividato estas ne entjera oblo de la dividanto; ekzemple 26 ne povas esti dividita per 10 kun entjero kiel rezulto. En tia kazo estas kvar eblaj elturniĝoj.
# Diri, ke 26 ne povas esti dividita per 10.
# Doni la respondon kiel dekuman frakcion aŭ miksitan nombron, do <math>\frac{26}{10} = 2.6</math> aŭ <math>26/10 = 2 \frac 35</math>. Ĉi tiu estas la aliro kutime prenita en matematiko.
# Doni la respondon kiel ''[[kvociento]]'' kaj ''[[resto]]'', do <math>\frac{26}{10} = 2</math> resto 6.
# Doni la kvocienton kiel la respondon, do <math>\frac{26}{10} = 2</math>. Ĉi tiu estas iam nomita ''entjera divido''.

Oni devas singardi kiam oni plenumas dividon de entjeroj en [[komputila programo]]. Iuj [[Programlingvo|programlingvoj]], kiel [[C (programlingvo)|C]], traktas dividon de entjeroj kiel en la kazo 4 pli supre, do la respondo estos entjero. Aliaj lingvoj, kiel MATLAB, unue konvertas la entjerojn al reelaj nombroj, kaj tiam donas reelan nombron kiel la respondon, kiel en la kazo 2 pli supre. Tiakaze la respondo facile povas enteni tre malgrandan forpurigendan erareton.

== Divido de racionalaj nombroj ==
La rezulto de dividado de du [[Racionala nombro|racionalaj nombroj]] estas alia racionala nombro kiam la dividanto estas ne 0. Ni povas difini dividon de du racionalaj nombroj ''p''/''q'' kaj ''r''/''s'' per

:<math>{p/q \over r/s} = (p \times s)/(q \times r).</math>

Ĉiuj kvar kvantoj estas entjeroj, kaj nur ''p'' povas esti 0. Ĉi tiu difino certigas, ke divido estas la inversa operacio de [[multipliko]].

== Divido de reelaj nombroj ==
Divido de du [[Reela nombro|reelaj nombroj]] rezultas en alia reela nombro kiam la dividanto estas ne 0. Ĝi estas difinata jene: ''a''/''b'' = ''c'' se kaj nur se ''a'' = ''cb'' kaj ''b'' ≠ 0.

== Divido de kompleksaj nombroj ==
Dividado de du [[Kompleksa nombro|kompleksaj nombroj]] rezultas en alia kompleksa nombro kiam la dividanto estas ne 0, difinata jene:

:<math>{p + iq \over r + is} = {pr + qs \over r^2 + s^2} + i{qr - ps \over r^2 + s^2}.</math>

Ĉiuj kvar kvantoj estas reelaj nombroj. ''r'' kaj ''s'' ne povas ambaŭ esti 0.

Divido por kompleksaj nombroj esprimitaj en trigonometria prezento estas pli simpla kaj pli simple memorebla ol la difino ĉi-supre:

:<math>{pe^{iq} \over re^{is}} = {p \over r}e^{i(q - s)}.</math>

Denove ĉiuj kvar kvantoj estas reelaj nombroj, kaj ''r'' ne povas esti 0.

== Divido de polinomoj ==
Oni povas difini la dividan operacion por [[polinomo]]j. Tiam, kiel ĉe entjeroj, oni havas restaĵon. Vidu en [[polinoma divido]].

== Divido en abstrakta algebro ==
En pli ĝeneralaj [[algebra strukturo|algebraj strukturoj]] de [[abstrakta algebro]] kiel, ekzemple, ([[duongrupo|duon]])[[grupo]]j, [[ringo]]j, [[matrico|matricaj]] kaj [[kvaterniono|kvaternionaj]] [[alĝebro]]j ktp, frakcioj kiel <math>{a \over b}</math> estas tipe difinitaj kiel <math>a \cdot {1 \over b}</math> aŭ <math>a \cdot b^{-1}</math> (aŭ <math>b^{-1} \cdot a</math>), kie <math>b</math> devas esti [[inversigebla elemento]] (t.e. ekzistas [[inverso]] <math>b^{-1}</math> tia, ke <math>bb^{-1} = b^{-1}b = 1</math>, kie <math>1</math> estas la [[multipliko|multiplika]] [[neŭtrala elemento]]).
<!--En [[integrala domajno]] kie tiaj eroj ne povas ekzisti, ''divido'' povas ankoraŭ esti plenumita sur ekvacioj de la formo <math>ab = ac</math> aŭ <math>ba = ca</math> per maldekstra aŭ dekstra _cancellation_, respektive. Pli ĝenerale "divido" en la senco de "_cancellation_" povas esti farita en iu ajn [[Ringo (algebro)|ringo]] kun la ĵus meciitaj propraĵoj de _cancellation_.  Per teoremo de Wedderburn, ĉiuj finiaj [[Divida ringo|dividaj ringoj]] estas kampoj, tial ĉiu nenula ero de tia ringo estas inversigebla, do ''divido'' per iu ajn nenula ero estas ebla en tia ringo.  Por lerni pri kiam ''algebroj'' (en la teknika senco) havas dividan operacion, konsultu la paĝon pri [[Korpo (algebro)|korpoj]]. Aparte Bott-periodeco povas ordinare montri, ke iu ajn [[Reela nombro|reela]] [[normigita divida algebro]] devas esti izomorfia al aŭ la reelaj nombroj '''R''', la [[Kompleksa nombro|kompleksaj nombroj]] '''C''', la _quaternions_ '''H''', aŭ la _octonions_ '''O'''.
-->
<!-- Maldekstre kontraŭ dekstre, difino de kvazaŭgrupo, interrilato al inversoj en ekzisto de asocieco, ekzemploj:  grupoj _octonions_ -->

== Divido kaj [[infinitezima kalkulo]] ==
La [[Derivaĵo (matematiko)|derivaĵo]] de la kvociento de du funkcioj estas kalkulebla per la [[kvocienta regulo]]:

:<math>{\left(\frac fg\right)}' = \frac{f'g - fg'}{g^2}</math>

Ne estas ĝenerala maniero [[Integralo|integrali]] la kvocienton de du funkcioj.

== Notacioj por divido ==
* En Usono, Unuiĝinta Reĝlando ktp (divido de 63.59 per 17, kiu estas 3.74 kun resto de 1.)

        <u> 3.74</u>
     17)63.59
        <u>51</u>
        12 5
        <u>11 9</u>
           69
           <u>68</u>
            1

* En Francio (same)

{|border ="0" cellspacing = "0"
|- style="text-align:center"
|6||3||,||5||9||style="text-align:left;border-left:thin solid black"|17
|- style="text-align:center"
|1 ||2||,||5|| ||style="text-align:left;border-top:thin solid black;border-left:thin solid black"|3,74
|- style="text-align:center"
| || || ||6|| 9||style="text-align:left;border-left:thin solid black"|&nbsp;
|- style="text-align:center"
| || || || || 1||style="text-align:left;border-left:thin solid black"|&nbsp;
|}

== Vidu ankaŭ ==
* [[Divido (elektroniko)]]
* [[Frakcio (matematiko)]]
* [[Kvociento]]
* [[Racionala nombro]]
* [[Inverso]]
* [[Divido per du]]
* [[Divido per nulo]]
* [[Kvazaŭgrupo]]
* [[Grupo (algebro)|Grupo]]
* [[Korpo (algebro)|Korpo]]
* [[Skriba divido]]
* [[Polinoma divido]]
* [[Dividismo]]

== Eksteraj ligiloj ==
{{Projektoj|ReVo=divid}}
* [http://www.mathsisfun.com/dividing-decimals.html Maniero por dividi en dekuma sistemo] (anglalingva)
* [http://palaestramundi.50webs.com/bibliotheca/articulos/division.htm Ekzemploj de algebraj dividoj] (hispanlingva)
* [http://webhome.idirect.com/~totton/abacus/pages.htm#Division1 Divido sur Japana abako] {{Webarchiv|url=https://web.archive.org/web/20090416010325/http://webhome.idirect.com/~totton/abacus/pages.htm#Division1 |date=2009-04-16 }} (anglalingva)
* [http://webhome.idirect.com/~totton/suanpan/sh_div/ Ĉiniaj mallongaj dividaj teknikoj sur Suan Pajno] {{Webarchiv|url=https://web.archive.org/web/20150503005432/http://webhome.idirect.com/%7Etotton/suanpan/sh_div/ |date=2015-05-03 }} (anglalingva)

{{Bibliotekoj}}

[[Kategorio:Rudimenta aritmetiko]]
[[Kategorio:Aritmetiko]]
[[Kategorio:Dulokaj operacioj]]