Vidi fonton por Angulo

[[Dosiero:Angulo positivo.svg|eta|Angulo de 45°.]]
[[Dosiero:Adjacentangles.svg|dekstra|eta|225ra|Anguloj ''A'' kaj ''B'' estas apudaj. Ili formas komponitan angulon.]]
'''Angulo''' estas figuro formata de du [[streko]]j etendantaj el [[Punkto (matematiko)|punkto]], la [[vertico]] de la angulo. Anguloj estas studataj en [[geometrio]] kaj [[trigonometrio]].

== Mezuri angulojn ==
[[Dosiero:Grad protractor.png|eta|200ra|[[Angulilo]] dividita en centesimaj gradoj kaj amplitudo de 400<sup>g</sup>.]]
Por mezuri angulon, [[cirklo]] kun centro ĉe la [[vertico]] estu desegnita. La [[radiano|radiana]] mezuro de la angulo estas la longeco de la [[arko]] eltranĉita de la cirklo dividite per la longeco de la [[radiuso]] de la cirklo. La [[grado|grada]] mezuro de la angulo estas la longeco de la [[arko]] dividite per la longeco de la [[cirkonferenco]] de la cirklo, kaj multiplikite per 360.
La simbolo por gradoj estas superskribita cirkleto, kiel en 360°.

2[[pi (nombro)|π]] radianoj egalas al 360° (plena cirko), do unu radiano estas ĉirkaŭ 57° kaj unu grado estas π/180 radianoj.

Matematikistoj ĝenerale preferas la radianan mezuron, ĉar ĝi forigas la arbitreco de la nombro 360 de la grada sistemo kaj ĉar la [[trigonometria funkcio|trigonometriaj funkcioj]] havas pli simplajn [[serio de Taylor|tajlorajn seriojn]] se oni uzas la radianan sistemon. La [[Sistemo Internacia de Unuoj|SI-sistemo]] de unuoj uzas radianojn kiel (derivita) unuo de anguloj.

=== Radiano ===
La [[radiano]] (simbolo: '''rad''') estas la angula [[mezurunuo]] en la [[Internacia sistemo de unuoj]]. Ĝi estas uzata ĉefe en [[trigonometrio]] kaj [[infinitezima kalkulo]]. Angulo inter du radiusoj de cirklo, arkolongo inter kiuj egalas al la radiuso, estas la [[ebena angulo]].

En [[cirklo]] <math>l</math> estas [[Arko (geometrio)|arkolongo]], <math>r</math> estas [[radiuso]]longo, <math>\alpha</math> estas la larĝo de la angulo strekata de la arko, kaj <math>c</math> estas cirklolongo:

<math>\alpha^{\mathrm{rad}} = \frac{l}{r}</math>

<math>l = r \cdot \alpha^{\mathrm{rad}}</math>

Oni povas konverti [[Grado|gradojn]] al radianoj per ĉi tiu formulo:

:<math>\alpha^{\mathrm{rad}} = \frac{\pi}{180^\circ} \cdot \alpha ^{(\circ)}</math>

=== Grado ===
[[Dosiero:Goniometro.jpg|eta|Angulilo mezuras gradojn.]]
La [[grado]] estas angula [[mezurunuo]] kiu egalas al π / 180 [[radiano]]j, al naŭdekono de [[orto]], aŭ al 10/9 [[graduso]]j. La simbolo de grado estas °. Grado estas pli oportuna mezurunuo de angulo ol radiano, ĉar ĝi ebligas skribi multajn kutimajn angulojn (ekzemple [[orto]]n) per [[entjero|entjera]] kvanto de gradoj. Por pli ĝusta mezuro de anguloj oni uzas aŭ [[dekuma frakcio|dekumajn frakciojn]] de grado aŭ minutojn kaj sekundojn.

[[Angula minuto]] estas 1/60 de grado. [[Angula sekundo]] estas 1/60 de angula minuto, do 1/3600 de grado. La simbolo de angula minuto estas ' kaj la simbolo de angula sekundo estas ".

Ekzemplo: 34,863° ~= 34°51'47"

Ambaŭ notaciojn oni uzas por indiki la angulojn de geografiaj [[longitudo]] kaj [[latitudo]], kiuj preskaŭ neniam estas indikataj per ne-gradaj unuoj.

=== Graduso ===
[[Dosiero:BadSalzdetfurthBadenburgerStr060529.jpg|eta|La indikilon de horloĝo kunformas diversajn tipojn de anguloj. En tiu okazo, [[akuta angulo]].]]
La [[graduso]] (mallongigo: gr) ankaŭ nomita '''gono''' (simbolo: gon, el la [[greka]] ''gônia'' = "angulo") estas angula mezurunuo egala al π / 200 [[radiano]]j, al centono de [[orto]], aŭ al 0,90 [[grado]]j. La graduso estas la konsekvenco el la invento de la metro, ĉar la metro estas la 40.000.000-ono de la ter-ĉirkaŭo, kiam oni onigas tiun ĉirkaŭon per 400 gr, 1&nbsp;km egalas al 1/100 da graduso. Pro tio, oni malbone komprenas ke oni ankoraŭ uzas la gradon en la aviadila kaj marveturada medioj kie la mezurunuoj estas la [[marmejlo]] (= 1 852 metroj) kaj la deksesonaj unuoj.

==== Nomo en Esperanto ====
Laŭ iuj, "graduso" en Esperanto ne nur estas mezurunuo por anguloj, sed ankaŭ por [[temperaturo]], intenseco de [[tertremo]]j, [[vento]]-intenseco, kaj tiel plu. Laŭ la ''[[Plena Ilustrita Vortaro]]'' kaj [[PIV2]], tamen, graduso estas nur mezurunuo por anguloj, egala al centono de orto. Ĉar orto egalas al 90 gradoj, unu graduso egalas al 0,9 [[grado]]j.

En la [[rusa lingvo|rusa]] grado nomiĝas "{{fremdlingve|ru|градус}}" [gradus], kaj graduso nomiĝas "{{fremdlingve|ru|град}}" [grad].

=== Anguliloj ===
[[Angulilo]] estas instrumento por mezuri, difini, transporti aŭ streki [[angulo]]n. Konsistas el cirkla aŭ duoncirkla disko kun angula skalo. La disko povas esti farita el plasto aŭ lado. Kutime la diametro estas inter 8 cm kaj 15 cm kun divido de 1° ([[grado]]) aŭ 0,5°. Por [[topografio|topografia mezurado]] ofte estas uzata skalo je [[graduso]]j. Ofte anguliloj estas integritaj en trianguloj por desegnado. En metioj, kie plejofte ne necesas perfekta precizeco, por transporti kaj streki angulojn estas uzata alĝustebla angulilo.

<gallery caption="Anguliloj">
Dosiero:Protractor katomierz.jpg|Angulilo por 360°
Dosiero:Set square Geodreieck.svg|[[Geotriangulo]] kun angulilo
Dosiero:Protractor.jpg|Angulilo kun liniilo por lerneja uzo
Dosiero:Medizinischer_Goniometer.jpg|Medicina angulilo
Dosiero:Electronic protractor.jpg|Elektronika angulilo
Dosiero:Zwaaihaak.jpg|Alĝustebla angulilo
</gallery>

== Specoj de anguloj ==
[[Dosiero:Right angle.svg|eta|maldekstra|150ra|[[Orta angulo]].]]
[[Dosiero:Reflex angle.svg|eta|dekstra|110ra|Granda angulo.]]
[[Dosiero:Angle obtuse acute straight.svg|eta|centre|250ra|Akuta (<var>a</var>), obtuza (<var>b</var>), kaj streĉita (<var>c</var>) anguloj. La akuta kaj obtuza anguloj estas konataj ankaŭ kiel oblikvaj anguloj.]]

Angulo de π/2 radianoj aŭ 90° (kvarono de plena cirklo) nomiĝas '''orta angulo'''. Anguloj pli malgrandaj ol orta angulo nomiĝas '''akuta angulo'''. Angulo pli granda ol orta angulo nomiĝas '''malakuta''' aŭ '''obtuza angulo'''.

Angulo de π radianoj aŭ 180° (duono de plena cirklo) nomiĝas '''streĉita angulo'''. Angulo malpli granda ol streĉita angulo nomiĝas '''konveksa angulo'''. Angulo pli granda ol streĉita angulo nomiĝas '''malkonveksa''' aŭ '''konkava angulo'''.

{| class=wikitable
| [[Dosiero:Adjacency angles.svg|145ra]] <br /> [[Suplementaj anguloj]] ''α'' kaj ''β'' : ''α+β=π''
| [[Dosiero:Supplementary angles.png|145ra]] <br /> [[Suplementaj anguloj]] ''α'' kaj ''β'' : ''α+β=π''
| [[Dosiero:Complementary angles.png|145ra]] <br /> [[Komplementaj anguloj]] ''α'' kaj ''β'' : ''α+β=π/2''
| [[Dosiero:Vertical angles.png|145ra]] <br /> [[Vertikalaj anguloj]] ''α'' kaj ''β'' : ''α=β''
|}

Du anguloj estas nomataj [[komplementaj anguloj]] kiam ilia sumo egalas la ortan angulon, t.e. π/2 radianoj (aŭ 90°). Konsekvence, du komplementaj apudaj anguloj formas ortan angulon. Du komplementaj anguloj ne necese estas apudaj. Ekzemple en orta triangulo, la du anguloj apudaj al la hipotenuzo estas komplementaj, ĉar la sumo de ĉiuj anguloj de la triangulo estas π radianoj kaj la tria angulo egalas π/2 radianojn.

En [[cirklo]], [[centra angulo]] estas angulo kies [[Apekso (geometrio)|apekso]] ([[Vertico (geometrio)|vertico]]) estas en la [[Centro (matematiko)|centro]] de la cirklo kaj kies du flankoj estas du [[Radiuso|radiusoj]] de cirklo. La grando de la angulo en [[Radiano|radianoj]] egalas al la longo de la [[Arko (geometrio)|arko]], kiun ĉi tiu angulo intersekcas de cirklo kies radiuso egalas 1. La grando de la centra angulo Θ estas 0° < Θ < 360 ° (notita en [[Grado|gradoj]]) aŭ 0 < Θ < 2π radianoj.

== Galerio de anguloj ==
{|
| [[Dosiero:Angulo000.svg|100ra]]
| [[Dosiero:Angulo015.svg|100ra]]
| [[Dosiero:Angulo030.svg|100ra]]
| [[Dosiero:Angulo045.svg|100ra]]
| [[Dosiero:Angulo060.svg|100ra]]
| [[Dosiero:Angulo075.svg|100ra]]
|-
| align=center | <math> 0^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 15^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 30^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 45^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 60^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 75^{\circ} \, </math>
|-
| [[Dosiero:Angulo090.svg|100ra]]
| [[Dosiero:Angulo105.svg|100ra]]
| [[Dosiero:Angulo120.svg|100ra]]
| [[Dosiero:Angulo135.svg|100ra]]
| [[Dosiero:Angulo150.svg|100ra]]
| [[Dosiero:Angulo165.svg|100ra]]
|-
| align=center | <math> 90^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 105^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 120^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 135^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 150^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 165^{\circ} \, </math>
|-
| [[Dosiero:Angulo180.svg|100ra]]
| [[Dosiero:Angulo195.svg|100ra]]
| [[Dosiero:Angulo210.svg|100ra]]
| [[Dosiero:Angulo225.svg|100ra]]
| [[Dosiero:Angulo240.svg|100ra]]
| [[Dosiero:Angulo255.svg|100ra]]
|-
| align=center | <math> 180^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 195^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 210^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 225^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 240^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 255^{\circ} \, </math>
|-
| [[Dosiero:Angulo270.svg|100ra]]
| [[Dosiero:Angulo285.svg|100ra]]
| [[Dosiero:Angulo300.svg|100ra]]
| [[Dosiero:Angulo315.svg|100ra]]
| [[Dosiero:Angulo330.svg|100ra]]
| [[Dosiero:Angulo345.svg|100ra]]
|-
| align=center | <math> 270^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 285^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 300^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 315^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 330^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 345^{\circ} \, </math>
|-
| [[Dosiero:Angulo360.svg|100ra]]
|-
| align=center | <math> 360^{\circ} \, </math>
|}

== Pozitivaj kaj negativaj anguloj ==
En du-dimensia [[kartezia koordinato|kartezia]] koordinata sistemo] angulo estas tipe difinita per ĝiaj du [[latero]]j, kun ĝia [[vertico]] ĉe la origino. La komenca latero estas sur la pozitiva x-akso, dum la alia latero estas difinita per la mezuro de la komenca flanko en radianoj, gradoj aŭ turnoj. Kun pozitivaj anguloj reprezentantaj turnoj al la pozitiva y-akso kaj negativaj anguloj reprezentantaj turnoj al la negativa y-akso. Kiam karteziaj koordinatoj estas reprezentitaj per norma pozicio, difinitaj per la x-akso dekstre kaj la y-akso supren, pozitivaj rotacioj estas [[horloĝodirekto|kontraŭhorloĝodirekte]] kaj negativaj rotacioj estas [[horloĝodirekto|horloĝodirekte]].

== Konstruado de anguloj ==
Iuj anguloj estas konstrueblaj [[Konstruado per rektilo kaj cirkelo|per rektilo kaj cirkelo]]. Tiuj estas la 90-grada, 60-grada, 72-grada kaj 54-grada kaj ĉiuj anguloj estigeblaj per duobligado, duonigado, adicio, aŭ subtraho de ili.

Por la anguloj <math>0^\circ<\alpha\leq180^\circ</math>, proksimiĝa konstruo estas farebla per helpo de la Tria [[Teoremo de Tranĉataj Paralelaĵoj]] kombinata kun nombraj aksoj.

=== Konstruo de 90-grada angulo (orto) ===
{{Ĉefartikolo|Orto}}
La konstruo de 90-grada angulo rezultigas la rekton tra donita punkto P ortan al donita rekto <math>r</math>.

<div style="float:right;">[[Dosiero:Konstruktion Senkrechte 2.svg|eta|Konstruo je donita punkto ekster donita rekto (ortofaligo)]]</div>
<div style="float:right;">[[Dosiero:Konstruktion Senkrechte 1.svg|eta|Konstruo je donita punkto sur donita rekto (t.e. donita rekto kaj vertico)]]</div>
# Desegnu [[cirklo]]n ĉirkaŭ <math>P</math> kun radiuso pli granda ol la proksimo de la punkto al la rekto. (Se la punkto <math>P</math> estas sur la rekto <math>r</math>, la radiuso de la cirklo povas esti arbitra). Ĝi sekcas <math>r</math> ĉe du punktoj.
# Desegnu ĉirkaŭ ambaŭ sekcoj cirklon tiel, ke la du cirkloj sekcas unu la alian ĉe du punktoj.<!--T.e. ili ne estu tiel malgrandaj, ke ili ne tuŝas unu la alian, nek unu estu tiel granda, ke ĝi tute enfermas la alian.-->
# Desegnu rekton tra la du sekcopunktoj de la novaj cirkloj. Tiu rekto sekcas <math>r</math> orte kaj trairas <math>P</math>.

== Ĉiutaga kaj figura senco ==
Angulo estas nefermita spaco limigita de du aŭ kelkaj sin reciproke renkontantaj surfacoj; ekzemple "La veturilo turnis angulen."
En figura senco angulo estas malvasta, malofte vizitata aŭ rigardata loko.
Angulo ankaŭ povas esti nedifinita loko ("la kvar anguloj de la tero").

== Vidu ankaŭ ==
[[Dosiero:Circle arc.svg|eta|300ra|[[Cirkla sektoro]] ''A'' montrita en verda estas de radiuso ''r'', angulo ''θ'' kaj longo ''L'' laŭ la cirkla perimetro]]
* [[Algebro]]
* [[Angulilo]]
* [[Arko (geometrio)|Arko]]
* [[Cirkla sektoro]]
* [[Duedra angulo]]
* [[Ebena angulo]]
* [[Grado]]
* [[Graduso]]
* [[Radiano]]
* [[Solida angulo]]
* [[Trigonometrio]]

== Notoj ==
{{Referencoj}}

== Bibliografio ==
* Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales, eld. (1999). Diccionario esencial de las ciencias. Espasa. ISBN 84-239-7921-0.
* [http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Medicion_de_angulos/angulo1.htm] descartes.cnice.mec.es. Konsultita la 27an de Novembro 2017.
* Gilles Cohen (dir.), Les angles sous tous les angles, Bibliothèque Tangente , Numéro 53, Editions Pôle Paris, 2015, (rete) [http://publimath.irem.univ-mrs.fr/biblio/AAT15039.htm].
* David A. Wallis, «History of Angle Measurement», en Proceedings, FIG Workshop Week 2005 & 8th International Conference on the Global Spatial Data Infrastructure, Kairo, aprilo 2005 [https://www.fig.net/resources/proceedings/fig_proceedings/cairo/papers/wshs_01/wshs01_02_wallis.pdf] Konsultita la 27an de Novembro 2017.

== Eksteraj ligiloj ==
{{Projektoj|q=Angulo|ReVo=angul}}
* http://zz-www.sd.cninfo.net/song/law/mainlaw/min/lawn/n30.htm {{Webarchiv|url=https://web.archive.org/web/20050323051714/http://zz-www.sd.cninfo.net/song/law/mainlaw/min/lawn/n30.htm |date=2005-03-23 }}
* http://calc.skyrocket.de/en {{Webarchiv|url=https://web.archive.org/web/20060208020114/http://calc.skyrocket.de/en/ |date=2006-02-08 }} Angulo
* http://www.bookrags.com/sciences/mathematics/angle-wom.html
* http://www.ftw.kuleuven.ac.be/schoolverlater/formularium.shtml {{Webarchiv|url=https://web.archive.org/web/20060628235419/http://www.ftw.kuleuven.ac.be/schoolverlater/formularium.shtml |date=2006-06-28 }}
* [http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/history/ausstell/winkelmesser/index.html Ausstellung „Historische Winkelmesser“]
* http://mathforum.org/library/drmath/view/55451.html

== Fontoj ==
* {{ReVo|angul|Angulo}}.

{{Havenda artikolo|Angulo}}
{{Bibliotekoj}}

[[Kategorio:Geometrio]]
[[Kategorio:Angulo| ]]