Vidi fonton por Analitiko

[[Dosiero:Gottfried Wilhelm von Leibniz.jpg|eta|[[Gottfried Wilhelm Leibniz]]]]
[[Dosiero:Sir Isaac Newton by Sir Godfrey Kneller, Bt.jpg|eta|[[Isaac Newton]]]]
[[Dosiero:Cauchy Augustin Louis dibner coll SIL14-C2-03a.jpg|eta|[[Augustin Louis Cauchy]]]]
[[Dosiero:Bernhard Riemann 1.jpg|eta|[[Bernhard Riemann]]]]
'''Analitiko''', '''matematika analizo''' aŭ simple '''analizo''' (el la [[greka]]: {{lang|gr|ανάλυσις}} ''análysis'', solvado, [[antikva greka lingvo|greke]]: {{lang|gr|ἀναλύειν}} ''analýein'', solvi) estas branĉo de [[matematiko]], kiu temas pri [[reela nombro|reelaj]] kaj [[kompleksa nombro|kompleksaj nombroj]] kaj iliaj [[funkcio]]j. Ĝi komenciĝis per la rigorigo de la [[infinitezima kalkulo]] kaj studas [[koncepto]]jn kiel, ekzemple, [[kontinueco]], [[derivaĵo (matematiko)|derivaĵoj]] kaj [[integralo]]j.

== Historio ==
En la [[antikva epoko]] kaj en la [[mezepoko]] grekaj kaj hindaj [[matematikisto]]j interesiĝis pri [[infinitezima kalkulo]] kaj atingis promesplenajn sed fragmentajn rezultojn. Pro historiaj kialoj iliaj tujaj posteuloj ne povis uzi tiujn rezultojn kaj daŭrigi la malkovradon.

Moderna analitiko estis fondita en la [[17-a jarcento]] per [[infinitezima kalkulo]] fare de [[Isaac Newton]] kaj [[Gottfried Wilhelm Leibniz]]. En la 17-a jarcento la temoj de analitiko, kiel infinitezima kalkulado, [[diferenciala ekvacio|diferencialaj ekvacioj]], la [[analitiko de Fourier]], kaj tiel plu evoluiĝis ĉefe el praktikaj laboroj. Teknikoj de infinitezima kalkulo etis uzataj sukcese por alproksimiĝi problemojn.

Dum la tuta [[18-a jarcento]] la difino de [[Funkcio (matematiko)|funkcioj]] estis debata temo inter matematikistoj. En la [[19-a jarcento]] [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]] estis la unua, kiu donis logikan fondaĵon al infinitezima kalkulado enkondukinte la koncepton de la [[koŝia vico]]. Li komencis ankaŭ la formalan teorion de [[kompleksa analitiko]]. [[Siméon Denis Poisson|Poisson]], [[Joseph Liouville|Liouville]], [[Jean Baptiste Joseph Fourier|Fourier]] kaj aliaj studis ekvaciojn kaj [[Furiera analizo|harmonian analitikon]].

Meze de la 19-a jarcento [[Bernhard Riemann|Riemann]] enkondukis sian teorion pri [[integrado]], la [[integralo de Riemann|integralon de Riemann]]. Dum la tria triono de la 19-a jarcento, analitiko [[Aritmetiko|aritmetikiĝas]] fare de [[Karl Weierstrass]], kiu opiniis ke [[Geometrio|geometria]] rezonado estis misgvida. Li enkondukis ankaŭ la difinon de ε-δ de [[limeso]].
Sekve matematikistoj ekzorgis pri la fakto, ke ili supozis senpruve la ekziston de kontinua vico de [[reala nombro|realaj nombroj]].

== Konceptoj de analitiko ==
=== Aroteorio ===
{{Ĉefartikolo|Aroteorio}}
Aroteorio (aŭ arteorio) estas branĉo de [[matematiko]] kaj [[komputiko]] kreita ĉefe de la germana matematikisto [[Georg Cantor]] fine de la [[19-a jarcento]]. Ĝi komence estis disputata, sed nuntempe iĝis grava en la fundamentteorio por difini bazajn konceptojn kiel nombro. Komence oni evoluigis la naivan aŭ intuician arteorion, kiun oni povas difini jene:

La bazaj konceptoj de arteorio estas aroj kaj membreco. Aro estas kolekto de objektoj, nomitaj membroj (aŭ elementoj) de la aro. La membroj povas esti ekzemple nombroj, funkcioj, aŭ aroj mem. Oni skribas la arojn per la ondkrampoj { kaj }. Do {1,2} estas aro, kaj ankaŭ {1,2,3,4,...} (la infinita aro de la naturaj nombroj, nomata N), kaj eĉ {2,3,N}, do la membroj ne devas esti de la sama klaso. Ankaŭ la malplena aro {} estas konsiderata aro.

Al tiaj aroj oni povas apliki diversajn operaciojn, kiel la kunaĵon kaj la komunaĵon. Tamen montriĝis ke, se oni aplikas ĉiujn operaciojn senlime, aperas paradoksoj kiel la [[Rusela paradokso]]. Por solvi tiujn problemojn, oni rekonstruis la arteorion uzante aksioman metodon.

=== Funkcioj ===
{{Ĉefartikolo|Funkcio (matematiko)}}
Se oni havas du [[aro (matematiko)|arojn]] ''X'' kaj ''Y'', oni povas establi diversajn konformecojn inter iliaj elementoj, kiujn oni esprimas per ''f'', ''g'', ''h'', … simboloj. La konformeco inter aroj ''X'' kaj ''Y'', estas nomata '''funkcio''' (aŭ '''bildigo'''), se al ĉiu elemento de ''X'' konformas unusola elemento el ''Y''. La signo de la funkcio estas : ''y = f(x)'', kie ''x'' estas nedependa variablo, kaj ''y'' - dependa variablo.

:'''nedependa variablo''' (argumento) - la [[esprimo|variablo]], por ĉiu el kies valoroj estas donita responda valoro de funkcio.

:'''Dependa variablo''' - la [[esprimo|variablo]] donita per la valoroj de de funkcio; ekz. en la funkcio sin, ''x'' - estas la nedependa variablo (argumento), dum '''sin x''' estas dependa variablo.

Aro ''X'' nomiĝas '''kampo de difino''' aŭ [[argumentaro]], simbole ''D(f)'', kaj aro ''Y'' - '''kampo de valoroj''' aŭ [[cela aro]], simbole ''E(f)''. Funkcio povas esti donita, se estas konata ĝia argumentaro kaj regulo de konformeco. Dume, la rimedoj por esprimo de la regulo povas esti diversaj:

* '''Tabela''' - per la vicoj de argumentoj kaj ĝiaj konformaj signifoj;
* '''Grafika''' - la aro de la punktoj M(x;y) sur la kartezia sistemo, prezentita laŭ formo de la rekto aŭ kurbo;
* '''Analiza''' - per formulo, ekz. y = 3 x² + 1.

=== Limeso ===
{{Ĉefartikolo|Limeso}}
En [[matematiko]] la '''limeso''' aŭ '''limvaloro''' estas kvanto difinita laŭ certa regulo, kiu varias depende de tio ĉu temas pri ''limeso de funkcio'' aŭ ''limeso de vico'', kaj ĉu temas pri ''limeso ĉe punkto'' aŭ ''limeso ĉe malfinio''. La intuitiva ideo de ĉiuj tiuj difinoj de limeso estas ke ĝi estas la punkto al kiu iu kvanto alproksimiĝas. Ekzemple la vico (1/n) (do 1, 1/2, 1/3, ...) alproksimiĝas al 0 kiam n "alproksimiĝas" al [[malfinio]].

La formala difino de limeso de [[vico]] estas jena:

<math> \lim_{n \to \infty} a_n = a \quad \Longleftrightarrow \quad \forall \epsilon>0: \ \exists N\in\mathbb{N}: \ \forall n>N: \quad |a_n-a|<\epsilon </math>

Tio signifas en vortoj: Oni povas atingi ĉian proksimecon al la limeso '''a''' se oni nur rigardas sufiĉe altajn valorojn de a<sub>n</sub>.
Ankaŭ eblas esprimi tiun difinon tiel: Por tute libere elektita <math>\epsilon > 0</math> preskaŭ ĉiuj elementoj de la vico <math>a_n</math>, krom finita aro de elementoj de <math>a_n</math>, ne diferencas pli ol <math>\epsilon</math> de '''a'''. Tiam '''a ''' estas limeso de la vico.
[[Konverĝa serio]] estas [[serio (matematiko)|serio]] kiu havas limeson de vico de ĝiaj partaj sumoj.

=== Serio ===
{{Ĉefartikolo|Serio (matematiko)}}
'''Serio''' en [[matematiko]] estas [[vico]] '''u''', konsiderata kune kun ties vico '''v''' de partaj sumoj: '''v<sub>n</sub>=u<sub>0</sub>+u<sub>1</sub>+... +u<sub>n</sub>''', t.e.

:v<sub>1</sub>=u<sub>0</sub>+u<sub>1</sub>
:v<sub>2</sub>=u<sub>0</sub>+u<sub>1</sub>+u<sub>2</sub>
:....
:v<sub>j</sub>=u<sub>0</sub>+u<sub>1</sub>+... +u<sub>j</sub>
:......
:v<sub>n</sub>=u<sub>0</sub>+u<sub>1</sub>+... +u<sub>j</sub>+... +u<sub>n</sub>

Pri maksimuma donita [[entjero]] '''n''', la serio estas '''finia serio''', kaj serio kun [[nefinia]] nombro de [[termo]]j estas '''nefinia serio'''.

La '''[[harmona serio]]''' estas tiu serio, kies ĝenerala [[termo]] egalas al 1/n; ĝi ne konverĝas.

La '''geometria''' serio estas tiu, kiu baziĝas sur geometria [[progresio]]; ĝi konverĝas, nur se la absoluta valoro de ĝia kvociento estas strikte malpli granda ol 1.

=== Derivaĵo ===
{{Ĉefartikolo|Derivaĵo (matematiko)|}}
'''Derivaĵo''' estas unu el la bazaj konceptoj de analitiko kaj [[infinitezima kalkulo]], kune kun la [[integralo]]. La derivaĵo de [[funkcio (matematiko)|funkcio]] ĉe iu ajn [[Punkto (matematiko)|punkto]] estas la [[angula koeficiento]] de la [[grafeo]] de la funkcio ĉe tiu punkto.

En analitiko la derivaĵo de reela funkcio de reela variablo <math>f(x)</math> en la punkto <math>x_0</math> estas difinita kiel la [[limeso]] de la [[inkrementa rilatumo]] konverĝanta al 0 de h, se ĝi ekzistas kaj estas finia.

[[Dosiero:What is derivative (animation).gif|eta|Klarigo, donanta la komencan intuician ideon pri la derivaĵo, kiel la "grado" de funkcioŝanĝo, dum la argumento ŝanĝiĝas.]]

Pli precize, funkcio <math>f(x)</math>difinita en [[ĉirkaŭaĵo]] <math>x_0\quad</math> estas derivebla en la punkto <math>x_0</math> se ekzistas kaj estas finia la limeso:

:<math>{\mathop {\lim_{h \to 0}} {{f\left( {x_0 + h} \right) - f\left( x_0 \right)} \over h}}</math>

La valoro de ĉi tiu limeso nomiĝas derivaĵo de la funkcio en la punkto <math>x_0</math>. Se funkcio <math>f(x)</math> estas derivebla en ĉiu punkto de la intervalo <math>(a,b)</math>, tiam oni diras, ke la funkcio estas derivebla en <math>(a,b)\quad</math>.

Ekzistas pluraj malsamaj simbolaj notacioj por derivaĵo de funkcio <math>f</math> en punkto <math>x_0</math>:

* Laŭ la notacio de [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]]
::<math>f ^{\prime} (x_0).</math>

* Laŭ la notacio de [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]]
::<math>\operatorname D \left[{f}({x_0})\right].</math>

* Laŭ la notacio de [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]]:
::<math>\frac {\mathrm d f(x_0)}{\mathrm d x}.</math>

* La historie unua notacio estas ankoraŭ uzata en [[fiziko]]:
:: <math>\left(\frac {\mathrm d f}{\mathrm d x} \right)_{(x_0)}.</math>

* Laŭ la notacio de [[Isaac Newton|Newton]], derivaĵo rilate al la [[tempo]] ''t'':
::<math>\dot f(t_o).</math>

=== Integralo ===
{{Ĉefartikolo|Integralo}}
'''Integralo''' estas unu el la ĉefaj konceptoj de [[kalkulo]]. Ĝi estas la [[areo]] inter la [[grafeo]] de [[funkcio]] kaj la x-akso.

[[Dosiero:Integral as region under curve.png|eta|dekstra|250px|Difinita integralo <math> \int_{a}^{b} f(x)\, dx </math> estas la areo ''S'' sub la kurbo]]

'''Difinita integralo''' estas la mezuro de la areo limigita de la grafo, la ''x''-akso kaj la du limoj de la difinita integralo. Oni do ĉiam devas skribi la limojn de integralo. La kutima skribmaniero por integralo de la funkcio <math>f(x)</math> kun la limoj <math>a</math> kaj <math>b</math> estas

:<math> \int_{a}^{b} f(x)\, dx . </math>

'''Nedifinita integralo''' estas integralo kies limoj ne estas specifitaj.

:<math> \int f(x) \, dx . </math>

'''Integralo kun variabla supra limo''' estas funkcio, kies valoro ĉe la punkto ''x'' ĉiam estas la valoro de

:<math> \int_{a}^{x} f(x)\, dx </math>
kie ''a'' estas konstanto nedependa de ''x''.

'''Integralo kun variabla suba limo''' estas funkcio, kies valoro ĉe la punkto ''x'' ĉiam estas la valoro de

:<math> \int_{x}^{a} f(x)\, dx </math>
kie ''a'' estas konstanto nedependa de ''x''.

'''Malpropra integralo''' estas integralo, kiu havas senfinan limo-supron . Tiaj integraloj eblas estimi kiel [[limeso]]-integralo:
:<math> \lim_{x \to \infty} \int_{x}^{a} f(x)\, dx </math>

Integralo estas la inverso de [[derivaĵo (matematiko)|derivaĵo]], kiel diras la [[Fundamenta teoremo de kalkulo]]. Tio signifas ke se oni kalkulas la derivaĵon de integralo, la rezulto estos la komenca funkcio.

Tiel, se <math>g(x)</math> estas malderivaĵo de <math>f(x)</math>, do ankaŭ <math>g(x)+C</math> estas malderivaĵo de <math>f(x)</math> por ĉiu konstanto <math>C</math> nedependa de <math>x</math>. Tiel malderivaĵo estas fakte ne unu funkcio sed aro de funkcioj, diferenciĝantaj per aldono de konstanto. Ekzemple

:<math> \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C </math>

=== Serio de Taylor ===
{{Ĉefartikolo|Serio de Taylor}}
'''Serio de Taylor''' estas prezento de [[funkcio (matematiko)|funkcio]] kiel [[serio (matematiko)|serio]] (malfinia sumo de [[termo]]j kalkulitaj laŭ valoroj de [[derivaĵo (matematiko)|derivaĵoj]] de la funkcio je sola punkto. Se la punkto kie estas kalkulitaj derivaĵoj estas nulo, la serio estas nomata ankaŭ kiel '''serio de Maclaurin'''.

La serio de Taylor de [[reela nombro|reela]] aŭ [[kompleksa nombro|kompleksa]] funkcio ''f(x)'', kiu estas [[malfinie diferencialebla funkcio|malfinie diferencialebla]] en [[najbaraĵo (matematiko)|najbaraĵo]] de nombro ''a'', estas la [[potencoserio]]

:<math>f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots</math>

aŭ la samo alie skribita:

:<math>\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}\,,</math>

kie ''n''! estas la [[faktorialo]] de ''n''
: ''f<sup>(n)</sup>(a)'' estas la ''n''-a [[derivaĵo (matematiko)|derivaĵo]] de ''f'' komputita je punkto ''a''; la nula derivaĵo de ''f'' estas difinita kiel la ''f'' mem.

Ĉi tie estas uzataj ''(x-a)<sup>0</sup>=1'' kaj 0!=1.

Sub certaj kondiĉoj (vidu sube), serio de Taylor de ''f(x)'' egalas al ''f(x)'' mem por ĉiuj ''x'' sufiĉe proksimaj al ''a''.

== Subfakoj de analitiko ==
Analitiko konsistas krom el la [[Diferenciala kalkulo|diferenciala]] kaj la [[Integrala kalkulo|integrala kalkuloj]] el aliaj subfakoj. Inter tiuj estas la teorio pri kutimaj kaj partaj [[Diferencialaj ekvacioj|diferencialaj ekvacioj]], [[Variada kalkulo|variada kalkulo]], [[Vektora kalkulo|vektora kalkulo]], [[Mezurteorio|mezura analitiko]] kaj [[Funkcionala kalkulo|funkcionala kalkulo]].

=== Infinitezima kalkulo ===
{{Ĉefartikolo|Infinitezima kalkulo}}
'''Infinitezima kalkulo''' aŭ '''senfinecona kalkulo''' estas branĉo de [[matematiko]] kiu entenas la [[diferenciala kalkulo|diferencialan kalkulon]] kaj la [[integrala kalkulo|integralan kalkulon]], kiuj estas kunigitaj per la [[fundamenta teoremo de infinitezima kalkulo]]. La infinitezima kalkulo estas rigorigita en la analitiko.

La infiniteziman kalkulon malkovris en la [[17-a jarcento]] [[Newton]] kaj [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]], kiuj uzis infinitezimajn [[kvanto]]jn por determini tangentojn de [[kurbo]]j aŭ por faciligi kalkulon de longoj kaj areoj de la kurbaj figuroj.

En la diferenciala kalkulo, oni kalkulas la [[derivaĵo (matematiko)|derivaĵojn]] de [[funkcio]]j, dum en la integrala kalkulo oni kalkulas la [[integralo]]jn de funkcioj. La fundamenta teoremo de infinitezima kalkulo diras ke la [[nedifinita integralo]] de funkcio ĉiam estas [[malderivaĵo]] de tiu funkcio, do ke la derivaĵo de la nedifinita integralo de funkcio f ĉiam egalas al f.

=== Diferenciala kalkulo ===
{{Ĉefartikolo|Diferenciala kalkulo}}
Ĉe lineara funkcio, kiel ekzemple [[rekto]]

:<math>g(x) = mx + c</math>

estas ''m'' la inklino kaj ''c'' la y-aksa sekcio aŭ [[Kartezia koordinato|ordinata]] sekkcio de la rekto. Kiam estas nur du punktoj <math>(x_0, y_0)</math> kaj <math>(x_1, y_1)</math> sur rekto, tiam eblas kalkuli la inklinon per

:<math>m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}.</math>

Ĉe ne-linearaj funkcioj, kiel ekzemple <math>f(x) = x^2</math> ne eblas tiel kalkuli la inklinon, ĉar ili priskribas kurbiĝojn, kiuj do ne estas rektoj.
Tamen eblas meti en unu punkton <math>(x_0, f(x_0))</math> [[tanĝanto]]n, kiu denove estas rekto.
La problemo estas nun kalkuli la inklinon de tia tanĝanto en unu loko <math>x_0</math>.
Se oni elektas lokon <math>x_1</math> tute proksiman al <math>x_0</math> kaj metas rekton tra la punktoj <math>(x_0, f(x_0))</math> kaj <math>(x_1, f(x_1))</math>, tiam la inklino de tiu [[sekanto]] estas la inklino de la tanĝanto. La inklino de la sekanto estas (vidu supre)

:<math>m = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}.</math>

Tiun [[kvociento|kvocienton]] oni nomas [[diferenciala kvociento]] aŭ meza modifa indico. Kiam oni alproksimigas la lokon <math>x_1</math> pli kaj pli al <math>x_0</math>, tiam per la diferenciala kvociento troveblas la inklino de la tanĝanto. Do:

:<math>f'(x_0) = \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}</math>

kio estas la diferenciala kvociento de ''f'' en <math>x_0</math>.
La esprimo <math>\lim_{x\rightarrow x_0}</math> signifas, ke ''x'' alproksimiĝas pli kaj pli al <math>x_0</math>, tio estas, ke la distanco inter ''x'' kaj <math>x_0</math> iĝas pli kaj pli malgranda. Eblas diri ankaŭ, ke: „''x'' alproksimiĝas <math>x_0</math>“. La indiko <math>\lim</math> signifas la limon.
:<math>f^\prime (x_0)</math> estas la limo de la diferenciala kvociento.

Ekzistas ankaŭ kazoj, kie tiu limo ne ekzistas. Tial oni enkondukis la terminon de diferencialeblo. Funkcio ''f'' estas diferencialebla en la loko <math>x_0</math>, se ekzistas la limo <math>\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}</math>.

=== Integrala kalkulo ===
{{Ĉefartikolo|Integrala kalkulo}}
Integrala kalkulo temas pri la kalkulo de areoj sub funkcigrafoj. Tian areon oni povas alproksimiĝi pere de sumoj de partaj areoj kaj atingas ĉe la limvaloro la integralon, por klaso de funkcioj, la tiel nomataj integreblaj funkcioj, kiu inkluas la kontinuajn funkciojn. En tiu klaso, difino de integralo estas

:<math>\int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm{d}x =  \lim_{n \to \infty} \frac{b-a}{n} \sum_{i=0}^{n-1} f\left(a+i \frac{b-a}{n}\right).</math>

=== Harmona analitiko ===
{{Ĉefartikolo|Harmona analitiko}}
La '''Harmona analitiko''' aŭ '''[[analitiko de Fourier]]''' estas metodo, malkovrita de [[Jean-Baptiste Joseph Fourier]], kiu
: <math> f(x)= \sum_{n=0}^\infty \left[ a_n \cos \left( \frac{2 \pi n x}{T} \right) + b_n \sin \left( \frac{2 \pi r x}{T} \right) \right]</math>

la terminoj <math>a_n</math> kaj <math>b_n</math> nomatas [[koeficiento]]j de Fourier kaj kalkulendas tiel:
: <math> a_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \cos \left( \frac{2 \pi n x}{T} \right) dx </math>
: <math> b_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \sin \left( \frac{2 \pi n x}{T} \right) dx </math>

=== Funkcia analitiko ===
Funkcia analitiko estas la fako de [[matematiko]], kaj specife de la analitika matematiko, kiu temas pri la studo de [[Funkcia spaco|spacoj de funkcioj]].<ref>Yosida, K.: Functional Analysis, Springer-Verlag, 6a eldono, 1980</ref> Tiuj spacoj havas siajn historiajn radikojn en la studo de transformoj kiaj la Dueco de Pontryagin aŭ transformo de Fourier kaj en la studo de la [[Diferenciala ekvacio|diferencialaj ekvacioj]] kaj de la integralaj ekvacioj. La vorto ''funkcia'' devenas de la [[variada kalkulo]], kiu konsistas en funkcio kies aserto estas funkcio. Ĝian ĝeneralan uzadon oni atribuis al [[Vito Volterra|Volterra]]. 

En la dekomenca moderna kompreno, oni konsideris la funkcian analitikon kiel studo de la [[Kompleta metrika spaco|kompletaj]] normigitaj vektoraj spacoj pri la [[Reelo|reelaj]] aŭ la [[Kompleksa nombro|kompleksaj nombroj]]. Tiaj spacoj nomiĝas [[Banaĥa spaco|spacoj de Banach]]. Grava ekzemplo estas la [[Hilberta spaco|spaco de Hilbert]], en kiu la normo eliras de [[skalara produto]]. Tiuj spacoj estas de fundamenta gravo en la matematika formulado de la [[kvantuma mekaniko]]. Pli ĝenerale kaj moderne, la funkcia analitiko inkludas la studon de la [[Freŝea spaco|spacoj de Fréchet]] kaj de aliaj vektoraj spacoj laŭloke konveksaj kaj eĉ topologiaj. 

Grava studobjekto en funkcia analitiko estas la kontinuaj [[Lineara transformo|linearaj operaciiloj]] difinitaj en la spacoj de Banach kaj de Hilbert. Tiuj kondukas nature al la difino de C-stela algebro kaj de aliaj [[algebro]]j de operaciiloj. 

La spacoj de Hilbert povas esti klasitaj totale: estas unika spaco de Hilbert kiel modulo [[izomorfio|izomorfia]] por ĉiu [[Povo de aro|kardinalo]] de la bazo (hilbert-a). Ĉar la spacojn de Hilbert fini-dimensiaj oni komprenas komplete en [[lineara algebro]], kaj ĉar la morfismoj de la spacoj de Hilbert estas divideblaj ĉiam en morfismoj de spacoj kun dimensieco [[Listo de nombroj#Transfinitaj nombroj|alef-0]] (<math>\aleph_0</math>), la funkcia analitiko de Hilbert temas ĉefe pri la unika spaco de Hilbert de dimensieco alef-0, kaj ties morfismos. 

La ĝeneralaj spacoj de Banach estas multe pli komplikaj ol la spacoj de Hilbert. Ĉar spaco de Banach estas vektora spaco, bazo estas sistemo de generatoroj lineare nedependaj. Tiu koncepto, kiam la dimensio ne estas finia, kutime mankas utileco; anstataŭas ĝin tiu de fundamenta aro.

=== Variada kalkulo ===
{{Ĉefartikolo|Variada kalkulo}}
'''Kalkulo de variadoj''' estas kampo de matematiko kiu okupiĝas pri trovado de [[Maksimumo kaj minimumo|ekstremumaj]] [[Funkcio (matematiko)|funkcioj]] de funkcionaloj. La ekstremumaj funkcioj estas tiuj ĉe kiuj donita funkcionalo atingas maksimuman aŭ minimuman valoron. Ĉi tiuj funkcionaloj kutime estas integraloj engaĝantaj nekonatan funkcion kaj ĝiajn derivaĵojn. Tiel kalkulo de variadoj rilatas al funkcionaloj same kiel ordinara infinitezima kalkulo rilatas al funkcioj.

Unu el la plej simplaj ekzemploj de ĉi tia problemo estas trovado de kurbo kiu estas la plej mallonga konekto de du [[punkto]]j. Se ne estas limigoj, la solvaĵo estas evidente [[rekta streko]] inter la punktoj. Tamen, se la kurbo estas limigita al kuŝi sur surfaco en spaco, la solvaĵo estas malpli evidenta, kaj eble multaj malsamaj samlongaj solvaĵoj povas ekzisti. Ĉi tiaj solvaĵoj estas la geodeziaj kurboj. Rilatanta problemo estas afektita per principo de Fermat en [[optiko]]: [[lumo]] sekvas la vojon de plej mallonga optika longo konektanta la du punktojn, kie la optika longo dependas de la materialo tra kiu iras la lumo. Unu respektiva koncepto en [[mekaniko]] estas la principo de plej malgranda ago.

Multaj gravaj problemoj engaĝas funkciojn de kelkaj variabloj. Solvaĵoj de randaj valoraj problemoj por la [[Laplaca ekvacio]] kontentigas la principon de Dirichlet. Problemo de Plateau postulas trovadon de surfaco de minimuma areo kiu havas donitan randon en spaco; eksperimente la solvaĵoj povas troviĝi per drata konturo kaj sapa solvaĵo. Povas esti pli ol unu loke minimumiganta surfaco, kaj ili povas havi ne simplajn topologiojn.

=== Mezurteorio ===
{{Ĉefartikolo|Mezuro (matematiko)}}
'''Mezurteorio''' estas kampo de matamatika analizo, en kiu oni provas krei funkcion de subaroj, kiu en iu senco mezuras la grandon de tiuj subaroj. Ekzemple, en <math>\mathbb R</math> oni volas funkcion <math>\mu</math>, kiu mezuras <math>\emptyset</math> kiel 0, la [[intervalo]] <math>[0,1]</math> kiel 1, kaj la tuta aro <math>\mathbb R</math> kiel <math>\infty</math>, pli precize oni volas ĝeneraligi mezuron de longo. Simile en <math>{\mathbb R}^n</math>, oni volas ĝeneraligi la <math>n</math>-ampleksan volumenon. Tiun mezuron oni nomas [[Lebega mezuro]]. Sed oni povas meti aliajn mezurojn sur aro. Ekzemple se la tuta aro mezuras 1, tiam la mezuro estas mezuro de [[probableco]]: se subaro <math>X</math> havas mezuron <math>p</math>, tiam la probableco, ke hazarde elektita punkto estas en <math>X</math>, estas <math>p</math>. Oni ankaŭ volas ke la funkcio havas certajn ecojn, kiuj ankaŭ havas mezurojn de longo, areo, volumeno. Sed tiam oni trovas, ke ĝenerale oni ne povas difini mezuron de ĉiuj subaroj. Do oni devas nur uzi mezureblajn subarojn. Kun mezuro, oni povas difini [[integralo]]n, la [[Lebega integralo]], kiu estas pli ĝenerala ol la [[Rimana integralo]].

=== Kompleksa analitiko ===
{{Ĉefartikolo|Kompleksa analitiko}}
'''Kompleksa analitiko''' estas la branĉo de [[matematiko]] esploranta [[funkcio]]jn de [[kompleksa nombro|kompleksaj]] [[argumento]]j. Ĝi havas praktikan uzon en [[aplika matematiko]] kaj en multaj aliaj branĉoj de matematiko. Kompleksa analitiko koncernas aparte analitikajn funkciojn de kompleksaj variabloj, sciatajn kiel holomorfaj funkcioj.

=== Nenorma analitiko ===
{{Ĉefartikolo|Nenorma analitiko}}
{{...}}

=== Cifereca analitiko ===
{{Ĉefartikolo|Cifereca analitiko}}
'''Cifereca analitiko''' estas studo de algoritmoj por solvado de problemoj de ''kontinua matematiko'' per [[diskreta matematiko]] kaj aparte [[komputiko]]. La problemoj estas de [[kalkulo]], cifereca [[lineara algebro]] super la [[reela nombro|reela]] kaj [[kompleksa nombro|kompleksa]] kampoj, solvado de [[diferenciala ekvacio|diferencialaj ekvacioj]], kaj alia rilatantaj problemoj, ekestantaj el [[fiziko]] kaj [[Inĝenierarto|inĝenierado]].

Multaj problemoj en kontinua matematiko ne havas [[fermit-forma solvaĵo|fermit-forman solvaĵon]]. Unu ekzemplo estas trovado de [[integralo]] de exp(−''x''<sup>2</sup>) (la [[erara funkcio]]) kaj solvado de ĝenerala [[Polinomo|polinoma]] ekvacio de grado kvin aŭ pli alta (vidu [[teoremo de Abelo-Ruffini|teoremon de Abelo-Ruffini]]). En ĉi tiuj situacioj, oni havas du variantojn: trovi proksimuman solvon uzante [[asimptota analitiko|asimptotan analitikon]] aŭ ciferecan solvaĵon. La lasta elekto estas priskriba de cifereca analitiko.

Iuj problemoj estas solveblaj ekzakte per algoritmo. Ĉi tiuj algoritmoj estas nomitaj kiel ''rektaj''. La ekzemploj estas [[gaŭsa elimino]] por solvado de [[sistemo de linearaj ekvacioj|sistemoj de linearaj ekvacioj]] kaj la [[simpleksa metodo]] en [[lineara programado]]. Tamen, ankaŭ nerektaj metodoj ekzistas por multaj problemoj. En tiaj okazoj iam eblas uzi [[ripeta metodo|ripetan metodon]]. Ĉi tia metodo startas de ''diveno'' kaj trovas sukcesajn proksimumajn kalkulaĵojn, kiuj espereble [[Konverĝo|konverĝas]] al la solvo. Eĉ se la rekta metodo ekzistas, la ripeta metodo povas esti preferinda ĉar ĝi estas pli rapida, pli stabila aŭ pli preciza (en okazo de uzado de realaj kalkuliloj).

La kontinua problemo devas iam esti anstataŭigitaj per nekontinua problemo kies solvaĵo estas proksimuma solvon de la kontinua problemo; ĉi tiu procezo estas nomita nekontinu''igo''. Ekzemple, la solvo de [[diferenciala ekvacio]] estas funkcio. Ĉi tiu funkcio devas esti prezentita per finia kvanto de datumoj, ekzemple per ĝia valoro je finia nombro de punktoj je ĝia domajno, malgraŭ ke ĉi tiu domajno povas estas kontinuaĵo.

=== Analitika teorio de nombroj ===
{{Ĉefartikolo|Analitika teorio de nombroj}}
{{...}}

== Plurdimensia analitiko ==
[[Dosiero:X^y.png|eta|maldekstra|Ekzemplo de plurdimensia funkcio: <math>f(x,y) = abs(x)^y</math>]]
Multaj lernolibroj distingas analitikon unudimensian kaj analitikon plurdimensian. Tiu distingo ne rilatas al fundamentaj konceptoj, tamen obliĝas la matematika multeco kiam temas pri pluraj dimensioj. La plurdimensia analitiko observas [[Funkcio (matematiko)|funkciojn]] <math>\textstyle f : D \subseteq \R^m \to \R^n</math> de pluraj realaj variabloj, kutime prezentataj kiel [[vektoro]] aŭ [[opo|n-opo]].

La terminoj de normigita spaco, de limvaloro de vico, de [[kontinua funkcio]] kaj de limvaloroj analoge ĝeneraligeblas en pluraj dimensioj.

Gravaj terminoj el la plurdimensia diferenciala kalkulado estas la direktoderivaĵo kaj la [[Parta derivaĵo|parta derivaĵo]], kiuj estas derivaĵoj en variablo aŭ direkto. La teoremo de Schwarz certigas, kiam partaj aŭ direktoderivaĵoj de diversaj direktoj interŝanĝeblas. Krome gravas la termino de totala derivaĵo. Ĝi estas interpretebla kiel loka adapto de [[lineara transformo]] al kurbiĝo de plurdimensia funkcio kaj estas la plurdimensia analogaĵo de unudimensia derivaĵo. La teoremo de implicitaj funkcioj pri la loka solvo de implicitaj ekvacioj estas grava teoremo de la plurdimensia analitiko kaj bazo de la diferenciala geometrio.

En la plurdimensia analitiko ekzistas diversaj integralaj terminoj kiel la [[Kurba integralo|kurba integralo]], la [[Surfaca integralo|surfaca integralo]] kaj la [[spaca integralo]].

== Referencoj ==
{{Referencoj}}

== Bibliografio ==
* Aliprantis, C.D., Border, K.C.: ''Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide'', 3a eld., Springer 2007, {{ISBN|978-3-540-32696-0}}. Rete {{doi|10.1007/3-540-29587-9}} 
* Herbert Amann, [[Joachim Escher]]: ''Analysis I'', Birkhäuser, Basel 2006, ISBN 3-7643-7755-0
* Apostol, Tom M. (1960). ''Análisis matemático: Introducción moderna al cálculo superior''. Reverté. ISBN 84-291-5000-5.
* [[Stefan Banach|Banach S.]] [http://www.ebook3000.com/Theory-of-Linear-Operations--Volume-38--North-Holland-Mathematical-Library--by-S--Banach_134628.html ''Theory of Linear Operations''] {{Webarchiv|url=https://web.archive.org/web/20211028084954/http://www.ebook3000.com/Theory-of-Linear-Operations--Volume-38--North-Holland-Mathematical-Library--by-S--Banach_134628.html |date=2021-10-28 }} {{Wayback|url=http://www.ebook3000.com/Theory-of-Linear-Operations--Volume-38--North-Holland-Mathematical-Library--by-S--Banach_134628.html |date=20211028084954 }}. Volume 38, North-Holland Mathematical Library, 1987, {{ISBN|0-444-70184-2}}
* Binmore, Kenneth George (1981). [https://archive.org/details/foundationsofana0000binm The foundations of analysis: a straightforward introduction.] Cambridge University Press.
* [[Jean Dieudonné]]: ''Foundations of Modern Analysis (Fondaĵoj de moderna analitiko)'', Academic Press, U.S., 1968 ISBN 0-12-215530-0
* Edwards, R. E.: ''Functional Analysis, Theory and Applications'', Hold, Rinehart and Winston, 1965.
* [[Otto Forster]]: ''Analysis 1'', Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-67224-2.
* Fusco, Nicola; Marcellini, Paolo; Sbordone, Carlo (1996). ''Analisi Matematica Due'' (en itala). Liguori Editore. |isbn=978-88-207-2675-1
* Gardner Bartle, Robert (1982). ''Introducción al análisis matemático''. Limusa. ISBN 968-18-0997-1.
* Harro Heuser: ''Lehrbuch der Analysis (Lernolibro pri analitiko)'', Teubner, Wiesbaden 2003, ISBN 3-519-62233-5
* Stefan Hildebrandt: ''Analysis'', Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-42838-0.
* Johnsonbaugh, Richard; Pfaffenberger, William Elmer (1981). ''Foundations of mathematical analysis''. New York: M. Dekker.
* Kantorovitz, S.,''Introduction to Modern Analysis'', Oxford University Press, 2003,2nd ed.2006.
* [[Konrad Königsberger]]: ''Analysis'', vol. 1, Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4.
* Lebedev, L.P. kaj Vorovich, I.I.: ''Functional Analysis in Mechanics'', Springer-Verlag, 2002
* Rey Pastor, Julio (1985). ''Análisis matemático: Teoría de ecuaciones; cálculo infinitesimal de una variable''. Kapelusz. ISBN 950-13-3301-9.
* Rudin, Walter (1976). [https://archive.org/details/principlesofmath00rudi ''Principles of Mathematical Analysis''] (3a eldono). New York, USA: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
* * Schechter, M.: ''Principles of Functional Analysis'', AMS, 2a eldono, 2001
* [[Vladimiro Ivanoviĉ Smirnov]]: ''Lehrgang der höheren Mathematik (Instruo pri alta matematiko)'', Harri Deutsch Verlag, ISBN 3-8171-1419-2
* Stewart, James (2002). ''Cálculo Multivariable''. Thomson Learning.
* Whittaker, Edmund Taylor; Watson, George Neville (2a de januaro 1927). ''A Course Of Modern Analysis: An Introduction to the General Theory of Infinite Processes and of Analytic Functions; with an Account of the Principal Transcendental Functions'' (4a eldono). Cambridge, UK: at the University Press. ISBN 0-521-06794-4. ISBN 978-0-521-06794-2. (vi+608 pp.) (represoj: 1935, 1940, 1946, 1950, 1952, 1958, 1962, 1963, 1992)
* Wolfgang Walter: ''Analysis'', Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20388-5.
* [[Kōsaku Yosida|Yosida, K.]]: ''Functional Analysis'', Springer-Verlag, 6th edition, 1980

== Vidu ankaŭ ==
* [[Analitika variaĵo]]
* [[Matematiko]]
* [[Nenorma analitiko]]
* [[Limeso]]
* [[Serio (matematiko)|Serio]]
* [[Derivaĵo (matematiko)|Derivaĵo]]
* [[Integralo]]
* [[Serio de Taylor]]

== Eksteraj ligiloj ==
{{Projektoj|commons=Category:Mathematical analysis|ReVo=analit}}
* [http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html Matematikaj metodoj por sciencistoj kaj inĝenieroj] {{Webarchiv|url=https://web.archive.org/web/20060415161115/http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html |date=2006-04-15 }}
* [http://www.calculus.org calculus.org] - La retejo de ''Calculus'' ĉe la universitato de Kalifornio kun ligiloj al aliaj retpaĝoj

{{Havenda artikolo|Analitiko}}
{{Bibliotekoj}}

[[Kategorio:Analitiko| ]]