Vidi fonton por Algebro

[[Dosiero:Corpus Christ College MS 283 (1).png|eta|Paĝo el ''Corpus Christi College MS 283'', nome latina traduko de ''Zīĝ'', nome verko de [[Al-Ĥorezmi]].]]
'''Algebro''' (de araba ''"al-ĝabr"'' tio signifas ''reunuiĝo de rompitaj partoj)'' <ref>[http://www.etymonline.com/index.php?term=algebra&allowed_in_frame=0]</ref> estas unu el la plej fundamentaj branĉoj de [[matematiko]]. Ĝi estas malfacile difinebla, sed ĝi estas karakterizita per uzo de [[simbolo]]j por reprezenti iujn [[operacio (matematiko)|operaciojn]] kaj de [[variablo]]j por reprezenti [[nombro]]jn aŭ aliajn [[Objekto|matematikajn objektojn]].

== Vortdeveno ==
[[Dosiero:1983_CPA_5426.jpg|dekstre|200px|alternative=Sovetia poŝtmarko okaze de la 1200-jariĝo de Al-Ĥorezmi|eta|Sovetia poŝtmarko okaze de la 1200-jariĝo de Al-Ĥorezmi. La vorto ''algebro'' devenas de [[Al-Ĥorezmi]].]]
La vorto ''algebro'' devenas de la araba الجبر (''al-ĝabr'' "''restarigo''") de la titolo de la libro ''al-Kitāb al-muĥtaṣar fī ḥisāb al-ĝabr ŭa-ʾl-muqābala'' de [[Al-Ĥorezmi]]. La vorto origine rilatis al la kirurgia proceduro ripari rompitajn aŭ dismetitajn ostojn. La matematika signifo unue estis registrita en la dek-sesa jarcento.<ref>{{Citaĵo el la reto |url=http://www.oxforddictionaries.com/us/definition/english/algebra |titolo=Arkivita kopio |alirdato=2016-12-13 |arkivurl=https://web.archive.org/web/20131231173558/http://www.oxforddictionaries.com/us/definition/english/algebra |arkivdato=2013-12-31 }}</ref>

== Klasifikado ==
Algebro povas esti dividita laŭ jenaj fakoj:
* La [[baza algebro]] studas la ecojn de kaj operaciojn sur la [[naturaj nombroj]], [[entjero]]j, [[racionalaj nombroj|racionalaj]] kaj [[reelaj nombroj]], kaj kiel oni povas solvi [[ekvacio]]jn kun [[variablo]]j.

Jen ekzemplo de algebraj esprimoj:
:<math>x + 3\,</math>

:<math>y^{2} + 2x - 3\,</math>

:<math>z^{7} + a(b + x^{3}) + 42/y - \pi.\,</math>

* La [[lineara algebro]] estas teorio pri [[vektora spaco|vektoraj spacoj]] kaj [[modulo]]j, kies parto estas teorio de [[lineara ekvacio|linearaj ekvacioj]] kaj teorio de [[matrico]]j. Ideoj kaj metodoj de lineara algebro uzeblas en diversaj branĉoj de matematiko. Tiel, la ĉefobjekto de la studo de funkcia analizo estas nefiniaj vektoraj spacoj.
[[Dosiero:Linear_subspaces_with_shading.svg|eta|maldekstre|En tridimensia eŭklida spaco, tiuj tri ebenoj (verda, flava kaj griza) reprezentas solvojn al sistemoj de linearaj ekvacioj, kaj ilia [[intersekco]] reprezentas la aron de komunaj solvoj:

en ĉi tiu kazo, unika punkto ĉe la ''originpunkto'' de la [[kartezia koordinato]]. La blua linio reprezentas la aron de punktoj kiu estas la komuna solvo al du el ĉi tiuj ekvacioj (la flava kaj la verda).]]

Lineara algebro estas branĉo de [[matematiko]], kiu origine okupiĝis pri [[sistemo de linearaj ekvacioj|sistemoj de linearaj ekvacioj]], kiel

<math>a_1x_1+\cdots +a_nx_n=b</math>

kaj [[Lineara transformo|linearaj transformoj]], kiel

<math>(x_1, \ldots, x_n) \mapsto a_1x_1+\ldots +a_nx_n</math>.

La moderna lineara algebro uzas la nociojn [[vektoro]], [[vektora spaco|vektorspaco]], [[matrico]] kaj [[lineara transformo]] kiel ilojn por esplorado. Lineara algebro estas grava kampo en matematiko, kiu estas esenca al multaj aliaj kampoj. Ekzemple, lineara algebro estas esenca por moderna prezento de [[geometrio]], ĉar ĝi difinas la bazajn terminojn "[[Punkto (matematiko)|punkto]]", "[[rekto]]" kaj "[[Ebeno (matematiko)|ebeno]]". Ĉar vektorspacoj estas grava ilo en multaj branĉoj de la matematiko, lineara algebro estas unu el la bazoj de matematiko. Lineara algebro estas vaste uzata en [[abstrakta algebro]], [[funkcia analizo]] kaj [[analitika geometrio]]. Lineara algebro estas uzata ankaŭ en [[informadiko]] kaj [[komputoscienco]]. Ekster la [[pura matematiko]], lineara algebro estas uzata precipe en [[naturscienco]]j, [[Socia scienco|sociosciencoj]], [[inĝenierarto]] kaj [[ekonomiko]] (por [[optimumigo]]).

* La [[abstrakta algebro]] studas [[algebra strukturo|algebrajn strukturojn]] kiel [[grupo (algebro)|grupo]], [[ringo (algebro)|ringo]] kaj [[kampo (algebro)|kampo]], kiuj ĝeneraligas la [[koncepto]]jn de la baza algebro. Abstrakta algebro estas kampo de [[matematiko]] koncernanta studadon de [[Algebra strukturo|algebraj strukturoj]]: [[Grupo (algebro)|grupoj]], [[Ringo (algebro)|ringoj]], [[Kampo (algebro)|kampoj]], [[matrico]]j, [[Modulo (matematiko)|moduloj]], [[Vektora spaco|vektoraj spacoj]], [[idealo (algebro)|idealoj]] ktp. La enkonduko de abstrakta algebro estis motivita per la bezono plirigorigi matematikon. La studo de abstrakta algebro aliras al plena vido de la komplikaĵoj de la logika algebro sur kiu la tuta matematiko kaj la natursciencoj estas konstruitaj, kaj hodiaŭ estas apenaŭ branĉo de matematiko kiu ne komplete ekspluatas la rezultojn de algebro. Cetere, en la kurso de studado, algebristoj esploras aparte diversajn logikajn strukturojn kiuj povas tre ofte esti atingitaj analoge al tre malgranda kerno de [[aksiomo]]j. La termino ''abstrakta algebro'' estas uzata por diferencigi tiun ĉi kampon disde la "[[baza algebro]]", kiu studas regulojn por formuloj kaj algebraj esprimoj engaĝantaj [[reela nombro|reelajn nombrojn]] kaj [[kompleksa nombro|kompleksajn nombrojn]]; dum la unua duono de la [[20-a jarcento]] ĝi estis konata kiel ''moderna algebro''.

== Historio ==
[[Dosiero:Egyptian A'h-mosè or Rhind Papyrus (1065x1330).png|eta|dekstra|220px|Parto de la malnovegipta [[papiruso]] de Rhind.]]
Algebro, same kiel [[aritmetiko]] kaj [[geometrio]], estas unu el la plej malnovaj branĉoj de matematiko. La nomo devenas de la traktaĵo de mezazia [[matematikisto]] [[Al-Ĥorezmi]], kies araba nomo estis ''al-Kitāb al-ĝabr ŭa-ʾl-muqābala''. La origino de algebro baziĝis sur la klopodoj por solvi matematikajn problemojn inkludantajn aritmetikajn kalkulojn kaj nekonatajn kvantojn. Tiuj disvolviĝoj okazis en la [[Antikveco]] en diversaj mondoregionoj kiel [[Babilonio]], [[Egipto]], [[Grekio]], [[Ĉinio]] kaj [[Hindio]]. Unu el la plej fruaj dokumentoj estas la [[Papiruso de Rhind]] el [[antikva Egiptio]], kiu estis verkita ĉirkaŭ 1650 a.n.e. (kvankam pri la preciza dato estas diskutoj) kaj oni studas pri kiel solvi [[Lineara ekvacio|linearajn ekvaciojn]], kiel estas esprimita en problemoj kiel "Kvanto; ĝia kvaronon oni aldonas al ĝi. Ĝi iĝas dek kvin. Kio estas la kvanto?" Babiloniaj argiltabuletoj el ĉirkaŭ la sama tempo klarigas metodojn por solvi linearajn kaj kvadratajn polinomiajn ekvaciojn, kiel por ekzemplo la metodon [[Plenigo de kvadrato|plenigi la kvadraton]].<ref>Tanton 2005, p. 9; Kvasz 2006, p. 290; Corry 2024, § Problem Solving in Egypt and Babylon</ref>

Algebro aperis pro la bezonoj solvi algebrajn ekvaciojn. La solvo de unuagrada kaj duagrada ekvacioj estis konata jam en antikveco. Multaj el tiuj enrigardoj trovis sian vojon el la antikvaj grekoj. Starte en la 6a jarcento a.n.e., ilia ĉefa intereso estis [[geometrio]] pli ol algebro, sed ili uzis algebrajn metodojn por solvi geometriajn problemojn. Por ekzemplo, ili studis geometriajn figurojn prenante iliajn longojn kaj areojn kiel nekonataj kvantoj determinotaj, kiel ekzempligis [[Pitagoro]] en sia formulado pri la metodo por la diferenco de du kvadratoj kaj poste en la [[Eŭklido]] en siaj ''[[Elementoj de Eŭklido|Elementoj]]''.<ref> Tanton 2005, p. 9; Kvasz 2006, p. 290; Corry 2024, § The Pythagoreans and Euclid</ref> En la 3a jarcento a.n.e., [[Diofanto]] havigis detalan traktadon kiel solvi algebrajn ekvaciojn en serio de libroj nomita "Aritmetiko". Li estis la unua kiu eksperimentis per simbola notacio por esprimi [[polinomo]]jn.<ref> Merzlyakov & Shirshov 2020, § Historical Survey; Sialaros 2018, p. 55; Musielak 2020, p. 36; Corry 2024, § Diophantus</ref> En [[antikva Ĉinio]], la libro "La naŭ ĉapitroj pri la matematika arto" esploris variajn teknikojn por solvi algebrajn ekvaciojn, kiel la uzado de matriksecaj konstruktoj.<ref> Higgins 2015, p. 89 </ref> 

[[Dosiero:Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala.jpg|eta|maldekstra|220px|''Al-Ĝabr'' (Kompendio pri kalkulado per kompletigo kaj ekvilibro) de [[Al-Ĥorezmi]].]]
Estas polemiko pri je kiu etendo tiuj fruaj disvolviĝoj povus esti konsiderataj parto de algebro mem pli propre ol anstataŭe nur antaŭenirantoj. Ili proponis solvojn al algebraj problemoj sed ili ne komprenis ilin laŭ abstrakta kaj ĝenerala maniero, fokuse anstataŭe al specifaj kazoj kaj aplikaĵoj.<ref> Kvasz 2006, pp. 290–291; Sialaros 2018, p. 55; Boyer & Merzbach 2011, p. 161; Derbyshire 2006, p. 31</ref> Tio ŝanĝiĝis kun la persa matematikisto [[Al-Ĥorezmi]] (kelkaj historiistoj konsideras lin la "patro de algebro", dum aliaj rezervas tiun titolon por Diofanto.<ref> Boyer & Merzbach 2011, p. 161; Derbyshire 2006, p. 31</ref>), kiu publikigis sian verkon ''Al-Ĝabr'' (Kompendio pri kalkulado per kompletigo kaj ekvilibro) en la jaro 825 n.e. Ĝi prezentas la unuan detalan traktadon de ĝeneralaj metodoj kiuj povas esti uzataj por manipuli linearajn kaj kvadratajn ekvaciojn per "reduktado" kaj "ekvilibro" en ambaŭ flankoj.<ref> Tanton 2005, p. 10; Kvasz 2006, pp. 291–293; Merzlyakov & Shirshov 2020, § Historical Survey</ref> Aliaj gravaj kontribuoj al algebro venis el la araba matematikisto Thābit ibn Qurra en la 9-a jarcento kaj la persa matematikisto [[Omar Ĥajam]] en la 11a kaj 12a jarcentoj.<ref> Waerden 2013, pp. 3, 15–16, 24–25; Jenkins 2010, p. 82; Pickover 2009, p. 90</ref>

En [[Hindio]], [[Brahmagupta]] esploris kiel solvo kvadratajn ekvaciojn kaj sistemojn de ekvacioj kun kelkaj [[variablo]]j en la 7-a jarcento n.e. Inter liaj aliaj plinovigoj estis la uzado de [[nulo]] kaj de negativaj nombroj en algebraj ekvacioj.<ref> Tanton 2005, pp. 9–10; Corry 2024, § The Equation in India and China</ref> La hindia matematikisto [[Mahavira]] en la 9-a jarcento kaj Bhāskara la 2-a en la 12-a jarcento plue rafinis la metodojn kaj konceptojn de Brahmagupta.<ref> Seshadri 2010, p. 156; Emch, Sridharan & Srinivas 2005, p. 20</ref> En 1247, la ĉina matematikisto Qin Jiushao verkis la "Matematikan traktaĵon en naŭ partoj", kio inkludas [[Hornera algoritmo|algoritmon]] por la nombra taksado de polinomoj, inklude polinomojn de pli altaj gradoj.<ref> Smorynski 2007, p. 137; Zwillinger 2002, p. 812</ref> 

[[Dosiero:Liber abbaci magliab f124r.jpg|eta|dekstra|220px|''[[Liber Abaci]]'' de [[Fibonacci]].]]
En la [[16-a jarcento]] italaj matematikistoj trovis solvojn de triagrada kaj kvaragrada ekvacioj. La itala matematikisto [[Fibonacci]] enkondukis la ideojn kaj teknikojn de Al-Ĥorezmi en Eŭropon en libroj kiel sia ''[[Liber Abaci]]''.<ref> Waerden 2013, pp. 32–35; Tanton 2005, p. 10; Kvasz 2006, p. 293</ref> En 1545, la itala saĝulo [[Gerolamo Cardano]] publikigis sian libron ''Ars Magna'', kiu traktis multajn temojn pri algebro kaj estis la unua kiu prezentis ĝeneralajn metodojn por solvi [[Kuba ekvacio|kubajn]] kaj kvaragradajn ekvaciojn.<ref> Tanton 2005, p. 10; Kvasz 2006, p. 293; Corry 2024, § Cardano and the Solving of Cubic and Quartic Equations</ref> En la 16a kaj 17a jarcentoj, la francaj matematikistoj [[François Viète]] kaj [[René Descartes]] enkondukis leterojn kaj simbolojn por referenci variablojn kaj operaciojn, kio ebligis esprimadon de ekvacioj laŭ abstrakta kaj konciza maniero. Iliaj antaŭuloj estis fidintaj en parolaj priskriboj de problemoj kaj solvoj.<ref> Tanton 2005, p. 10; Kvasz 2006, pp. 291–292, 297–298, 302;   Merzlyakov & Shirshov 2020, § Historical Survey; Corry 2024, § Viète and the Formal Equation, § Analytic Geometry</ref> Kelkaj historiistoj konsideras tiun disvolvigon kiel ŝlosila turnopunkto en la historio de algebro kaj konsideras tion kio venis antaŭ tio kiel la prahistorio de algebro ĉar al ĝi mankis la abstrakta naturo bazita sur simbola manipulado.<ref> Hazewinkel 1994, p. 73; Merzlyakov & Shirshov 2020, § Historical Survey</ref>

Multaj klopodoj en la 17-a kaj 18-a jarcentoj por trovi ĝeneralajn solvoj al la polinomoj de kvina kaj pli alta gradoj malsukcesis.<ref> Tanton 2005, p. 10; Merzlyakov & Shirshov 2020, § Historical Survey; Corry 2024, § Impasse with Radical Methods</ref> En 1799 la germana matematikisto [[Gauss]] evidentigis, ke “ĉiu algebra ekvacio de ''n''-a grado, havas ''n'' radikojn (solvojn), reelajn aŭ imaginarajn”. Tio pruvis la [[Fundamenta teoremo de algebro|fundamentan teoremon de algebro]], kio priskribas la ekzistadon de [[Radiko (matematiko)|nuloj de polinomoj]] de ajna grado ne havigante ĝeneralan solvon.<ref> Tanton 2005, p. 10; Kvasz 2006, p. 308; Corry 2024, § The Fundamental Theorem of Algebra</ref> Komence de la 19-a jarcento, la itala matematikisto [[Paolo Ruffini]] kaj la norvega matematikisto [[Niels Henrik Abel]] kapablis montri, ke ne estas ĝenerala solvo por polinomoj de kvina kaj pli alta grado.<ref>    Tanton 2005, p. 10; Merzlyakov & Shirshov 2020, § Historical Survey; Corry 2024, § Impasse with Radical Methods</ref> 

[[Dosiero:Bendixen - Carl Friedrich Gauß, 1828.jpg|eta|maldekstre|Portreto de Gauss publikigita en ''Astronomische Nachrichten'' 1828.]]
Reage kaj tuj post tiuj trovitaĵoj, la franca matematikisto [[Évariste Galois]] disvolvis tion kio poste estis konata kiel [[Teorio de Galois]], kiu havigis pli profundan analizon de la solvoj de polinomoj kvankam metante ankaŭ nur la fundamenton de la [[grupo-teorio]].<ref> Kvasz 2006, pp. 314–345; Merzlyakov & Shirshov 2020, § Historical Survey; Corry 2024, § Galois Theory, § Applications of Group Theory</ref> Matematikistoj tuj konstatis la gravon de la grupo-teorio por aliaj fakoj kaj aplikis ĝin al kampoj kiel [[geometrio]] kaj nombro-teorio.<ref> Corry 2024, § Applications of Group Theory </ref> Tiel jam en la komenco de 19-a jarcento Abel kaj Galois pruvis, ke la solvojn de la [[ekvacio]] kun pli ol 4 gradoj, ne eblas esprimi per koeficiento de la ekvacio pere de la algebraj operacioj.

En moderna algebro oni pristudas ĝeneralan [[grupo (algebro)|grupteorion]], por kiuj estas difinita algebraj operacioj, similaj laŭ sia propreco al operacioj por nombroj. Tiaj operacioj povas esti plenumitaj por [[plurtermo]]j, [[vektoro]]j, [[matrico]]j. Starte en la mezeo de la 19-a jarcento, intereso en algebro ŝanĝiĝis el la studo de polinomoj asocia kun elementa algebro al pli ĝenerala esploro pri algebraj strukturoj, markante la aperon de abstrakta algebro. Tiu alproksimiĝo esploris la aksioman bazon de arbitraj algebraj operacioj.<ref> Merzlyakov & Shirshov 2020, § Historical Survey; Tanton 2005, p. 10; Corry 2024, § Structural Algebra; Hazewinkel 1994, pp. 73–74</ref> La invento de novaj algebraj sistemoj bazitaj sur diferencaj operacioj kaj elementoj akompanis tiun disvolvigon, kiel ĉe la [[Bulea algebro]], [[Vektora spaco|vektora algebro]], kaj [[Matrico|matrica algebro]].<ref> Merzlyakov & Shirshov 2020, § Historical Survey; Tanton 2005, p. 10; Corry 2024, § Matrices, § Quaternions and Vectors</ref> Gravajn fruajn disvolvigojn en abstrakta algebro faris la germanaj matematikistoj [[David Hilbert]], Ernst Steinitz, [[Emmy Noether]], kaj Emil Artin. Ili esploris diferencajn formojn de algebraj strukturoj kaj kategoriigis ilin baze sur siaj subkuŝaj aksiomoj en tipojn, kiel grupoj, ringoj, kaj kampoj.<ref>    Merzlyakov & Shirshov 2020, § Historical Survey; Corry 2024, § Hilbert and Steinitz, § Noether and Artin; Hazewinkel 1994, pp. 73–74</ref> La ideon de eĉ pli ĝenerala alproksimiĝo asocia kun la universala algebro konceptigis la angla matematikisto [[Alfred North Whitehead]] en sia libro de 1898 nome ''A Treatise on Universal Algebra''. Starte en la [[1930-aj jaroj]], la usona matematikisto Garrett Birkhoff etendis tiujn ideojn kaj disvolvis multajn de la fundamentajn konceptojn de tiu kampo.<ref> Grätzer 2008, p. vii;  Chang & Keisler 1990, p. 603; Knoebel 2011, p. 5; Hazewinkel 1994, pp. 74–75</ref> Proksime rilataj disvolvigoj estis la formulado de la [[modeloteorio]], [[Teorio de kategorioj|kategoriteorio]], topologia algebro, homologia algebro, [[alĝebro de Lie|Lie-algebroj]], liberaj algebroj, kaj homologiaj grupoj.<ref> Hazewinkel 1994, pp. 74–75; Grätzer 2008, p. 338; Pratt 2022, § 6. Free Algebras</ref>

== Algebraj konceptoj ==
=== Ekvacio ===
[[Ekvacio]] estas egalaĵo, enhavanta almenaŭ unu nekonatan [[grando]]n. Depende de la [[variablo]]j ĝi povas esti unuvariabla, duvariabla ktp. La radiko de unuvariabla ekvacio estas tiu valoro de la variablo, kiu transformas ekvacion al vera egalaĵo. Ekz. la radiko de la ekvacio 3x - 1 = 2x + 5 estas la nombro 6, ĉar 3 · 6 - 1 = 2 · 6 + 5.

La [[Aro (matematiko)|aro]] de la radikoj de iu ekvacio povas esti finia, malplena aŭ nefinia. Ekz. la aro de la radikoj de la ekvacio 5x + 3 = 5x estas '''malplena''' (t.e. ĝi ne havas radikon); por la ekvacio (x+2)(x-3)=0, ĝi estas '''{-2; 3}''', kaj por la ekvacio |x| = x, ĝi estas '''[0; +∞)'''.

<u>Rimarko:</u> [[funkcio]] |x| nomiĝas '''modulo''' de x kaj difineblas jene: |a|=a, se a>=0 kaj |a|=-a, se a<0.

Solvi ekvacion signifas trovi la aron de ĝiaj radikoj (solvoj). Ekvacioj estas ''ekvivalentaj'', se ili havas la samajn solvojn. Ĝenerale, ĉiu unuvariabla ekvacio povas esti prezentita kiel f(x)=0 kaj la aro de ĝiaj solvoj estas aro de abscisoj de la punktoj, rezultitaj pro la intersekco de la grafiko y=f(x) kun OX akso.

Oni konas sekvajn ekvaciojn en matematiko:

* '''[[Algebra ekvacio]]''' - ekvacio egaliganta polinomon al nulo.
** '''[[Lineara unuvariabla ekvacio]]''' - <math>ax + b = 0</math>
** '''[[Kvadrata ekvacio]]''' - entenanta la kvadraton (duagradon) de la serĉata nombro aŭ kvanto - <math>ax^2 + bx + c = 0</math>.
** '''[[Kuba ekvacio]]''' - entenanta la kubon (triagradon) de la serĉata nombro aŭ kvanto.
** '''[[Dukvadrata ekvacio]]''': <math>ax^4 + bx^2 + c = 0</math>

=== Esprimo ===
[[Esprimo]] estas sinsekvo da simboloj indikanta matematikan aŭ programan objekton.

Ekzistas [[grando|grandoj]] dutipaj: '''konstanto''', kiu havas ĉiam la saman nombran valoron kaj '''variablo''', kiu povas preni iun ajn valoron en donita [[Aro (matematiko)|aro]] de [[nombro|nombroj]], ekz. en la aro de ĉiuj [[reela nombro|reelaj nombroj]] aŭ en certa intervalo. Ekzemple, la nombro de la tagoj en semajno estas konstanta (7), same kiel la sumo de la internaj anguloj de triangulo (180<sup>o</sup>), sed aera temperaturo aŭ [[ventoforto]] estas variabloj.

La kombinaĵo de nombroj kaj signoj, kiu montras kiajn operaciojn oni devas fari kaj per kia ordo per nombroj, estas nomita nombra '''esprimo'''. Ekzemple, 17 aŭ (125 - 11,5) · 2 estas nombraj esprimoj. La esprimo, kiu enhavas variablon aŭ variablojn, nomiĝas '''variablohava esprimo'''. Ekzemple, x + 3y estas variablohava esprimo, kies signifo estas 7, kiam x=1 kaj y=2.

Du egalaj grandoj kunigitaj per la signo de egaleco, nomiĝas '''egalaĵo'''. Ekz. A=B. Du algebraj esprimoj povas esti egalaj sur iu aro de valoroj, se ambaŭ havas la sencon en ĉi tiu aro kaj iliaj ĉiuj konvenaj signifoj estas egalaj. Ekz. (a<sup>2</sup>-b<sup>2</sup>) kaj (a-b)(a+b) estas identaj esprimoj, ĉar ĉiuj iliaj signifoj estas egalaj. Du identaj esprimoj kunigitaj per la signo de egaleco estas nomata '''identaĵo'''. Tiamaniere a<sup>2</sup>-b<sup>2</sup>=(a - b)(a + b) prezentas identaĵon. Ĉiu nombra egalaĵo ankaŭ estas identaĵo. Du grandoj aŭ esprimoj kunigitaj per la signo '''<''' aŭ '''>''', nomiĝas '''neegalaĵo'''.

=== Teoremo ===
La [[fundamenta teoremo de algebro]] asertas, ke ĉiu ne-konstanta unu-variabla [[polinomo]] kun kompleksaj [[koeficiento]]j havas almenaŭ unu kompleksan radikon. Tio inkludas polinomojn kun reelaj koeficientoj, ĉar ĉiu reela nombro estas kompleksa nombro kun sia imaga parto egala al nulo. Alivorte (laŭ difino), la [[teoremo]] asertas, ke la kampo de kompleksaj nombroj estas algebre fermita.

La teoremo estas vortumita ankaŭ tiel: ĉiu ne-nula, unu-variabla, grado de polinomo ''n'' kun kompleksaj koeficientoj havas, kalkulita kun obleco, precize ''n'' kompleksajn radikojn.

=== Ekzemplo de algebraj esprimoj ===
:<math>x + 3\,</math>

:<math>y^{2} + 2x - 3\,</math>

:<math>z^{7} + a(b + x^{3}) + 42/y - \pi.\,</math>

== Alĝebro ==
{{Ĉefartikolo|Alĝebro}}
'''Alĝebro''' (aŭ '''algebrao''') estas [[algebra strukturo]], kiu estas kaj [[Ringo (algebro)|ringo]] kaj [[vektora spaco]]. En [[matematiko]], [[asocieca alĝebro]] estas vektora spaco (aŭ pli ĝenerale, [[Modulo (matematiko)|modulo (modela teorio)]]) kiu ankaŭ permesas la multiplikon de vektoroj en [[distribueco|distribueca]] kaj [[asocieco|asocieca]] maniero. Ili estas tial specialaj alĝebroj. (Kelkfoje nomataj "algebro" aŭ "algebrao" anstataŭ "alĝebro".)

En algebro, la [[asociilo]] estas trilineara bildigo, kiu estas la diferenco inter la du metodoj krampi produton de tri elementoj per eble neasocieca dulineara operacio.

En algebro, [[pra-Lie-alĝebro]] estas ĝeneraligo de la koncepto de asocieca alĝebro, plenumanta malfortigitan [[aksiomo]]n de asocieco, kies komutilo tamen plenumas la aksiomon de [[alĝebro de Lie]].<ref> Zinbiel, Guillaume W., [https://arxiv.org/abs/1101.0267 "Encyclopedia of types of algebras 2010",] 2010. (angle) </ref>

En matematiko, la [[grupa alĝebro]] estas ĉiu el diversaj konstruoj por asigni al grupo (loke kompakta topologia grupo, aŭ grupo sen topologio, kio estas diskreta grupo) ringon aŭ alĝebron, tiel ke la grupa multipliko igas la multiplikon en la ringo aŭ alĝebro. Tiel ili estas similaj al la grupa ringo asociita al diskreta grupo.

== Referencoj ==
{{Referencoj|2}}

== Literaturo ==
* Abas, Syed Jan; Salman, Amer Shaker (1994). [https://books.google.es/books?id=5snsCgAAQBAJ&redir_esc=y Symmetries Of Islamic Geometrical Patterns.] World Scientific. ISBN 978-981-4502-21-4.
* Aguliar, A., Bravo, F. V., Gallegos, H. A., Cerón, M., & Reyes, R. (2009). ''Álgebra''. México, D. F.: Prentice Hall.
* Aleskerov, Fuad; Ersel, Hasan; Piontkovski, Dmitri (18a de Aŭgusto 2011). [https://books.google.es/books?id=ipcSD8ZGB8cC&pg=PA1&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false Linear Algebra for Economists.] Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-20570-5.
* Andréka, H.; Németi, I.; Sain, I. (2001). [https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-017-0452-6_3 "Algebraic Logic".] ''Handbook of Philosophical Logic''. Springer Netherlands. doi:10.1007/978-94-017-0452-6_3. ISBN 978-94-017-0452-6. Arkivita el la originalo en 2024-01-24. Alirita en 2024-01-24.
* Andréka, H.; Madarász, J. X.; Németi, I. (2020). [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Algebraic_logic "Algebraic Logic".] ''Encyclopedia of Mathematics''. Springer. Arkivita el la originalo la 24an de Januaro 2024. Alirita la 23an de Oktobro 2023.
* Andrilli, Stephen; Hecker, David (2022). [https://books.google.es/books?id=WtpVEAAAQBAJ&pg=PA57&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false Elementary Linear Algebra.] Academic Press. ISBN 978-0-323-98426-3. Arkivita el la originalo en 2024-01-17. Alirita en 2024-01-18.
* Anton, Howard; Rorres, Chris (2013). [https://books.google.es/books?id=D9xoDwAAQBAJ&redir_esc=y Elementary Linear Algebra: Applications Version.] John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-47422-8. Arkivita el la originalo en 2024-01-17. Alirita en 2024-01-18.
* Anton, Howard (2013). [https://books.google.es/books?id=neYGCwAAQBAJ&pg=PA255&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false Elementary Linear Algebra.] John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-67730-8. Arkivita el la originalo en 2024-01-18. Alirita en 2024-01-18.
* Arcavi, Abraham; Drijvers, Paul; Stacey, Kaye (2016). [https://books.google.es/books?id=XGR9DAAAQBAJ&redir_esc=y The Learning and Teaching of Algebra: Ideas, Insights and Activities.] Routledge. ISBN 978-1-134-82077-1. Arkivita el la originalo en 2024-01-23. Alirita en 2024-01-24.
* Artamonov, V. A. (2003). [https://books.google.es/books?id=sLDGY4Hk8V0C&pg=PA873&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false "Quasivarieties".] En Hazewinkel, M. (eld.). ''Handbook of Algebra''. [[Elsevier]]. ISBN 978-0-08-053297-4. Arkivita el la originalo en 2024-01-29. Alirita en 2024-01-21.
* Michael Artin: ''Algebra''. Prentice Hall, 1991.
* Baldor, A. (2007). ''Álgebra''. México, D. F.: Grupo Editorial Patria.
* Jörg Bewersdorff: ''Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie''. Vieweg+Teubner Verlag, 4. Auflage 2009, ISBN 3-8348-0776-1, doi:10.1007/978-3-8348-9326-0.
* Siegfried Bosch: Algebra. 7. Auflage 2009, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, doi:10.1007/978-3-540-92812-6.
* Boyer, Carl B. (1991). ''A History of Mathematics'' (2a eld.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-54397-8.
* Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (2011). [https://books.google.es/books?id=bR9HAAAAQBAJ&pg=PA161&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false A History of Mathematics.] John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-63056-3. Arkivita el la originalo en 2024-01-26. Alirita en 2024-01-27.
* Chang, C. C.; Keisler, H. J. (1990). [https://books.google.es/books?id=uiHq0EmaFp0C&pg=PA603&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false Model Theory.] Elsevier. ISBN 978-0-08-088007-5. Arkivita el la originalo en 2024-01-26. Alirita en 2024-01-27.
* Corry, Leo (2024). [https://www.britannica.com/science/algebra "Algebra".] ''Encyclopædia Britannica''. Arkivita el la originalo en la 19an de Januaro 2024. Alirita la 25an de Januaro 2024.
* Derbyshire, John (2006). [https://books.google.es/books?id=mLqaAgAAQBAJ&pg=PT39&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false "2. The Father of Algebra".] Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra. National Academies Press. ISBN 978-0-309-09657-7. Arkivita el la originalo en 2024-01-26. Alirita en 2024-01-27.
* Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra. Vieweg, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0226-2, doi:10.1007/978-3-8348-8333-9.
* Gandz, S. (Januaro 1936). "The Sources of Al-Khowārizmī's Algebra". ''Osiris''. 1: 263–277. doi:10.1086/368426. JSTOR 301610.
* Grätzer, George (2008). [https://books.google.es/books?id=8lNkXPJas4wC&redir_esc=y Universal Algebra] (2a eld.). Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-77487-9. Arkivita el la originalo en 2024-01-27. Alirita en 2024-01-27.
* Hazewinkel, Michiel (1994). [https://books.google.es/books?id=PE1a-EIG22kC&pg=PA73&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false Encyclopaedia of Mathematics (Set).] Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-55608-010-4. Arkivita el la originalo en 2024-01-26. Alirita en 2024-01-27.
* Herstein, I. N. (1964). ''Topics in Algebra''. Ginn and Company. ISBN 0-471-02371-X.
* Higgins, Peter M. (2015). [https://books.google.es/books?id=QANiCgAAQBAJ&pg=PA89&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false Algebra: A Very Short Introduction.] OUP Oxford. ISBN 978-0-19-104746-6. Arkivita el la originalo en 2024-01-26. Alirita en 2024-01-27.
* Hill, Donald R. (1994). ''Islamic Science and Engineering''. Edinburgh University Press.
* Joseph, George Gheverghese (2000). ''The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics''. Penguin Books.
* Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: ''Algebra. Gruppen – Ringe – Körper''. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2018-3, doi:10.1007/978-3-8274-2601-7.
* Knoebel, Arthur (2011). [https://books.google.es/books?id=VWS_sgO2uvgC&pg=PA5&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false Sheaves of Algebras Over Boolean Spaces.] Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4218-1. Arkivita el la originalo en 2024-01-26. Alirita en 2024-01-27.
* Kvasz, L. (2006). "The History of Algebra and the Development of the Form of Its Language". ''Philosophia Mathematica''. 14 (3): 287–317. doi:10.1093/philmat/nkj017.
* Serge Lang: Algebra. 3. Auflage, ''Graduate Texts in Mathematics'', Springer-Verlag, 2005, ISBN 978-0-387-95385-4.
* Merzlyakov, Yu. I.; Shirshov, A. I. (2020). [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Algebra(2) "Algebra (2)".] ''Encyclopedia of Mathematics''. Springer. Arkivita el la originalo la 7an de Aprilo 2023. Alirita la 11an de Januaro 2023.
* Musielak, Dora (2020). Sophie Germain: [https://books.google.es/books?id=iqHYDwAAQBAJ&pg=PA36&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false Revolutionary Mathematician.] Springer Nature. ISBN 978-3-030-38375-6. Arkivita el la originalo en 2024-01-25. Alirita en 2024-01-27.
* O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2005). [https://web.archive.org/web/20160303180029/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Indexes/Algebra.html "History Topics: Algebra Index".] MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. Arkivita el la originalo en 2016-03-03. Alirita en 2011-12-10.
* Pratt, Vaughan (2022). [https://plato.stanford.edu/entries/algebra/ "Algebra".] The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University. Arkivita el la originalo en 29a de Januaro 2024. Alirita en 11a de Januaro 2024.
* Sardar, Ziauddin; Ravetz, Jerry; Loon, Borin Van (1999). ''Introducing Mathematics''. Totem Books.
* Seshadri, C. S. (2010). [https://books.google.es/books?id=w_JdDwAAQBAJ&pg=PA156&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false Studies in the History of Indian Mathematics.] Springer. ISBN 978-93-86279-49-1. Arkivita el la originalo en 2024-01-26. Alirita en 2024-01-27.
* Sialaros, Michalis (2018). [https://books.google.es/books?id=2PZYDwAAQBAJ&pg=PT55&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false Revolutions and Continuity in Greek Mathematics.] Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-3-11-056527-0. Arkivita el la originalo en 2024-01-25. Alirita en 2024-01-27.
* Smorynski, Craig (2007). [https://books.google.es/books?id=qY657eFq7UgC&pg=PA137&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false History of Mathematics: A Supplement.] Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-75481-9. Arkivita el la originalo en 2024-01-26. Alirita en 2024-01-27.
* B. L. van der Waerden: ''Algebra I, II''. Springer-Verlag, Berlin 1993, ISBN 978-3-662-01514-8, ISBN 978-3-642-63446-8, doi:10.1007/978-3-662-01513-1, doi:10.1007/978-3-642-58038-3 (zuerst als Moderne Algebra, 1930, 1931).
* Waerden, Bartel L. van der (2013). [https://books.google.es/books?id=W6DwCAAAQBAJ&redir_esc=y A History of Algebra: From al-Khwārizmī to Emmy Noether.] Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-51599-6. Arkivita el la originalo en 2024-01-26. Alirita en 2024-01-27.
* Tanton, James (2005). ''Encyclopedia of Mathematics''. Facts On File. ISBN 978-0-8160-5124-3.
* Zwillinger, Daniel (2002). [https://books.google.es/books?id=gE_MBQAAQBAJ&pg=PA812&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false CRC Standard Mathematical Tables and Formulae.] CRC Press. ISBN 978-1-4200-3534-6. Arkivita el la originalo en 2024-01-26. Alirita en 2024-01-27.

== Vidu ankaŭ ==
* [[Analitiko]]
* [[Esprimo|Algebra esprimo]]
* [[Ekvacio|Algebra ekvacio]]
* [[Atraktoro]]
* [[Determinanto]]
* [[Fundamenta teoremo de algebro]]
* [[Grupo (algebro)|Grupo]]
* [[Duongrupo (algebro)|Duongrupo]]
* [[Konuoloĝio]]
* [[Kampo (algebro)|Kampo]]
* [[Matrico]]
* [[Ringo (algebro)|Ringo]]
* [[Spaco]]
* [[Strukturo]]
* [[Termo|Termo kaj Plurtermo]]
* [[Variablo]]

== Eksteraj ligiloj ==
{{Projektoj|ReVo=algebr}}
* [http://www.math.umd.edu/~czorn/hist_algebra.pdf A. James Clark School of Ingeniering]
* [http://visualiseur.bnf.fr/Visualiseur?Destination=Gallica&O=NUMM-62345 en Gallica] {{Webarchiv|url=https://web.archive.org/web/20160310061942/http://visualiseur.bnf.fr/Visualiseur?Destination=Gallica&O=NUMM-62345 |date=2016-03-10 }}
* [http://visualiseur.bnf.fr/CadresFenetre?O=NUMM-62345&M=telecharger&Y=Image en Gallica] {{Webarchiv|url=https://web.archive.org/web/20160310015759/http://visualiseur.bnf.fr/CadresFenetre?O=NUMM-62345&M=telecharger&Y=Image |date=2016-03-10 }}
* [http://www.dm.unipi.it/pages/maurolic/edizioni/arithmet/algebra/alg.htm ''textus'' en latina lingvo]

{{Havenda artikolo|Algebro}}
{{Bibliotekoj}}

[[Kategorio:Algebro| ]]
[[Kategorio:Matematiko]]