Vidi fonton por Derivaĵo de kvociento

En [[matematiko]], la '''kvocienta regulo''' estas idento por [[derivaĵo (matematiko)|derivaĵo]] de [[funkcio (matematiko)|funkcio]] kiu estas la [[kvociento]] de du la aliaj funkcioj por kiuj la derivaĵoj ekzistas.

Se la funkcio ''f(x)'' estas donita kiel

:<math>f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}</math>

kaj ''h(x)≠0'', tiam la derivaĵo de ''f(x)'' estas

: <math>\frac{df(x)}{dx} = \frac{\frac{dg(x)}{dx}h(x) - g(x)\frac{dh(x)}{dx}}{(h(x))^2} </math>

aŭ en la alia skribmaniero

:<math>f'(x)=\frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2} </math>

Pli detale, se por ĉiu ''x'' en iu [[malfermita aro]] enhavanta nombron ''a'', ''h(x)≠0'' kaj ''g'(a)'' kaj ''h'(a)'' ambaŭ ekzistas do ''f'(a)'' kaj

: <math>f'(a)=\frac{g'(a)h(a) - g(a)h'(a)}{(h(a))^2}</math>

== Ekzemplo ==

<math>\frac{d \tan(x)}{dx} = \frac{d {\frac{\sin(x)}{\cos(x)} } }{dx}</math>

: ''g(x) = sin(x)''
: ''g'(x) = cos(x)''
: ''h(x) = cos(x)''
: ''h'(x) = -sin(x)''

<math>\frac{d \tan(x)}{dx} = \frac{\cos(x)\cos(x) - \sin(x)(-\sin(x))}{(cos(x))^2}  = \frac{(\cos(x))^2 + (sin(x))^2}{(cos(x))^2}= \frac{1}{(cos(x))^2}</math>

== Pruvoj ==

=== Per difino de derivaĵo ===

: <math>f'(x) = \lim_{w \to 0} \frac{f(x + w)- f(x)}{w} = \lim_{w \to 0} \frac{\frac{g(x + w)}{h(x + w)} - \frac{g(x)}{h(x)}}{w}</math>

Oni eligu la ''1/w'' kaj kombinu la frakciojn en la numeratoro:

: <math>f'(x) = \lim_{w \to 0} \frac{1}{w} \left(\frac{g(x+w)h(x)-g(x)h(x+w)}{h(x)h(x+w)} \right)</math>

Adiciante kaj subtrahante de ''g(x)h(x)'' en la numeratoro:

: <math>f'(x) = \lim_{w \to 0} \frac{1}{w} \left( \frac{(g(x+w)h(x)-g(x)h(x)-g(x)h(x+w)+g(x)h(x)}{h(x)h(x+w)} \right)</math>

Oni faktorigu ĉi tion kaj multipliku je la ''1/w'' tra la numeratoro:

: <math>f'(x) = \lim_{w \to 0} \frac{\frac{g(x+w)-g(x)}{w}h(x)-g(x)\frac{h(x+w)-h(x)}{w}}{h(x)h(x+w)}</math>

Nun oni movu la limigon tra:

: <math>f'(x) = \frac{\lim_{w \to 0} \left(\frac{g(x+w)-g(x)}{w}\right)h(x) - g(x) \lim_{w \to 0} \left(\frac{h(x+w)-h(x)}{w}\right)}{h(x)h(\lim_{w \to 0} (x+w))}</math>

Laŭ la difino, la limigoj en la numeratoro estas derivaĵoj, kaj do tiel:

: <math>f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}</math>

=== Per regulo por [[derivaĵo de produto]] ===

Se

: <math>f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}</math>

do

: ''g(x) = f(x)h(x)''

kaj

: ''g'(x)=f'(x)h(x) + f(x)h'(x)''

De ĉi tie per algebraj transformoj eblas ricevi formulon por ''f'(x)''.

: <math>f'(x)=\frac{g'(x) - f(x)h'(x)}{h(x)} = \frac{g'(x) - \frac{g(x)}{h(x)} h'(x)}{h(x)} = </math>

: <math>= \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}</math>

Ankaŭ eblas apliki la regulo por derivaĵo de produto rekte se ''1/h(x)'' estas konsiderata kiel la dua multiplikato :

: <math>f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} = g(x) \frac{1}{h(x)} </math>

Kun tio ke <math> (\frac{1}{h(x)})' = \frac{-1}{(h(x))^2} \cdot h'(x)</math> rezultas

: <math>f'(x) = g'(x) (h(x))^{-1} + g(x) (- (h(x))^{-2} h'(x)) = \frac{g'(x) h(x) - g(x) h'(x)}{(h(x))^2}</math>

=== Per [[tuteca derivaĵo]] ===

Funkcio <math>f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}</math> povas esti konsiderata kiel funkcio de du variabloj ''g'' kaj ''h'', ĉiu el kiuj en sia vico estas funkcio de ''x''.

Ambaŭ [[parta derivaĵo|partaj derivaĵoj]] de ''f'' je ''g'' kaj ''h'' povas esti trovitaj:

: <math> \frac{\partial f}{\partial g} = \frac{1}{h} </math>

kie ''h'' estas konsiderata kiel konstanto; kaj

: <math> \frac{\partial f}{\partial h} = g\cdot\frac{-1}{h^2}</math>

kie ''g'' estas konsiderata kiel konstanto.

Tiam

: <math> \frac{df}{dx} = \frac{\partial f}{\partial g}g'(x) + \frac{\partial f}{\partial h}h'(x) = </math>

: <math>  = \frac{1}{h(x)}g'(x) + g(x) \frac{-1}{(h(x))^2} h'(x) = \frac{g'(x) h(x) - g(x) h'(x)}{(h(x))^2} </math>

== Vidu ankaŭ ==

* [[Derivaĵo de funkcia komponaĵo]]
* [[Derivaĵo de produto]]

[[Kategorio:Diferenciala kalkulo]]